胡健鋒 廖傳偉 李林濤

(三一重工股份有限公司，湖南長(zhǎng)沙 410000)

0 引言

裂紋的產(chǎn)生和擴(kuò)展作為目前很多情況下的主要失效形式，對(duì)工程產(chǎn)品的壽命影響巨大，因此研究裂紋的擴(kuò)展行為對(duì)于指導(dǎo)工程產(chǎn)品的加工和制造有著非常重要的意義。而陶瓷材料作為一種新型的工程材料在各個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用已經(jīng)越來(lái)越廣泛。SIC陶瓷材料的劃痕實(shí)驗(yàn)是陶瓷材料在滑動(dòng)接觸過(guò)程中的裂紋擴(kuò)展行為的典型實(shí)際應(yīng)用。而裂紋的擴(kuò)展模擬主要是在有限元軟件平臺(tái)上進(jìn)行，但在離散元軟件PFC2D［1］中也進(jìn)行過(guò)類(lèi)似的數(shù)值模擬。

對(duì)于在裂紋擴(kuò)展的數(shù)值模擬中，通常對(duì)于斷裂準(zhǔn)則的選取尤為講究，斷裂準(zhǔn)則主要有最大主應(yīng)力斷裂準(zhǔn)則、最大主應(yīng)變斷裂準(zhǔn)則、延性損傷準(zhǔn)則等，而從數(shù)值模擬的角度來(lái)看，更多的使用的是最大主應(yīng)力準(zhǔn)則，這對(duì)于結(jié)果更易于控制其精確度。

在有限元模型中其裂紋主要有兩種形式，一種是預(yù)設(shè)了裂紋的擴(kuò)展路徑使之按預(yù)定的路徑進(jìn)行節(jié)點(diǎn)開(kāi)裂，另一種是讓裂紋根據(jù)其設(shè)定的判定準(zhǔn)則來(lái)進(jìn)行擴(kuò)展，其中第二種方法就是目前在長(zhǎng)裂紋擴(kuò)展研究中扮演重要角色的擴(kuò)展有限元方法［2］。

1 擴(kuò)展有限元(XFEM)及應(yīng)用

擴(kuò)展有限元法(Extended Finite Element Method，XFEM)是20世紀(jì)末提出的用來(lái)求解不連續(xù)力學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)值方法，它能夠解決常規(guī)有限元法(CFEM)無(wú)法解決的一些問(wèn)題，對(duì)于模擬裂紋的隨機(jī)擴(kuò)展等不連續(xù)問(wèn)題時(shí)特別有效，特別在近幾年在不同的應(yīng)用領(lǐng)域得到了快速發(fā)展與應(yīng)用。XFEM與CFEM的最主要的區(qū)別在于它在模擬裂紋擴(kuò)展的過(guò)程中不需要對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行重劃分而不會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)生數(shù)據(jù)奇異。

XFEM方法在目前研究裂紋的擴(kuò)展中的作用非同小可［2］，文獻(xiàn)［3］［4］中采用XFEM方法模擬了摩擦接觸裂紋的擴(kuò)展，其中均采用迭代法求解裂紋面的接觸非線性。迭代法的缺點(diǎn)是求解過(guò)程復(fù)雜，且不能保證收斂到正確解。在此基礎(chǔ)上余天堂［5］建立了摩擦接觸裂紋問(wèn)題的XFEM線性互補(bǔ)模型，將裂紋面非線性接觸轉(zhuǎn)換為一個(gè)線性互補(bǔ)問(wèn)題求解，不需要迭代求解，且方法具有一定的準(zhǔn)確性和有效性。而楊萬(wàn)托［6］采用改進(jìn)的XFEM對(duì)有限板單邊裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子和I形裂紋的擴(kuò)展分析，這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于可以直接求出裂紋的表征參數(shù)，但局限于I形裂紋擴(kuò)展，而工程實(shí)際中的裂紋擴(kuò)展絕大部分均為復(fù)合型裂紋。董玉文等［7］利用最大環(huán)向拉應(yīng)力開(kāi)裂準(zhǔn)則對(duì)基于XFEM的裂紋擴(kuò)展進(jìn)行了模擬。Stolarska等把水平集法(LSM)和XFEM結(jié)合起來(lái)研究裂紋擴(kuò)展問(wèn)題，LSM用以表征裂紋和裂尖位置，XFEM用于計(jì)算應(yīng)力和位移，以確定裂紋擴(kuò)展率［8］。這些方法在不同角度上分析了以XFEM方法為基礎(chǔ)的裂紋擴(kuò)展問(wèn)題。

2 擴(kuò)展有限元方法(XFEM)模擬陶瓷裂紋擴(kuò)展

2．1 裂紋擴(kuò)展前處理

在前處理建模過(guò)程中，裂紋的存在是一種幾何不連續(xù)性的表現(xiàn)，裂紋的擴(kuò)展表現(xiàn)為產(chǎn)生新的裂紋面，即幾何不連續(xù)性的演變。在ABAQUS等有限元軟件分析中，一般來(lái)講裂紋可以在三個(gè)不同的層次上進(jìn)行描述:1)整個(gè)模型上;2)單元內(nèi)部;3)節(jié)點(diǎn)之間。

而本文則采取的是在單元內(nèi)部預(yù)制裂紋，利用XFEM法來(lái)模擬裂紋的擴(kuò)展。

因?yàn)橹恍枰玫狡矫嬷辛鸭y擴(kuò)展中的參數(shù)，因此對(duì)于柱面建模的過(guò)程中有兩種方法，第一種方法是建立和平面一樣的變形體，然后在ABAQUS相互作用的模塊下將柱面約束成剛體;第二種方法是直接將柱面建模成剛體，本文運(yùn)用的是第二種方法。

其模型尺寸為500 mm×200 mm，剛體的尺寸為R60的下半圓的2/3，預(yù)制裂紋的長(zhǎng)度為6 mm，平面的單元類(lèi)型為CPS4R，在網(wǎng)格的劃分中采取的是Structured網(wǎng)格，這樣能夠劃分出比較好的網(wǎng)格。材料的密度為3 210 kg/m3，彈性模量為420 GPa，泊松比為 0．15。

其建模之后的裝配體和網(wǎng)格劃分如圖1所示。

圖1 裝配體模型和網(wǎng)格劃分

2．2 裂紋模擬過(guò)程及模擬結(jié)果

在模擬裂紋的擴(kuò)展當(dāng)中，柱面在平面上面進(jìn)行滑動(dòng)使裂紋得以擴(kuò)展，因?yàn)镾IC陶瓷材料在滑移的過(guò)程中表面殘余應(yīng)力比較小，所以在裂紋擴(kuò)展的過(guò)程中滑過(guò)去的部分應(yīng)力云圖顯示不明顯。其擴(kuò)展過(guò)程及擴(kuò)展完之后如圖2，圖3所示。

圖2 裂紋擴(kuò)展的過(guò)程

圖2中數(shù)字1、數(shù)字2分別代表裂紋及應(yīng)力區(qū)。

裂紋擴(kuò)展完畢后通過(guò)選擇裂紋尖端單元可以得出裂紋尖端單元最大剪切應(yīng)力及最大主應(yīng)力曲線，如圖4，圖5所示。

圖3 裂紋擴(kuò)展完成

圖4 裂紋尖端單元最大剪切應(yīng)力

圖5 裂紋尖端單元最大主應(yīng)力

在本模擬中所采取的斷裂準(zhǔn)則為最大主應(yīng)力準(zhǔn)則，因此其最大主應(yīng)力可以作為裂紋擴(kuò)展的重要的參數(shù)。在裂紋擴(kuò)展完的單元中，其最大主應(yīng)力超過(guò)了陶瓷材料所設(shè)置的最大主應(yīng)力，而未擴(kuò)展到的單元中其最大主應(yīng)力未達(dá)到其設(shè)定值，符合斷裂準(zhǔn)則的判定。

2．3 裂紋擴(kuò)展路徑及裂紋擴(kuò)展角

SIC陶瓷材料裂紋在有限元軟件ABAQUS和離散元軟件PFC2D中模擬出來(lái)的裂紋擴(kuò)展路徑方向如圖6所示，由圖6可知裂紋擴(kuò)展的方向近似，這也在一定程度上證明在ABAQUS中模擬陶瓷裂紋擴(kuò)展的行為是有效的。

圖6 有限元軟件和離散元軟件模擬出來(lái)的裂紋擴(kuò)展角方向

對(duì)于實(shí)際裂紋擴(kuò)展的過(guò)程中，裂紋擴(kuò)展的角度決定了裂紋擴(kuò)展的軌跡，而在整個(gè)裂紋擴(kuò)展的過(guò)程中，在理論上主要利用最大周向拉應(yīng)力來(lái)計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子求得擴(kuò)展角［8］。

在公式中通過(guò)對(duì)斷裂過(guò)程中的應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解，可以得出理論解析解與模擬出的對(duì)于裂紋的開(kāi)裂角，分析得到其解析式為:

其中，θ為裂紋擴(kuò)展角;kⅠ，kⅡ分別為第一型和第二型應(yīng)力強(qiáng)度因子。

而對(duì)于陶瓷材料而言 kⅠ=3．5 MPa·m1/2，kⅡ=2．85 MPa·m1/2，將應(yīng)力強(qiáng)度因子代入上式可以得到裂紋擴(kuò)展角的解析解θ≈49．7°，得到的裂紋擴(kuò)展角是在裂紋剛開(kāi)始擴(kuò)展的時(shí)候的張開(kāi)方向。

而通過(guò)有限元模擬結(jié)果及離散元模擬結(jié)果測(cè)量其裂紋擴(kuò)展角分別為48°，51°，其誤差基本控制在有效范圍內(nèi)。

3 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)剛性柱面與SIC陶瓷平面的滑動(dòng)接觸過(guò)程中的裂紋擴(kuò)展進(jìn)行了數(shù)值模擬，得出了以下結(jié)果:

1)在ABAQUS中運(yùn)用XFEM法和最大主應(yīng)力斷裂準(zhǔn)則來(lái)模擬陶瓷材料的裂紋擴(kuò)展行為，得到其裂紋擴(kuò)展的過(guò)程及應(yīng)力場(chǎng)的變化規(guī)律，并求得其裂紋擴(kuò)展角;

2)其裂紋擴(kuò)展角能夠與離散元模擬結(jié)果及解析解匹配，其誤差在允許的范圍內(nèi)，為無(wú)損探傷提供了理論的測(cè)量視角。

同時(shí)本文在模擬方面還存在一定的不足，比如說(shuō)對(duì)于擴(kuò)展角的求解過(guò)程中，因?yàn)榫W(wǎng)格的原因?qū)е铝藬U(kuò)展路徑只在一定的單元中進(jìn)行擴(kuò)展，使得擴(kuò)展角在后續(xù)的測(cè)量當(dāng)中存在著一定的誤差，這也是測(cè)量解與解析解存在差距的主要原因，同時(shí)這也是在裂紋擴(kuò)展方面進(jìn)行更深入的研究的一個(gè)切入口。

［1］Yang D．Discrete element modeling of the microbond test of fiber reinforced composite［J］．Computational Materials Science，2010(1):16-18．

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［5］余天堂．摩擦接觸裂紋問(wèn)題的擴(kuò)展有限元法［J］．工程力學(xué)，2010(4):39-40．

［6］楊萬(wàn)托．?dāng)U展有限元法在線彈性斷裂力學(xué)中的應(yīng)用研究［J］．山西建筑，2006，32(12):36-37．

［7］董玉文，任青文．基于XFEM的混凝土開(kāi)裂數(shù)值模擬研究［J］．重慶交通大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009(2):66-67．

［8］張 行．?dāng)嗔蚜W(xué)［M］．北京:中國(guó)宇航出版社，1990．