鄭麗云 龔友平 劉彥輝

（杭州電子科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，浙江 杭州 310018）

隨著微機(jī)電系統(tǒng)技術(shù)（MEMS）的發(fā)展，靜電力被普遍選作為MEMS傳感器、執(zhí)行器的驅(qū)動(dòng)方式，它將點(diǎn)電荷之間的電場(chǎng)力轉(zhuǎn)化為驅(qū)動(dòng)力。通常以單端固定的橫梁作為傳感器的機(jī)械力驅(qū)動(dòng)部分，在橫梁下設(shè)置有固定電極，用極板間的電場(chǎng)力驅(qū)動(dòng)橫梁運(yùn)動(dòng)。采用電壓或者電荷控制驅(qū)動(dòng)器時(shí)，當(dāng)結(jié)構(gòu)的可動(dòng)電極運(yùn)動(dòng)位移達(dá)到特定值時(shí)，呈線性變化的彈性力和呈非線性的靜電力處于平衡狀態(tài)，由于電場(chǎng)力變化的速度遠(yuǎn)大于橫梁彈性力變化的速度，當(dāng)施加電壓或電荷超過(guò)某臨界值時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生橫梁被固定電極突然吸合的現(xiàn)象。了解靜電力驅(qū)動(dòng)的基本原理以及吸合現(xiàn)象的產(chǎn)生是提高靜電力驅(qū)動(dòng)器件研究水平的關(guān)鍵內(nèi)容。

1 平行板電容器靜電力驅(qū)動(dòng)的基本原理

1.1 靜電驅(qū)動(dòng)的基本定理

由庫(kù)倫定理可知，當(dāng)點(diǎn)電荷處在真空中時(shí)，相互間的電場(chǎng)力與其所帶電量的乘積成正比，與其之間距離的二次方成反比，作用力的方向沿著這兩個(gè)點(diǎn)電荷的

連線。同樣處于空間介質(zhì)中的兩個(gè)點(diǎn)電荷同樣適用于庫(kù)侖定律。

1.2 微開關(guān)電容器簡(jiǎn)化模型

圖1 平行板電容模型

如圖1所示，當(dāng)給兩個(gè)平行極板形成的電容器兩端施加電壓V時(shí)，電容極板間帶有極性相反的電荷量Q并由因此產(chǎn)生靜電吸引力Fe。此時(shí)，電容器存儲(chǔ)能量為：

式中電容C為：

式中：A是兩板之間正對(duì)面積，ε是真空介電常數(shù)，εr是相對(duì)介電常數(shù)，d0是極板間初始距離。

由此可以得到電容器存儲(chǔ)能量與電容極板距離之間的關(guān)系為：

上式中，W對(duì)極板間距離d0求一階偏導(dǎo)，即可得到極板之間的靜電吸引力Fe為：

從式（4）中可以看出，極板之間產(chǎn)生的靜電力與極板兩端的電壓的平方成正比，跟極板間距離的二次方成反比，產(chǎn)生的靜電吸引力隨極板間距離減小而增大。

2 靜態(tài)吸合分析

2.1 模型假設(shè)與簡(jiǎn)化

為了分析靜態(tài)吸合現(xiàn)象，我們需要對(duì)所提出的電容模型做一定的假設(shè)和簡(jiǎn)化：即忽略慣性阻尼等因素的影響，極板間施加電壓變化緩慢以至于可動(dòng)極板在電場(chǎng)力、上極板回復(fù)力共同作用下在任意時(shí)刻都能夠保持在穩(wěn)定狀態(tài)，可動(dòng)極板的速度以及加速度都為零且期間不會(huì)存在震蕩現(xiàn)象；極板的運(yùn)動(dòng)是理想化的，即為可動(dòng)極板只能隨彈性梁和敏感質(zhì)量塊在固定極板的上方做垂直運(yùn)動(dòng)。

2.2 微開關(guān)的靜態(tài)吸合現(xiàn)象

對(duì)于常見(jiàn)的MEMS加速度計(jì)系統(tǒng)，靜電力驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)常常是由固定極板、可動(dòng)極板、彈性梁和敏感質(zhì)量塊組成?？蓜?dòng)極板往往和彈性梁以及敏感質(zhì)量塊連接在一起，當(dāng)極板間發(fā)生靜電作用時(shí)，彈性梁會(huì)產(chǎn)生彈性力來(lái)平衡靜電引力，假設(shè)極板間距縮小x，此時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到平衡，則：

將上式化簡(jiǎn)成關(guān)于x的函數(shù)可得：

假設(shè)在施加電壓V0時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到平衡，做功為零，則由將（6）式兩端分別對(duì)x求導(dǎo)得：

最終求得平衡臨界位置xp（ 0＜x＜d0）：

該位置就是極板的吸合點(diǎn)，與吸合位置對(duì)應(yīng)的電壓即為極板的吸合電壓：

由式（6）利用Matlab軟件可得到電容極板兩端施加的電壓與平衡位置的關(guān)系曲線如下圖。由圖2可知隨著施加在電容器極板兩端的電壓逐漸增大，可動(dòng)極板的位移逐漸增大，系統(tǒng)此時(shí)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)平行板電容器極板兩端的電壓增大到吸合電壓時(shí)，即系統(tǒng)達(dá)到臨界平衡點(diǎn)，也就是圖中的曲線的最右側(cè)位置；此時(shí)系統(tǒng)也處于平衡狀態(tài)，如果繼續(xù)增加電壓，系統(tǒng)就會(huì)瞬間崩塌，可動(dòng)極板和固定極板將迅速吸合在一起。結(jié)合式（8）、式（9）可知為使系統(tǒng)保證平衡穩(wěn)定狀態(tài)，驅(qū)動(dòng)電壓不應(yīng)超過(guò)臨界電壓Vp，其對(duì)應(yīng)最大平衡點(diǎn)位置為

圖2 電容器極板吸合電壓與上極板位移變化曲線

圖3 驅(qū)動(dòng)電壓和懸臂梁端點(diǎn)位移關(guān)系

表1 微開關(guān)的參數(shù)模型

3 有限元仿真分析

在MEMS傳感器、執(zhí)行器設(shè)計(jì)中，通常以單端固定的橫梁作為傳感器的機(jī)械力驅(qū)動(dòng)部分，在橫梁下設(shè)置有固定電極，用極板間的電場(chǎng)力驅(qū)動(dòng)橫梁運(yùn)動(dòng)。而靜電吸合現(xiàn)象是靜電力驅(qū)動(dòng)微執(zhí)行器的一個(gè)重要特征，將直接影響整個(gè)微器件的性能，引起了業(yè)界廣泛關(guān)注和研究，本文將采用有限元法對(duì)其進(jìn)行耦合分析。

3.1 機(jī)電耦合理論分析

在微開光中懸臂梁在靜電力的作用下發(fā)生偏轉(zhuǎn)。當(dāng)采用有限元方法來(lái)研究這一運(yùn)動(dòng)過(guò)程時(shí)，涉及到電磁場(chǎng)和結(jié)構(gòu)場(chǎng)學(xué)之間較復(fù)雜的耦合分析，當(dāng)在微驅(qū)動(dòng)器上施加驅(qū)動(dòng)電壓后，懸臂梁受到電場(chǎng)力作用而向下偏轉(zhuǎn)，使得懸臂梁與固定電極之間的距離減小，極板間距離的變化反過(guò)來(lái)影響電場(chǎng)分布，從而使得靜電力的大小隨之變化。在分析中涉及到結(jié)構(gòu)場(chǎng)和靜電場(chǎng)的耦合迭代分析，需要將前一個(gè)場(chǎng)的分析結(jié)果作為邊界條件和載荷傳遞到下一個(gè)場(chǎng)分析中，因而我們選用有限元分析中順序耦合法來(lái)進(jìn)行微驅(qū)動(dòng)器的結(jié)構(gòu)場(chǎng)和靜電場(chǎng)耦合分析。

3.2 ANSYS模型建立及求解

微開關(guān)結(jié)構(gòu)模型參數(shù)如表1。

懸臂梁建模選用SOLID45單元，靜電場(chǎng)建模選用TRANSl26單元，該單元支持在節(jié)點(diǎn)X、Y和Z方向上的運(yùn)動(dòng)，可以聯(lián)合多個(gè)單元來(lái)表示設(shè)備的全三維平移響應(yīng)。因而可以通過(guò)一個(gè)完全表征了耦合電子機(jī)械響應(yīng)的降解單元來(lái)模擬靜電驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)。典型應(yīng)用包括微加速度計(jì)、微開關(guān)和微鏡設(shè)備中。

通過(guò)采用有限元分析軟件的力-電耦合分析，對(duì)微驅(qū)動(dòng)器在施加電壓條件下的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行模擬分析。圖3顯示了驅(qū)動(dòng)電壓V和微開關(guān)懸臂梁邊緣點(diǎn)偏移量Y的關(guān)系。

3.3 結(jié)果分析

由圖可得，電壓從0開始，以5 V的步長(zhǎng)線性遞增到30V，隨著驅(qū)動(dòng)電壓逐漸增加，微開關(guān)懸臂梁端點(diǎn)逐漸向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)電壓到達(dá)28V時(shí)，懸臂梁端點(diǎn)被迅速吸合到固定極板上，此時(shí)懸臂梁邊緣沿Y方向位移為-0.6705 um,該點(diǎn)即為吸合現(xiàn)象發(fā)生時(shí)對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)電壓和位移。

將參數(shù)代入理論公式中，可以得到系統(tǒng)的吸合電壓為28V，對(duì)應(yīng)吸合點(diǎn)為上極板邊緣位移Y=0.6667um。由此可以得出在不考慮邊緣效應(yīng)的情況下，對(duì)于微開關(guān)中懸臂梁的吸合現(xiàn)象理論分析結(jié)果和ANSYS仿真分析結(jié)果分析基本一致。

結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)平行板式靜電微執(zhí)行器的典型應(yīng)用微開關(guān)進(jìn)行理論分析，得到了描述吸合現(xiàn)象的基本方程。結(jié)合靜電力驅(qū)動(dòng)膜片結(jié)構(gòu)，對(duì)光開關(guān)中的懸臂梁機(jī)構(gòu)，采用ANSYS仿真的方法得到了懸臂梁的末端位移曲線，并與解析法相比較取得了一致的效果，為靜電微驅(qū)動(dòng)控制提供了一定的理論依據(jù)。

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