楊元啟

摘 要：分類數(shù)據(jù)是定性數(shù)據(jù)，有別于定量數(shù)據(jù)，在數(shù)學(xué)上不易進(jìn)行處理分析。本文對(duì)分類數(shù)據(jù)的顯著性檢驗(yàn)問(wèn)題做了一些討論。主要介紹了分類數(shù)據(jù)的X2-檢驗(yàn)和似然比檢驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：分類數(shù)據(jù)；定性數(shù)據(jù)； X2-檢驗(yàn)；似然比檢驗(yàn)

生活中存在著大量的數(shù)據(jù)，類型可分為定量數(shù)據(jù)和定性數(shù)據(jù)。定量數(shù)據(jù)常見(jiàn)于計(jì)量、計(jì)數(shù)等，易于用數(shù)學(xué)的方法處理分析；但生活中仍有許多不可量化的數(shù)據(jù)，如表示事物性質(zhì)、規(guī)定事物類別的文字表述型數(shù)據(jù)，將其統(tǒng)稱為定性數(shù)據(jù)。對(duì)定性數(shù)據(jù)的研究，有時(shí)作純定性研究，沒(méi)有或缺乏數(shù)量分析，其結(jié)論往往具有概括性和較濃的思辨色彩；為便于作定量分析，還得將這些數(shù)據(jù)合理量化，并建立相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)模型。

定性數(shù)據(jù)有時(shí)只表示事物的屬性，如人的性別，婚姻狀況，物體的顏色、形狀。我們常用數(shù)"0"和"1"來(lái)表示其屬性的分類。而有些事物的屬性有一個(gè)順序關(guān)系，如人的文化程度由低到高可分為文盲、小學(xué)、初中、高中、中專和大專、大學(xué)等5類。用數(shù)0，1，2，3和4分別表示文盲，小學(xué)，初中，高中，中專和大專，大學(xué)。有如顧客對(duì)某商場(chǎng)營(yíng)業(yè)員服務(wù)態(tài)度的評(píng)價(jià)分為"滿意"、"一般"、"不滿意"三類，可分別用"3"、"2"、"1"表示。這些數(shù)只起一個(gè)順序作用，這一類數(shù)據(jù)稱為有序定性數(shù)據(jù)，簡(jiǎn)稱有序數(shù)據(jù)。

本文將對(duì)分類數(shù)據(jù)的顯著性檢驗(yàn)問(wèn)題做一些討論。主要介紹分類數(shù)據(jù)的 -檢驗(yàn)和似然比檢驗(yàn)。

分類數(shù)據(jù)的顯著性檢驗(yàn)一般有如下提法。

設(shè)總體的某個(gè)指標(biāo)數(shù)據(jù)被分為r類：A1，…Ar。根據(jù)相關(guān)理論，或從經(jīng)驗(yàn)出發(fā)提出了一個(gè)原假設(shè)：

H■：類A■所占的比例為P■=P■（i=1，…，r）

其中：P■，i=1，…，r，■P■=1為已知的r個(gè)數(shù)。對(duì)該總體進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)觀察，每次觀察一個(gè)個(gè)體，看它屬于哪一類。此時(shí)，個(gè)體的觀察值不是數(shù)，而是事物的屬性。

設(shè)n個(gè)個(gè)體中屬于Ai類的觀察個(gè)數(shù)為n■i=1，…，r。顯然，■n■=n?；谟^察值n■i=1，…，r對(duì)原假設(shè)H■進(jìn)行檢驗(yàn)。

1 分類數(shù)據(jù)的X2-檢驗(yàn)

如果原假設(shè)H■成立，則n個(gè)個(gè)體中屬于Ai類的"期望個(gè)數(shù)"為np■■i=1，…，r。ni與np■■分別稱為屬于Ai類的實(shí)際頻數(shù)與期望頻數(shù)。當(dāng)原假設(shè)H■成立時(shí)，對(duì)每一個(gè)i=1，…，r，實(shí)際頻數(shù)ni都應(yīng)該接近于期望頻數(shù)np■■。用皮爾遜（Pearson）統(tǒng)計(jì)量X■=■■來(lái)作為衡量實(shí)際頻數(shù)n■，…，n■與期望頻數(shù)np■，…，np■ ∞的偏差的綜合指標(biāo)，分子說(shuō)明實(shí)際頻數(shù)與期望頻數(shù)的差異，將其差平方是為累加差異。平方項(xiàng)除以期望頻數(shù)，是給以權(quán)數(shù)，體現(xiàn)"相對(duì)性"，當(dāng)然也與統(tǒng)計(jì)量的漸進(jìn)分布有關(guān)。

如果原假設(shè)H■成立， X2統(tǒng)計(jì)量的值應(yīng)該比較小，若X2統(tǒng)計(jì)量的值比較大，說(shuō)明實(shí)際頻數(shù)與期望頻數(shù)的差異較大，應(yīng)該拒絕原假設(shè)H■。衡量統(tǒng)計(jì)量X2必須有一個(gè)臨界值。皮爾遜證明了，在原假設(shè)H■成立時(shí)，該統(tǒng)計(jì)量的漸進(jìn)分布為X2（r-1）分布，它的自由度為類別個(gè)數(shù)r減去1。記X21-a（r-1）為自由度為r-1的X2分布的（下側(cè)）1-a分位數(shù)，則事件"x■≥x■■r-1"發(fā)生的概率為a。a是顯著性水平，一個(gè)很小的數(shù)。這說(shuō)明，"x■≥x■■r-1"是一個(gè)小概率事件，小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中不大可能發(fā)生，如果發(fā)生了我們可以做出"拒絕原假設(shè)H0" 的判斷。拒絕原假設(shè)時(shí)，可能會(huì)犯"棄真"的錯(cuò)誤，其概率不超過(guò)a。因此顯著性水平為a的X2-檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)閤■≥x■■r-1，其中，x■■r-1是自由度為r-1的X2分布的上側(cè)a-分位數(shù)。

也可以通過(guò)計(jì)算P值完成檢驗(yàn)的程序。P值等于自由度為r-1的X2變量大于等于X2統(tǒng)計(jì)量值的概率：P（X2（r-1）≥X2）。如果a≥P值，則在水平a下拒絕原假設(shè)H0；如果a

2 分類數(shù)據(jù)的似然比檢驗(yàn)

分類數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)問(wèn)題也可以用統(tǒng)計(jì)中常用的似然比檢驗(yàn)方法。觀察值ni（i=1，…，r）服從多項(xiàng)分布M（n，p1，…，pr），其分布律為pn■，…，n■=■p■■…p■■，■n■=n。

記n■，…，n■～Mn，p■，…p■ 。若r=2，則Mn，p■，p■=B（n，p1），即二項(xiàng)分布。故n1，n■～Mn，，p■，p■等價(jià)于n■～bn，p■ ，或等價(jià)于n■～bn，p■ 。

對(duì)M（n，p1，…，pr），觀測(cè)值n■，…，n■的似然函數(shù)為L(zhǎng)P■，…，P■=■p■■…p■■，將P■，…，P■看作變量，注意到■■p■■…p■■=1，因而對(duì)似然函數(shù)而言，可以略去也可以添上與參數(shù)P■，…，P■無(wú)關(guān)的任意一個(gè)因子，所以似然函數(shù)可以簡(jiǎn)記作Lp■，…，p■∞p■■…p■■

或者也可以寫成 Lp■，…，p■∞p■■…p■■1-p■-…p■■

令Lp■，…，p■的偏導(dǎo)數(shù)為0，可以求出P■，…，P■的極大似然估計(jì)分別為■，…，■。

由此得檢驗(yàn)問(wèn)題的似然比為？撰=■=■=■■■

？撰的值在0與1之間，其值越接近1，則越傾向于認(rèn)為檢驗(yàn)問(wèn)題的原假設(shè)Ho為真，所以在？撰的值越接近0，或者在-2ln？撰=-2■n■ln■的值比較大的時(shí)候拒絕原假設(shè)Ho。通常把-2ln（？撰）稱為似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。

在分類數(shù)據(jù)的X2檢驗(yàn)中，皮爾遜把式X■=■■作為衡量實(shí)際頻數(shù)n■，…，n■與期望頻數(shù)np■■，…，np■■的偏差的綜合指標(biāo)，而分類數(shù)據(jù)的似然比檢驗(yàn)用式-2ln？撰=-2■n■ln■作為衡量實(shí)際頻數(shù)與期望頻數(shù)的偏差綜合指標(biāo)。X2-檢驗(yàn)與似然比檢驗(yàn)的差別可以認(rèn)為在于它們采用了不同的衡量偏差的綜合指標(biāo)。

在原假設(shè)Ho成立時(shí)，-2ln？撰的漸進(jìn)分布和皮爾遜的X2統(tǒng)計(jì)量的漸近分布相同，都是X2（r-1），起自由度都等于類別個(gè)數(shù)r減去1。事實(shí)上我們也可以根據(jù)似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的極限分布定理，從而在原假設(shè)Ho成立時(shí)，-2ln？撰有漸進(jìn)分布X2（r-1），其中漸近X2分布的自由度可看作完全參數(shù)空間被估價(jià)的獨(dú)立參數(shù)的個(gè)數(shù)與原假設(shè)成立時(shí)參數(shù)空間被估價(jià)的獨(dú)立參數(shù)的個(gè)數(shù)的差。

顯著性水平為a的似然比檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?2ln？撰≥X21-a（r-1）。

也可以通過(guò)計(jì)算p值完成檢驗(yàn)程序。p值為p=p（X21-a（r-1）≥-2ln？撰）。如果 ，則在水平a≥p下拒絕原假設(shè)Ho；如果a

參考文獻(xiàn)：

[01]張堯庭， 方開泰. 多元統(tǒng)計(jì)分析引論[M]. 北京： 科學(xué)出版社， 1982.

[02]王靜龍，梁小筠.定性數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析[M].北京，中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，2008.

[03]史希來(lái). 屬性數(shù)據(jù)分析引論[M]. 北京： 北京大學(xué)出版社， 2006.

[04]黃強(qiáng).定性資料的數(shù)量分析[J].統(tǒng)計(jì)與決策，1997，（3）.

摘 要：分類數(shù)據(jù)是定性數(shù)據(jù)，有別于定量數(shù)據(jù)，在數(shù)學(xué)上不易進(jìn)行處理分析。本文對(duì)分類數(shù)據(jù)的顯著性檢驗(yàn)問(wèn)題做了一些討論。主要介紹了分類數(shù)據(jù)的X2-檢驗(yàn)和似然比檢驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：分類數(shù)據(jù)；定性數(shù)據(jù)； X2-檢驗(yàn)；似然比檢驗(yàn)

生活中存在著大量的數(shù)據(jù)，類型可分為定量數(shù)據(jù)和定性數(shù)據(jù)。定量數(shù)據(jù)常見(jiàn)于計(jì)量、計(jì)數(shù)等，易于用數(shù)學(xué)的方法處理分析；但生活中仍有許多不可量化的數(shù)據(jù)，如表示事物性質(zhì)、規(guī)定事物類別的文字表述型數(shù)據(jù)，將其統(tǒng)稱為定性數(shù)據(jù)。對(duì)定性數(shù)據(jù)的研究，有時(shí)作純定性研究，沒(méi)有或缺乏數(shù)量分析，其結(jié)論往往具有概括性和較濃的思辨色彩；為便于作定量分析，還得將這些數(shù)據(jù)合理量化，并建立相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)模型。

定性數(shù)據(jù)有時(shí)只表示事物的屬性，如人的性別，婚姻狀況，物體的顏色、形狀。我們常用數(shù)"0"和"1"來(lái)表示其屬性的分類。而有些事物的屬性有一個(gè)順序關(guān)系，如人的文化程度由低到高可分為文盲、小學(xué)、初中、高中、中專和大專、大學(xué)等5類。用數(shù)0，1，2，3和4分別表示文盲，小學(xué)，初中，高中，中專和大專，大學(xué)。有如顧客對(duì)某商場(chǎng)營(yíng)業(yè)員服務(wù)態(tài)度的評(píng)價(jià)分為"滿意"、"一般"、"不滿意"三類，可分別用"3"、"2"、"1"表示。這些數(shù)只起一個(gè)順序作用，這一類數(shù)據(jù)稱為有序定性數(shù)據(jù)，簡(jiǎn)稱有序數(shù)據(jù)。

本文將對(duì)分類數(shù)據(jù)的顯著性檢驗(yàn)問(wèn)題做一些討論。主要介紹分類數(shù)據(jù)的 -檢驗(yàn)和似然比檢驗(yàn)。

分類數(shù)據(jù)的顯著性檢驗(yàn)一般有如下提法。

設(shè)總體的某個(gè)指標(biāo)數(shù)據(jù)被分為r類：A1，…Ar。根據(jù)相關(guān)理論，或從經(jīng)驗(yàn)出發(fā)提出了一個(gè)原假設(shè)：

H■：類A■所占的比例為P■=P■（i=1，…，r）

其中：P■，i=1，…，r，■P■=1為已知的r個(gè)數(shù)。對(duì)該總體進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)觀察，每次觀察一個(gè)個(gè)體，看它屬于哪一類。此時(shí)，個(gè)體的觀察值不是數(shù)，而是事物的屬性。

設(shè)n個(gè)個(gè)體中屬于Ai類的觀察個(gè)數(shù)為n■i=1，…，r。顯然，■n■=n。基于觀察值n■i=1，…，r對(duì)原假設(shè)H■進(jìn)行檢驗(yàn)。

1 分類數(shù)據(jù)的X2-檢驗(yàn)

如果原假設(shè)H■成立，則n個(gè)個(gè)體中屬于Ai類的"期望個(gè)數(shù)"為np■■i=1，…，r。ni與np■■分別稱為屬于Ai類的實(shí)際頻數(shù)與期望頻數(shù)。當(dāng)原假設(shè)H■成立時(shí)，對(duì)每一個(gè)i=1，…，r，實(shí)際頻數(shù)ni都應(yīng)該接近于期望頻數(shù)np■■。用皮爾遜（Pearson）統(tǒng)計(jì)量X■=■■來(lái)作為衡量實(shí)際頻數(shù)n■，…，n■與期望頻數(shù)np■，…，np■ ∞的偏差的綜合指標(biāo)，分子說(shuō)明實(shí)際頻數(shù)與期望頻數(shù)的差異，將其差平方是為累加差異。平方項(xiàng)除以期望頻數(shù)，是給以權(quán)數(shù)，體現(xiàn)"相對(duì)性"，當(dāng)然也與統(tǒng)計(jì)量的漸進(jìn)分布有關(guān)。

如果原假設(shè)H■成立， X2統(tǒng)計(jì)量的值應(yīng)該比較小，若X2統(tǒng)計(jì)量的值比較大，說(shuō)明實(shí)際頻數(shù)與期望頻數(shù)的差異較大，應(yīng)該拒絕原假設(shè)H■。衡量統(tǒng)計(jì)量X2必須有一個(gè)臨界值。皮爾遜證明了，在原假設(shè)H■成立時(shí)，該統(tǒng)計(jì)量的漸進(jìn)分布為X2（r-1）分布，它的自由度為類別個(gè)數(shù)r減去1。記X21-a（r-1）為自由度為r-1的X2分布的（下側(cè)）1-a分位數(shù)，則事件"x■≥x■■r-1"發(fā)生的概率為a。a是顯著性水平，一個(gè)很小的數(shù)。這說(shuō)明，"x■≥x■■r-1"是一個(gè)小概率事件，小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中不大可能發(fā)生，如果發(fā)生了我們可以做出"拒絕原假設(shè)H0" 的判斷。拒絕原假設(shè)時(shí)，可能會(huì)犯"棄真"的錯(cuò)誤，其概率不超過(guò)a。因此顯著性水平為a的X2-檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)閤■≥x■■r-1，其中，x■■r-1是自由度為r-1的X2分布的上側(cè)a-分位數(shù)。

也可以通過(guò)計(jì)算P值完成檢驗(yàn)的程序。P值等于自由度為r-1的X2變量大于等于X2統(tǒng)計(jì)量值的概率：P（X2（r-1）≥X2）。如果a≥P值，則在水平a下拒絕原假設(shè)H0；如果a

2 分類數(shù)據(jù)的似然比檢驗(yàn)

分類數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)問(wèn)題也可以用統(tǒng)計(jì)中常用的似然比檢驗(yàn)方法。觀察值ni（i=1，…，r）服從多項(xiàng)分布M（n，p1，…，pr），其分布律為pn■，…，n■=■p■■…p■■，■n■=n。

記n■，…，n■～Mn，p■，…p■ 。若r=2，則Mn，p■，p■=B（n，p1），即二項(xiàng)分布。故n1，n■～Mn，，p■，p■等價(jià)于n■～bn，p■ ，或等價(jià)于n■～bn，p■ 。

對(duì)M（n，p1，…，pr），觀測(cè)值n■，…，n■的似然函數(shù)為L(zhǎng)P■，…，P■=■p■■…p■■，將P■，…，P■看作變量，注意到■■p■■…p■■=1，因而對(duì)似然函數(shù)而言，可以略去也可以添上與參數(shù)P■，…，P■無(wú)關(guān)的任意一個(gè)因子，所以似然函數(shù)可以簡(jiǎn)記作Lp■，…，p■∞p■■…p■■

或者也可以寫成 Lp■，…，p■∞p■■…p■■1-p■-…p■■

令Lp■，…，p■的偏導(dǎo)數(shù)為0，可以求出P■，…，P■的極大似然估計(jì)分別為■，…，■。

由此得檢驗(yàn)問(wèn)題的似然比為？撰=■=■=■■■

？撰的值在0與1之間，其值越接近1，則越傾向于認(rèn)為檢驗(yàn)問(wèn)題的原假設(shè)Ho為真，所以在？撰的值越接近0，或者在-2ln？撰=-2■n■ln■的值比較大的時(shí)候拒絕原假設(shè)Ho。通常把-2ln（？撰）稱為似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。

在分類數(shù)據(jù)的X2檢驗(yàn)中，皮爾遜把式X■=■■作為衡量實(shí)際頻數(shù)n■，…，n■與期望頻數(shù)np■■，…，np■■的偏差的綜合指標(biāo)，而分類數(shù)據(jù)的似然比檢驗(yàn)用式-2ln？撰=-2■n■ln■作為衡量實(shí)際頻數(shù)與期望頻數(shù)的偏差綜合指標(biāo)。X2-檢驗(yàn)與似然比檢驗(yàn)的差別可以認(rèn)為在于它們采用了不同的衡量偏差的綜合指標(biāo)。

在原假設(shè)Ho成立時(shí)，-2ln？撰的漸進(jìn)分布和皮爾遜的X2統(tǒng)計(jì)量的漸近分布相同，都是X2（r-1），起自由度都等于類別個(gè)數(shù)r減去1。事實(shí)上我們也可以根據(jù)似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的極限分布定理，從而在原假設(shè)Ho成立時(shí)，-2ln？撰有漸進(jìn)分布X2（r-1），其中漸近X2分布的自由度可看作完全參數(shù)空間被估價(jià)的獨(dú)立參數(shù)的個(gè)數(shù)與原假設(shè)成立時(shí)參數(shù)空間被估價(jià)的獨(dú)立參數(shù)的個(gè)數(shù)的差。

顯著性水平為a的似然比檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?2ln？撰≥X21-a（r-1）。

也可以通過(guò)計(jì)算p值完成檢驗(yàn)程序。p值為p=p（X21-a（r-1）≥-2ln？撰）。如果 ，則在水平a≥p下拒絕原假設(shè)Ho；如果a

參考文獻(xiàn)：

[01]張堯庭， 方開泰. 多元統(tǒng)計(jì)分析引論[M]. 北京： 科學(xué)出版社， 1982.

[02]王靜龍，梁小筠.定性數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析[M].北京，中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，2008.

[03]史希來(lái). 屬性數(shù)據(jù)分析引論[M]. 北京： 北京大學(xué)出版社， 2006.

[04]黃強(qiáng).定性資料的數(shù)量分析[J].統(tǒng)計(jì)與決策，1997，（3）.

摘 要：分類數(shù)據(jù)是定性數(shù)據(jù)，有別于定量數(shù)據(jù)，在數(shù)學(xué)上不易進(jìn)行處理分析。本文對(duì)分類數(shù)據(jù)的顯著性檢驗(yàn)問(wèn)題做了一些討論。主要介紹了分類數(shù)據(jù)的X2-檢驗(yàn)和似然比檢驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：分類數(shù)據(jù)；定性數(shù)據(jù)； X2-檢驗(yàn)；似然比檢驗(yàn)

生活中存在著大量的數(shù)據(jù)，類型可分為定量數(shù)據(jù)和定性數(shù)據(jù)。定量數(shù)據(jù)常見(jiàn)于計(jì)量、計(jì)數(shù)等，易于用數(shù)學(xué)的方法處理分析；但生活中仍有許多不可量化的數(shù)據(jù)，如表示事物性質(zhì)、規(guī)定事物類別的文字表述型數(shù)據(jù)，將其統(tǒng)稱為定性數(shù)據(jù)。對(duì)定性數(shù)據(jù)的研究，有時(shí)作純定性研究，沒(méi)有或缺乏數(shù)量分析，其結(jié)論往往具有概括性和較濃的思辨色彩；為便于作定量分析，還得將這些數(shù)據(jù)合理量化，并建立相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)模型。

定性數(shù)據(jù)有時(shí)只表示事物的屬性，如人的性別，婚姻狀況，物體的顏色、形狀。我們常用數(shù)"0"和"1"來(lái)表示其屬性的分類。而有些事物的屬性有一個(gè)順序關(guān)系，如人的文化程度由低到高可分為文盲、小學(xué)、初中、高中、中專和大專、大學(xué)等5類。用數(shù)0，1，2，3和4分別表示文盲，小學(xué)，初中，高中，中專和大專，大學(xué)。有如顧客對(duì)某商場(chǎng)營(yíng)業(yè)員服務(wù)態(tài)度的評(píng)價(jià)分為"滿意"、"一般"、"不滿意"三類，可分別用"3"、"2"、"1"表示。這些數(shù)只起一個(gè)順序作用，這一類數(shù)據(jù)稱為有序定性數(shù)據(jù)，簡(jiǎn)稱有序數(shù)據(jù)。

本文將對(duì)分類數(shù)據(jù)的顯著性檢驗(yàn)問(wèn)題做一些討論。主要介紹分類數(shù)據(jù)的 -檢驗(yàn)和似然比檢驗(yàn)。

分類數(shù)據(jù)的顯著性檢驗(yàn)一般有如下提法。

設(shè)總體的某個(gè)指標(biāo)數(shù)據(jù)被分為r類：A1，…Ar。根據(jù)相關(guān)理論，或從經(jīng)驗(yàn)出發(fā)提出了一個(gè)原假設(shè)：

H■：類A■所占的比例為P■=P■（i=1，…，r）

其中：P■，i=1，…，r，■P■=1為已知的r個(gè)數(shù)。對(duì)該總體進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)觀察，每次觀察一個(gè)個(gè)體，看它屬于哪一類。此時(shí)，個(gè)體的觀察值不是數(shù)，而是事物的屬性。

設(shè)n個(gè)個(gè)體中屬于Ai類的觀察個(gè)數(shù)為n■i=1，…，r。顯然，■n■=n。基于觀察值n■i=1，…，r對(duì)原假設(shè)H■進(jìn)行檢驗(yàn)。

1 分類數(shù)據(jù)的X2-檢驗(yàn)

如果原假設(shè)H■成立，則n個(gè)個(gè)體中屬于Ai類的"期望個(gè)數(shù)"為np■■i=1，…，r。ni與np■■分別稱為屬于Ai類的實(shí)際頻數(shù)與期望頻數(shù)。當(dāng)原假設(shè)H■成立時(shí)，對(duì)每一個(gè)i=1，…，r，實(shí)際頻數(shù)ni都應(yīng)該接近于期望頻數(shù)np■■。用皮爾遜（Pearson）統(tǒng)計(jì)量X■=■■來(lái)作為衡量實(shí)際頻數(shù)n■，…，n■與期望頻數(shù)np■，…，np■ ∞的偏差的綜合指標(biāo)，分子說(shuō)明實(shí)際頻數(shù)與期望頻數(shù)的差異，將其差平方是為累加差異。平方項(xiàng)除以期望頻數(shù)，是給以權(quán)數(shù)，體現(xiàn)"相對(duì)性"，當(dāng)然也與統(tǒng)計(jì)量的漸進(jìn)分布有關(guān)。

如果原假設(shè)H■成立， X2統(tǒng)計(jì)量的值應(yīng)該比較小，若X2統(tǒng)計(jì)量的值比較大，說(shuō)明實(shí)際頻數(shù)與期望頻數(shù)的差異較大，應(yīng)該拒絕原假設(shè)H■。衡量統(tǒng)計(jì)量X2必須有一個(gè)臨界值。皮爾遜證明了，在原假設(shè)H■成立時(shí)，該統(tǒng)計(jì)量的漸進(jìn)分布為X2（r-1）分布，它的自由度為類別個(gè)數(shù)r減去1。記X21-a（r-1）為自由度為r-1的X2分布的（下側(cè)）1-a分位數(shù)，則事件"x■≥x■■r-1"發(fā)生的概率為a。a是顯著性水平，一個(gè)很小的數(shù)。這說(shuō)明，"x■≥x■■r-1"是一個(gè)小概率事件，小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中不大可能發(fā)生，如果發(fā)生了我們可以做出"拒絕原假設(shè)H0" 的判斷。拒絕原假設(shè)時(shí)，可能會(huì)犯"棄真"的錯(cuò)誤，其概率不超過(guò)a。因此顯著性水平為a的X2-檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)閤■≥x■■r-1，其中，x■■r-1是自由度為r-1的X2分布的上側(cè)a-分位數(shù)。

也可以通過(guò)計(jì)算P值完成檢驗(yàn)的程序。P值等于自由度為r-1的X2變量大于等于X2統(tǒng)計(jì)量值的概率：P（X2（r-1）≥X2）。如果a≥P值，則在水平a下拒絕原假設(shè)H0；如果a

2 分類數(shù)據(jù)的似然比檢驗(yàn)

分類數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)問(wèn)題也可以用統(tǒng)計(jì)中常用的似然比檢驗(yàn)方法。觀察值ni（i=1，…，r）服從多項(xiàng)分布M（n，p1，…，pr），其分布律為pn■，…，n■=■p■■…p■■，■n■=n。

記n■，…，n■～Mn，p■，…p■ 。若r=2，則Mn，p■，p■=B（n，p1），即二項(xiàng)分布。故n1，n■～Mn，，p■，p■等價(jià)于n■～bn，p■ ，或等價(jià)于n■～bn，p■ 。

對(duì)M（n，p1，…，pr），觀測(cè)值n■，…，n■的似然函數(shù)為L(zhǎng)P■，…，P■=■p■■…p■■，將P■，…，P■看作變量，注意到■■p■■…p■■=1，因而對(duì)似然函數(shù)而言，可以略去也可以添上與參數(shù)P■，…，P■無(wú)關(guān)的任意一個(gè)因子，所以似然函數(shù)可以簡(jiǎn)記作Lp■，…，p■∞p■■…p■■

或者也可以寫成 Lp■，…，p■∞p■■…p■■1-p■-…p■■

令Lp■，…，p■的偏導(dǎo)數(shù)為0，可以求出P■，…，P■的極大似然估計(jì)分別為■，…，■。

由此得檢驗(yàn)問(wèn)題的似然比為？撰=■=■=■■■

？撰的值在0與1之間，其值越接近1，則越傾向于認(rèn)為檢驗(yàn)問(wèn)題的原假設(shè)Ho為真，所以在？撰的值越接近0，或者在-2ln？撰=-2■n■ln■的值比較大的時(shí)候拒絕原假設(shè)Ho。通常把-2ln（？撰）稱為似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。

在分類數(shù)據(jù)的X2檢驗(yàn)中，皮爾遜把式X■=■■作為衡量實(shí)際頻數(shù)n■，…，n■與期望頻數(shù)np■■，…，np■■的偏差的綜合指標(biāo)，而分類數(shù)據(jù)的似然比檢驗(yàn)用式-2ln？撰=-2■n■ln■作為衡量實(shí)際頻數(shù)與期望頻數(shù)的偏差綜合指標(biāo)。X2-檢驗(yàn)與似然比檢驗(yàn)的差別可以認(rèn)為在于它們采用了不同的衡量偏差的綜合指標(biāo)。

在原假設(shè)Ho成立時(shí)，-2ln？撰的漸進(jìn)分布和皮爾遜的X2統(tǒng)計(jì)量的漸近分布相同，都是X2（r-1），起自由度都等于類別個(gè)數(shù)r減去1。事實(shí)上我們也可以根據(jù)似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的極限分布定理，從而在原假設(shè)Ho成立時(shí)，-2ln？撰有漸進(jìn)分布X2（r-1），其中漸近X2分布的自由度可看作完全參數(shù)空間被估價(jià)的獨(dú)立參數(shù)的個(gè)數(shù)與原假設(shè)成立時(shí)參數(shù)空間被估價(jià)的獨(dú)立參數(shù)的個(gè)數(shù)的差。

顯著性水平為a的似然比檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?2ln？撰≥X21-a（r-1）。

也可以通過(guò)計(jì)算p值完成檢驗(yàn)程序。p值為p=p（X21-a（r-1）≥-2ln？撰）。如果 ，則在水平a≥p下拒絕原假設(shè)Ho；如果a

參考文獻(xiàn)：

[01]張堯庭， 方開泰. 多元統(tǒng)計(jì)分析引論[M]. 北京： 科學(xué)出版社， 1982.

[02]王靜龍，梁小筠.定性數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析[M].北京，中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，2008.

[03]史希來(lái). 屬性數(shù)據(jù)分析引論[M]. 北京： 北京大學(xué)出版社， 2006.

[04]黃強(qiáng).定性資料的數(shù)量分析[J].統(tǒng)計(jì)與決策，1997，（3）.