在三角函數(shù)中求代數(shù)式的值或取值范圍，是我們學習的一個重點內(nèi)容，也是各類考試考查的重要知識點.對于三角函數(shù)中大多數(shù)求值題而言，一般是本著化異名函數(shù)為同名函數(shù)，化異角為同角，通過已知條件，利用同角三角函數(shù)的誘導公式或兩角和與差的三角函數(shù)公式求出.但有時將所求的代數(shù)式設元為t，然后結(jié)合已知條件靈活運用所設式，從而求出t的值或范圍.這種設元法往往能起到明晰思路，簡化運算，出奇制勝的效果.

一、“設元”后利用倍角公式

例1已知cosxsiny=14，求sinxcosy的取值范圍.

分析：觀察到所求的代數(shù)式與已知條件中代數(shù)式的關(guān)系：其乘積恰好構(gòu)成倍角公式，故通過設元后可以利用倍角公式來處理.

解析：設sinxcosy=t，則（sinxcosy）·（cosxsiny）=14t，由倍角公式得：sin2xsin2y=t，

由于|sin2xsin2y|≤1，故|t|≤1，得-1≤t≤1，故sinxcosy的取值范圍為[-1，1].

點評：本題設元后可以通過將已知式和所求式相乘，充分利用倍角公式，借助正弦函數(shù)的有界性.

例2求sin10°·sin50°·sin70°的值.

分析：設所求式為“t”，根據(jù)條件的對稱性，假設相應角的余弦值的乘積為s，利用兩式的乘積進行求值.

解析：設t=sin10°·sin50°·sin70°，對稱地設s=cos10°·cos50°·cos70°

則ts=（sin10°·sin50°·sin70°）（cos10°·cos50°·cos70°）=18sin20°sin100°sin140°=18cos10°·cos50°·cos70°=18s，故t=18，即sin10°·sin50°·sin70°=18.

點評：這種對稱的設法的根源在于所求的代數(shù)式中隱含著倍角的關(guān)系，因為原式可等價轉(zhuǎn)化為cos20°·cos40°·cos80°，因此利用倍角公式可解決問題.

二、“設元”后構(gòu)造方程組

例3已知sinx+2cosy=2，求cosx+2siny的取值范圍.

分析：將所求代數(shù)式設元為“t”，再反過來將代數(shù)式與條件中的式子聯(lián)系起來，利用同角三角函數(shù)關(guān)系，即可得t關(guān)于某個角的三角函數(shù)，從而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出其范圍.

解析：設cosx+2siny=t，則將所求式與已知式平方相加得：

（sinx+2cosy）2+（cosx+2siny）2=4+t2，展開得：5+4sin（x+y）=t2+4，

即t2=1+4sin（x+y）≤5，∴t∈[-5，5]，故cosx+2siny的取值范圍為[-5，5].

點評：此題若直接從已知條件出發(fā)，根據(jù)函數(shù)名與角度的差異，將已知條件化為未知式后再尋求范圍，則難度是相當大的.

三、“設元”后利用同角三角函數(shù)關(guān)系構(gòu)造方程

例4已知sinα+3cosα=2，求sinα-cosαsinα+cosα的值.

分析：設所求式為“t”，根據(jù)條件即可得到關(guān)于sinα，cosα的方程，解之后代入同角三角函數(shù)中的平方關(guān)系，即可得到一個關(guān)于“t”的方程.

解析：設sinα-cosαsinα+cosα=t，則sinα-cosα=tsinα+tcosα，即（1-t）sinα=（1+t）cosα，又因為sinα+3cosα=2，解出關(guān)于sinα，cosα的方程組，得sinα=1+t2-t，cosα=1-t2-t（t≠2），代入sin2α+cos2α=1中，得：（1+t2-t）2+（1-t2-t）2=1，整理得t2+4t-2=0，解得：t=-2±6，故sinα-cosαsinα+cosα=-2±6.

點評：本例的常見解法是將條件中的sinα代入到代數(shù)式中，得到一個關(guān)于cosα的新的代數(shù)式，然后再將條件與sin2α+cos2α=1聯(lián)立起來解出cosα的值，思路雖然自然易想，但計算繁瑣，運算量大.

四、“設元”后利用代數(shù)式的幾何意義

例5求cos80°-cos20°sin80°+sin20°的值.

分析：根據(jù)所求式的結(jié)構(gòu)特征，設元后利用幾何意義，結(jié)合幾何圖形求解代數(shù)式的值，會使解法更具鮮明特點.

解析：設cos80°-cos20°sin80°+sin20°=t，則sin80°-sin（-20°）cos80°-cos（-20°）=1t，而“1t”所表示的幾何意義是經(jīng)過A（cos80°，sin80°，B（cos（-20°），sin（-20°））兩點的直線的斜率.由于A，B兩點都在單位圓上，且∠AOB=100°（其中O為坐標原點），∠OAB=40°，故直線AB的傾斜角α=80°+40°=120°，故1t=tan120°=-3，得t=-33，即cos80°-cos20°sin80°+sin20°的值為-33.

點評：三角函數(shù)求值中放棄了利用和差化積與積化和差求值的特定技巧，而根據(jù)幾何意義利用設元法求值，更突出地考查了我們處理多個知識點綜合的能力.

五、“設元”后整體配對

例6求sin220°+cos250°+sin20°·cos50°的值.

分析：觀察題設結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想對稱式的結(jié)構(gòu)，尋求整體配對.配對的目的在于能夠使用三角公式化簡運算.

解析：設x=sin220°+cos250°+sin20°·cos50°，y=cos220°+sin250°+cos20°·sin50°，則x+y=2+sin70°，x-y=-12-sin70°，兩式相加得：x=34，故原式=34.

點評：根據(jù)題設結(jié)構(gòu)，整體配對，靈活運用三角函數(shù)公式，使問題迎刃而解.

（作者：丁稱興，江蘇省溧水高級中學）

在三角函數(shù)中求代數(shù)式的值或取值范圍，是我們學習的一個重點內(nèi)容，也是各類考試考查的重要知識點.對于三角函數(shù)中大多數(shù)求值題而言，一般是本著化異名函數(shù)為同名函數(shù)，化異角為同角，通過已知條件，利用同角三角函數(shù)的誘導公式或兩角和與差的三角函數(shù)公式求出.但有時將所求的代數(shù)式設元為t，然后結(jié)合已知條件靈活運用所設式，從而求出t的值或范圍.這種設元法往往能起到明晰思路，簡化運算，出奇制勝的效果.

一、“設元”后利用倍角公式

例1已知cosxsiny=14，求sinxcosy的取值范圍.

分析：觀察到所求的代數(shù)式與已知條件中代數(shù)式的關(guān)系：其乘積恰好構(gòu)成倍角公式，故通過設元后可以利用倍角公式來處理.

解析：設sinxcosy=t，則（sinxcosy）·（cosxsiny）=14t，由倍角公式得：sin2xsin2y=t，

由于|sin2xsin2y|≤1，故|t|≤1，得-1≤t≤1，故sinxcosy的取值范圍為[-1，1].

點評：本題設元后可以通過將已知式和所求式相乘，充分利用倍角公式，借助正弦函數(shù)的有界性.

例2求sin10°·sin50°·sin70°的值.

分析：設所求式為“t”，根據(jù)條件的對稱性，假設相應角的余弦值的乘積為s，利用兩式的乘積進行求值.

解析：設t=sin10°·sin50°·sin70°，對稱地設s=cos10°·cos50°·cos70°

則ts=（sin10°·sin50°·sin70°）（cos10°·cos50°·cos70°）=18sin20°sin100°sin140°=18cos10°·cos50°·cos70°=18s，故t=18，即sin10°·sin50°·sin70°=18.

點評：這種對稱的設法的根源在于所求的代數(shù)式中隱含著倍角的關(guān)系，因為原式可等價轉(zhuǎn)化為cos20°·cos40°·cos80°，因此利用倍角公式可解決問題.

二、“設元”后構(gòu)造方程組

例3已知sinx+2cosy=2，求cosx+2siny的取值范圍.

分析：將所求代數(shù)式設元為“t”，再反過來將代數(shù)式與條件中的式子聯(lián)系起來，利用同角三角函數(shù)關(guān)系，即可得t關(guān)于某個角的三角函數(shù)，從而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出其范圍.

解析：設cosx+2siny=t，則將所求式與已知式平方相加得：

（sinx+2cosy）2+（cosx+2siny）2=4+t2，展開得：5+4sin（x+y）=t2+4，

即t2=1+4sin（x+y）≤5，∴t∈[-5，5]，故cosx+2siny的取值范圍為[-5，5].

點評：此題若直接從已知條件出發(fā)，根據(jù)函數(shù)名與角度的差異，將已知條件化為未知式后再尋求范圍，則難度是相當大的.

三、“設元”后利用同角三角函數(shù)關(guān)系構(gòu)造方程

例4已知sinα+3cosα=2，求sinα-cosαsinα+cosα的值.

分析：設所求式為“t”，根據(jù)條件即可得到關(guān)于sinα，cosα的方程，解之后代入同角三角函數(shù)中的平方關(guān)系，即可得到一個關(guān)于“t”的方程.

解析：設sinα-cosαsinα+cosα=t，則sinα-cosα=tsinα+tcosα，即（1-t）sinα=（1+t）cosα，又因為sinα+3cosα=2，解出關(guān)于sinα，cosα的方程組，得sinα=1+t2-t，cosα=1-t2-t（t≠2），代入sin2α+cos2α=1中，得：（1+t2-t）2+（1-t2-t）2=1，整理得t2+4t-2=0，解得：t=-2±6，故sinα-cosαsinα+cosα=-2±6.

點評：本例的常見解法是將條件中的sinα代入到代數(shù)式中，得到一個關(guān)于cosα的新的代數(shù)式，然后再將條件與sin2α+cos2α=1聯(lián)立起來解出cosα的值，思路雖然自然易想，但計算繁瑣，運算量大.

四、“設元”后利用代數(shù)式的幾何意義

例5求cos80°-cos20°sin80°+sin20°的值.

分析：根據(jù)所求式的結(jié)構(gòu)特征，設元后利用幾何意義，結(jié)合幾何圖形求解代數(shù)式的值，會使解法更具鮮明特點.

解析：設cos80°-cos20°sin80°+sin20°=t，則sin80°-sin（-20°）cos80°-cos（-20°）=1t，而“1t”所表示的幾何意義是經(jīng)過A（cos80°，sin80°，B（cos（-20°），sin（-20°））兩點的直線的斜率.由于A，B兩點都在單位圓上，且∠AOB=100°（其中O為坐標原點），∠OAB=40°，故直線AB的傾斜角α=80°+40°=120°，故1t=tan120°=-3，得t=-33，即cos80°-cos20°sin80°+sin20°的值為-33.

點評：三角函數(shù)求值中放棄了利用和差化積與積化和差求值的特定技巧，而根據(jù)幾何意義利用設元法求值，更突出地考查了我們處理多個知識點綜合的能力.

五、“設元”后整體配對

例6求sin220°+cos250°+sin20°·cos50°的值.

分析：觀察題設結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想對稱式的結(jié)構(gòu)，尋求整體配對.配對的目的在于能夠使用三角公式化簡運算.

解析：設x=sin220°+cos250°+sin20°·cos50°，y=cos220°+sin250°+cos20°·sin50°，則x+y=2+sin70°，x-y=-12-sin70°，兩式相加得：x=34，故原式=34.

點評：根據(jù)題設結(jié)構(gòu)，整體配對，靈活運用三角函數(shù)公式，使問題迎刃而解.

（作者：丁稱興，江蘇省溧水高級中學）

在三角函數(shù)中求代數(shù)式的值或取值范圍，是我們學習的一個重點內(nèi)容，也是各類考試考查的重要知識點.對于三角函數(shù)中大多數(shù)求值題而言，一般是本著化異名函數(shù)為同名函數(shù)，化異角為同角，通過已知條件，利用同角三角函數(shù)的誘導公式或兩角和與差的三角函數(shù)公式求出.但有時將所求的代數(shù)式設元為t，然后結(jié)合已知條件靈活運用所設式，從而求出t的值或范圍.這種設元法往往能起到明晰思路，簡化運算，出奇制勝的效果.

一、“設元”后利用倍角公式

例1已知cosxsiny=14，求sinxcosy的取值范圍.

分析：觀察到所求的代數(shù)式與已知條件中代數(shù)式的關(guān)系：其乘積恰好構(gòu)成倍角公式，故通過設元后可以利用倍角公式來處理.

解析：設sinxcosy=t，則（sinxcosy）·（cosxsiny）=14t，由倍角公式得：sin2xsin2y=t，

由于|sin2xsin2y|≤1，故|t|≤1，得-1≤t≤1，故sinxcosy的取值范圍為[-1，1].

點評：本題設元后可以通過將已知式和所求式相乘，充分利用倍角公式，借助正弦函數(shù)的有界性.

例2求sin10°·sin50°·sin70°的值.

分析：設所求式為“t”，根據(jù)條件的對稱性，假設相應角的余弦值的乘積為s，利用兩式的乘積進行求值.

解析：設t=sin10°·sin50°·sin70°，對稱地設s=cos10°·cos50°·cos70°

則ts=（sin10°·sin50°·sin70°）（cos10°·cos50°·cos70°）=18sin20°sin100°sin140°=18cos10°·cos50°·cos70°=18s，故t=18，即sin10°·sin50°·sin70°=18.

點評：這種對稱的設法的根源在于所求的代數(shù)式中隱含著倍角的關(guān)系，因為原式可等價轉(zhuǎn)化為cos20°·cos40°·cos80°，因此利用倍角公式可解決問題.

二、“設元”后構(gòu)造方程組

例3已知sinx+2cosy=2，求cosx+2siny的取值范圍.

分析：將所求代數(shù)式設元為“t”，再反過來將代數(shù)式與條件中的式子聯(lián)系起來，利用同角三角函數(shù)關(guān)系，即可得t關(guān)于某個角的三角函數(shù)，從而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出其范圍.

解析：設cosx+2siny=t，則將所求式與已知式平方相加得：

（sinx+2cosy）2+（cosx+2siny）2=4+t2，展開得：5+4sin（x+y）=t2+4，

即t2=1+4sin（x+y）≤5，∴t∈[-5，5]，故cosx+2siny的取值范圍為[-5，5].

點評：此題若直接從已知條件出發(fā)，根據(jù)函數(shù)名與角度的差異，將已知條件化為未知式后再尋求范圍，則難度是相當大的.

三、“設元”后利用同角三角函數(shù)關(guān)系構(gòu)造方程

例4已知sinα+3cosα=2，求sinα-cosαsinα+cosα的值.

分析：設所求式為“t”，根據(jù)條件即可得到關(guān)于sinα，cosα的方程，解之后代入同角三角函數(shù)中的平方關(guān)系，即可得到一個關(guān)于“t”的方程.

解析：設sinα-cosαsinα+cosα=t，則sinα-cosα=tsinα+tcosα，即（1-t）sinα=（1+t）cosα，又因為sinα+3cosα=2，解出關(guān)于sinα，cosα的方程組，得sinα=1+t2-t，cosα=1-t2-t（t≠2），代入sin2α+cos2α=1中，得：（1+t2-t）2+（1-t2-t）2=1，整理得t2+4t-2=0，解得：t=-2±6，故sinα-cosαsinα+cosα=-2±6.

點評：本例的常見解法是將條件中的sinα代入到代數(shù)式中，得到一個關(guān)于cosα的新的代數(shù)式，然后再將條件與sin2α+cos2α=1聯(lián)立起來解出cosα的值，思路雖然自然易想，但計算繁瑣，運算量大.

四、“設元”后利用代數(shù)式的幾何意義

例5求cos80°-cos20°sin80°+sin20°的值.

分析：根據(jù)所求式的結(jié)構(gòu)特征，設元后利用幾何意義，結(jié)合幾何圖形求解代數(shù)式的值，會使解法更具鮮明特點.

解析：設cos80°-cos20°sin80°+sin20°=t，則sin80°-sin（-20°）cos80°-cos（-20°）=1t，而“1t”所表示的幾何意義是經(jīng)過A（cos80°，sin80°，B（cos（-20°），sin（-20°））兩點的直線的斜率.由于A，B兩點都在單位圓上，且∠AOB=100°（其中O為坐標原點），∠OAB=40°，故直線AB的傾斜角α=80°+40°=120°，故1t=tan120°=-3，得t=-33，即cos80°-cos20°sin80°+sin20°的值為-33.

點評：三角函數(shù)求值中放棄了利用和差化積與積化和差求值的特定技巧，而根據(jù)幾何意義利用設元法求值，更突出地考查了我們處理多個知識點綜合的能力.

五、“設元”后整體配對

例6求sin220°+cos250°+sin20°·cos50°的值.

分析：觀察題設結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想對稱式的結(jié)構(gòu)，尋求整體配對.配對的目的在于能夠使用三角公式化簡運算.

解析：設x=sin220°+cos250°+sin20°·cos50°，y=cos220°+sin250°+cos20°·sin50°，則x+y=2+sin70°，x-y=-12-sin70°，兩式相加得：x=34，故原式=34.

點評：根據(jù)題設結(jié)構(gòu)，整體配對，靈活運用三角函數(shù)公式，使問題迎刃而解.

（作者：丁稱興，江蘇省溧水高級中學）