王中華

平面向量部分概念多、公式多、運算法則多，向量的運算與實數(shù)的運算既有相同之處，也有其自身的特點，在學(xué)習(xí)過程中一定要注意向量的特征，抓住向量的本質(zhì).稍不注意，就容易出錯.老師在教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，同學(xué)們在向量學(xué)習(xí)中存在概念不清、錯誤類比、以偏概全、對公式（性質(zhì)）記憶混淆等所導(dǎo)致的錯誤，希望引起大家的重視.

一、對概念理解不清而致錯

例1給出下列說法：①若AB=DC，則A、B、C、D是平行四邊形的四個頂點；②若AB，CD滿足|AB|>|CD|，且AB與CD同向，則AB>CD；③若a=b，b=c，則a=c；④若a∥b，b∥c，則a∥c；⑤在△ABC中，若AB·BC>0，則△ABC是鈍角三角形.正確的序號是.

錯解：∵AB=DC，∴AB

瘙 綊 DC.

∴四邊形ABCD為平行四邊形，故①對；

又∵|AB|>|CD|，∴AB>CD，故②對；

根據(jù)平行的傳遞性知④對.

因此，正確的序號是①②④.

剖析：①判斷錯誤是由于未能正確理解向量相等的概念，因為AB=DC時，A，B，C，D四點可能在同一條直線上；②判斷錯誤是因為向量是既有大小又有方向的量，兩個向量不能比較大??；④判斷錯誤是因為b=0時，a與c不一定平行.

正解：兩個向量相等，必須同向且等長，故③正確；AB·BC>0，則AB與BC的夾角為B的補角是銳角，所以B是鈍角，故⑤正確.

故填③⑤.

特別提醒：要正確解答有關(guān)向量的辨析題，必須準(zhǔn)確理解向量的有關(guān)概念及相關(guān)的運算法則，并注意區(qū)分與實數(shù)概念、運算法則的不同.

二、忽視向量共線時的特殊情況

例2已知向量a、b、c在同一平面內(nèi)兩兩所成的角相等，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，求向量a+b+c的模.

錯解：由已知可知a、b、c都為非零向量.又它們兩兩所成的角相等，故所成的角為120°，而（a+b+c）2=12+22+32+2×1×2cos120°+2×1×3cos120°+2×2×3cos120°=3，所以|a+b+c|=3.

剖析：向量a、b、c在同一平面內(nèi)兩兩所成的角相等，有兩種情況，即成120°的角或成0°的角，所以上述解答忽視了a、b、c共線同向的情況，所以要分類討論.

正解：①當(dāng)a、b、c不共線時，解答同上.

②當(dāng)a、b、c共線同向時，即a、b、c兩兩所成的角為0°時，|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=1+2+3=6.

綜上所述向量a+b+c的模為3或6.

特別提醒：共線向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共線向量.規(guī)定：0向量與任意向量平行.

三、不考慮向量夾角的范圍及相應(yīng)兩個向量的方向而致錯

例3已知a=（k，6），b=（3，2），設(shè)a與b的夾角為θ，要使θ為銳角，求k的取值范圍.

錯解：∵θ為銳角，

∴cosθ>0，

∴a·b=|a||b|cosθ>0，

得3k+6·2>0，即k>-4.

剖析：本題誤以為兩非零向量a與b的夾角為銳角的充要條件是a·b>0.事實上，兩向量的夾角θ∈[0，π]，當(dāng)θ=0時，有cosθ=1>0，對于非零向量a與b仍有a·b>0.

正解：由θ為銳角，得cosθ>0且cosθ≠1，

∴a·b=|a||b|cosθ>0，

得3k+6·2>0，即k>一4.

若a平行b則2k-6·3=0，

即k=9，此時cosθ=1，與θ為銳角相矛盾，

∴k≠9.

綜上，k>-4且k≠9.

特別提醒：要正確解答向量夾角問題，需注意三個方面：（1）明確向量夾角與其余弦值的符號關(guān)系；（2）把握兩個向量的方向；（3）明確向量夾角的范圍.

四、混淆向量的數(shù)量積與實數(shù)乘法而致錯

例4已知a，b都是非零向量，且向量a+3b與7a-5b垂直，向量a-4b與7a-2b垂直，求向量a與b的夾角.

錯解：由題意得（a+3b）·（7a-5b）=0，（a-4b）·（7a-2b）=0，

即7a2+16a·b-15b2=0，7a2-30a·b+8b2=0，

兩式相減得46a·b-23b2=0，移項后兩邊再同時除以b，得2a=b.

則a與b同向，故向量a與b的夾角為0.

剖析：本題誤用實數(shù)的運算性質(zhì)（等式兩邊同時除以一個實數(shù)）導(dǎo)致解題錯誤，如（3，2）·（1，0）=（3，1）·（1，0）時，（3，2）≠（3，1）.

正解：由前知b2=2a·b.

代入7a2+16a·b-15b2=0得a2=2a·b，

∴a2=b2=2a·b，

故cosθ=a·b|a|·|b|=12|a|2|a|2=12.

∴θ=60°.

特別提醒：向量的數(shù)量積與實數(shù)的積有著本質(zhì)上的區(qū)別，解答向量的數(shù)量積問題時要注意運算律或運算法則上的區(qū)別，不要受到實數(shù)的積形成的定勢思維的影響，特別要注意：（1）向量等式兩邊不能同除；（2）|a|2=|b|2只能得出|a|=|b|，不能得出a=b或a=-b；（3）實數(shù)0與向量的積為向量0等.

五、誤用向量的加、減法而致錯

例5四邊形ABCD是以向量AB=m，AD=n為邊的平行四邊形，O是其對角線的交點，M是BD上的一點，且DM=14DO，試用m，n表示AM.

錯解：∵DB=AD-AB=n-m.

DM=14DO=18DB=18n-18m，endprint

∴AM=AD+DM=n+18n-18m=98n-18m.

剖析：根據(jù)向量減法的三角形法則，兩個向量相減，所得向量是減向量的終點指向被減向量的終點所得的向量.

正解：∵DB=AB-AD=m-n，

DM=14DO=18DB=18m-18n，

∴AM=AD+DM=78n+18m.

特別提醒：運用向量加法與減法時要注意：（1）兩個向量相減所得向量的方向；（2）進(jìn)行加法時必須首尾相接，所得向量方向指向最后一個向量的終點；（3）注意向量加減法與實數(shù)加減法的運算律和法則的區(qū)別.

六、忽視向量的方向性

例6如右圖，A1，A2，…，A8是⊙O上的8個等分點，而在以A1，A2，…，A8及圓心O這9個點中任意兩點為起點與終點的向量中，模等于半徑的向量有多少個？模等于半徑的2倍的向量有多少個？

錯解：（1）由已知可得：八邊形A1A2…A8是正八邊形，正八邊形的邊長與對角線均與⊙O的半徑不相等，所以模等于半徑的向量只能是OAi，因此模等于半徑的向量共有8個；

（2）以A1，A2，…，A8為頂點的⊙O的內(nèi)接正方形有兩個，一是正方形A1A3A5A7，另一個是正方形A2A4A6A8，在題目所述的向量中，只有這兩個正方形的邊的長度為半徑的2倍，所以模等于半徑2倍的向量共有4×2=8個.

剖析：本題考查了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，在計算兩向量的個數(shù)時，容易漏掉每條邊相對應(yīng)兩個向量這一點.（1）由已知可得：八邊形A1A2…A8是正八邊形，正八邊形的邊長與對角線均與⊙O的半徑不相等，所以模等于半徑的向量只能是OAi與AiO兩類.（i=1，2，…，8）

（2）⊙O內(nèi)接正方形的邊長是半徑的2倍，所以應(yīng)考慮與圓心O成90°的圓心角的兩端的點的向量個數(shù).

正解：（1）模等于半徑的向量只有兩類，一類是OAi（i=1，2，…，8）共8個；另一類是AiO（i=1，2，…，8）也有8個，兩類合計16個.

（2）以A1，A2，…，A8為頂點的⊙O的內(nèi)接正方形有兩個，一是正方形A1A3A5A7，另一個是正方形A2A4A6A8，在題目所述的向量中，只有這兩個正方形的邊（看成是有向線段，每一邊對應(yīng)兩個向量）的長度為半徑的2倍，所以模等于半徑的2倍的向量共有4×2×2=16個.

特別提醒：向量與實數(shù)的不同就在于：向量具有方向性，常常用有向線段來表示向量.

七、忽視向量三角形法則的適用范圍

例7若|AB|=8，|AC|=5，則|BC|的取值范圍是.

錯解：∵|BC|=|AC-AB|，

而根據(jù)AC=AB+BC，應(yīng)用向量加法的三角形法則可得A，B，C構(gòu)成三角形.

|AB|-|AC|<|BC|<|AC|+|AB|，

∴3<|BC|<13.

剖析：A，B，C三點不一定構(gòu)成三角形，應(yīng)用向量加法的三角形法則求和.不一定三點構(gòu)成三角形，三點共線也可以用三角形法則，本題應(yīng)注意三點共線的情況.

正解：由以上分析知：3≤|BC|≤13.

特別提醒：要分清向量是向量，模是模.A，B，C三點不構(gòu)成三角形，也可以應(yīng)用向量加法的三角形法則求和.

八、忽視向量夾角范圍致誤

例8已知向量a=（2cosα，2sinα），α∈（π2，π），b=（0，-1），則a與b的夾角為（）

A. 3π2-αB. α+π2

C. α-π2D. α

錯解：∵a·b=|a||b|cos，

∴cos=a·b|a||b|=-2sinα2=sin（-α）=cos（π2+α）.故選B.

剖析：∵∈[0，π]，而α∈（π2，π），∴α+π2∈（π，3π2）.

故α+π2不可能是a與b的夾角.

正解：∵a·b=|a||b|cos，

∴cos=a·b|a||b|=-2sinα2=sin（-α）=cos（3π2-α）.

又∵α∈（π2，π），∴3π2-α∈（π2，π），

∴a與b的夾角為3π2-α.故選A.

特別提醒：兩向量之間夾角范圍是[0°，180°]，其中，0°表示兩向量同向，180°表示兩向量反向.

∴AM=AD+DM=n+18n-18m=98n-18m.

剖析：根據(jù)向量減法的三角形法則，兩個向量相減，所得向量是減向量的終點指向被減向量的終點所得的向量.

正解：∵DB=AB-AD=m-n，

DM=14DO=18DB=18m-18n，

∴AM=AD+DM=78n+18m.

特別提醒：運用向量加法與減法時要注意：（1）兩個向量相減所得向量的方向；（2）進(jìn)行加法時必須首尾相接，所得向量方向指向最后一個向量的終點；（3）注意向量加減法與實數(shù)加減法的運算律和法則的區(qū)別.

六、忽視向量的方向性

例6如右圖，A1，A2，…，A8是⊙O上的8個等分點，而在以A1，A2，…，A8及圓心O這9個點中任意兩點為起點與終點的向量中，模等于半徑的向量有多少個？模等于半徑的2倍的向量有多少個？

錯解：（1）由已知可得：八邊形A1A2…A8是正八邊形，正八邊形的邊長與對角線均與⊙O的半徑不相等，所以模等于半徑的向量只能是OAi，因此模等于半徑的向量共有8個；

（2）以A1，A2，…，A8為頂點的⊙O的內(nèi)接正方形有兩個，一是正方形A1A3A5A7，另一個是正方形A2A4A6A8，在題目所述的向量中，只有這兩個正方形的邊的長度為半徑的2倍，所以模等于半徑2倍的向量共有4×2=8個.

剖析：本題考查了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，在計算兩向量的個數(shù)時，容易漏掉每條邊相對應(yīng)兩個向量這一點.（1）由已知可得：八邊形A1A2…A8是正八邊形，正八邊形的邊長與對角線均與⊙O的半徑不相等，所以模等于半徑的向量只能是OAi與AiO兩類.（i=1，2，…，8）

（2）⊙O內(nèi)接正方形的邊長是半徑的2倍，所以應(yīng)考慮與圓心O成90°的圓心角的兩端的點的向量個數(shù).

正解：（1）模等于半徑的向量只有兩類，一類是OAi（i=1，2，…，8）共8個；另一類是AiO（i=1，2，…，8）也有8個，兩類合計16個.

（2）以A1，A2，…，A8為頂點的⊙O的內(nèi)接正方形有兩個，一是正方形A1A3A5A7，另一個是正方形A2A4A6A8，在題目所述的向量中，只有這兩個正方形的邊（看成是有向線段，每一邊對應(yīng)兩個向量）的長度為半徑的2倍，所以模等于半徑的2倍的向量共有4×2×2=16個.

特別提醒：向量與實數(shù)的不同就在于：向量具有方向性，常常用有向線段來表示向量.

七、忽視向量三角形法則的適用范圍

例7若|AB|=8，|AC|=5，則|BC|的取值范圍是.

錯解：∵|BC|=|AC-AB|，

而根據(jù)AC=AB+BC，應(yīng)用向量加法的三角形法則可得A，B，C構(gòu)成三角形.

|AB|-|AC|<|BC|<|AC|+|AB|，

∴3<|BC|<13.

剖析：A，B，C三點不一定構(gòu)成三角形，應(yīng)用向量加法的三角形法則求和.不一定三點構(gòu)成三角形，三點共線也可以用三角形法則，本題應(yīng)注意三點共線的情況.

正解：由以上分析知：3≤|BC|≤13.

特別提醒：要分清向量是向量，模是模.A，B，C三點不構(gòu)成三角形，也可以應(yīng)用向量加法的三角形法則求和.

八、忽視向量夾角范圍致誤

例8已知向量a=（2cosα，2sinα），α∈（π2，π），b=（0，-1），則a與b的夾角為（）

A. 3π2-αB. α+π2

C. α-π2D. α

錯解：∵a·b=|a||b|cos，

∴cos=a·b|a||b|=-2sinα2=sin（-α）=cos（π2+α）.故選B.

剖析：∵∈[0，π]，而α∈（π2，π），∴α+π2∈（π，3π2）.

故α+π2不可能是a與b的夾角.

正解：∵a·b=|a||b|cos，

∴cos=a·b|a||b|=-2sinα2=sin（-α）=cos（3π2-α）.

又∵α∈（π2，π），∴3π2-α∈（π2，π），

∴a與b的夾角為3π2-α.故選A.

特別提醒：兩向量之間夾角范圍是[0°，180°]，其中，0°表示兩向量同向，180°表示兩向量反向.

∴AM=AD+DM=n+18n-18m=98n-18m.

剖析：根據(jù)向量減法的三角形法則，兩個向量相減，所得向量是減向量的終點指向被減向量的終點所得的向量.

正解：∵DB=AB-AD=m-n，

DM=14DO=18DB=18m-18n，

∴AM=AD+DM=78n+18m.

特別提醒：運用向量加法與減法時要注意：（1）兩個向量相減所得向量的方向；（2）進(jìn)行加法時必須首尾相接，所得向量方向指向最后一個向量的終點；（3）注意向量加減法與實數(shù)加減法的運算律和法則的區(qū)別.

六、忽視向量的方向性

例6如右圖，A1，A2，…，A8是⊙O上的8個等分點，而在以A1，A2，…，A8及圓心O這9個點中任意兩點為起點與終點的向量中，模等于半徑的向量有多少個？模等于半徑的2倍的向量有多少個？

錯解：（1）由已知可得：八邊形A1A2…A8是正八邊形，正八邊形的邊長與對角線均與⊙O的半徑不相等，所以模等于半徑的向量只能是OAi，因此模等于半徑的向量共有8個；

（2）以A1，A2，…，A8為頂點的⊙O的內(nèi)接正方形有兩個，一是正方形A1A3A5A7，另一個是正方形A2A4A6A8，在題目所述的向量中，只有這兩個正方形的邊的長度為半徑的2倍，所以模等于半徑2倍的向量共有4×2=8個.

剖析：本題考查了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，在計算兩向量的個數(shù)時，容易漏掉每條邊相對應(yīng)兩個向量這一點.（1）由已知可得：八邊形A1A2…A8是正八邊形，正八邊形的邊長與對角線均與⊙O的半徑不相等，所以模等于半徑的向量只能是OAi與AiO兩類.（i=1，2，…，8）

（2）⊙O內(nèi)接正方形的邊長是半徑的2倍，所以應(yīng)考慮與圓心O成90°的圓心角的兩端的點的向量個數(shù).

正解：（1）模等于半徑的向量只有兩類，一類是OAi（i=1，2，…，8）共8個；另一類是AiO（i=1，2，…，8）也有8個，兩類合計16個.

（2）以A1，A2，…，A8為頂點的⊙O的內(nèi)接正方形有兩個，一是正方形A1A3A5A7，另一個是正方形A2A4A6A8，在題目所述的向量中，只有這兩個正方形的邊（看成是有向線段，每一邊對應(yīng)兩個向量）的長度為半徑的2倍，所以模等于半徑的2倍的向量共有4×2×2=16個.

特別提醒：向量與實數(shù)的不同就在于：向量具有方向性，常常用有向線段來表示向量.

七、忽視向量三角形法則的適用范圍

例7若|AB|=8，|AC|=5，則|BC|的取值范圍是.

錯解：∵|BC|=|AC-AB|，

而根據(jù)AC=AB+BC，應(yīng)用向量加法的三角形法則可得A，B，C構(gòu)成三角形.

|AB|-|AC|<|BC|<|AC|+|AB|，

∴3<|BC|<13.

剖析：A，B，C三點不一定構(gòu)成三角形，應(yīng)用向量加法的三角形法則求和.不一定三點構(gòu)成三角形，三點共線也可以用三角形法則，本題應(yīng)注意三點共線的情況.

正解：由以上分析知：3≤|BC|≤13.

特別提醒：要分清向量是向量，模是模.A，B，C三點不構(gòu)成三角形，也可以應(yīng)用向量加法的三角形法則求和.

八、忽視向量夾角范圍致誤

例8已知向量a=（2cosα，2sinα），α∈（π2，π），b=（0，-1），則a與b的夾角為（）

A. 3π2-αB. α+π2

C. α-π2D. α

錯解：∵a·b=|a||b|cos，

∴cos=a·b|a||b|=-2sinα2=sin（-α）=cos（π2+α）.故選B.

剖析：∵∈[0，π]，而α∈（π2，π），∴α+π2∈（π，3π2）.

故α+π2不可能是a與b的夾角.

正解：∵a·b=|a||b|cos，

∴cos=a·b|a||b|=-2sinα2=sin（-α）=cos（3π2-α）.

又∵α∈（π2，π），∴3π2-α∈（π2，π），

∴a與b的夾角為3π2-α.故選A.

特別提醒：兩向量之間夾角范圍是[0°，180°]，其中，0°表示兩向量同向，180°表示兩向量反向.