萬俊丹++何遺非++聶磊

摘 要：研究表明，模態(tài)振型的圖像函數(shù)可以有效的描述結(jié)構(gòu)的振動特征，并可應(yīng)用于結(jié)構(gòu)動力學模型的設(shè)計與改進。本文將探討圖像函數(shù)-Zernike矩（以下簡稱Z矩）在結(jié)構(gòu)動力學模型校準中的應(yīng)用，通過某型彈用發(fā)動機輪盤的動力學模型校準，驗證了基于Z圖像函數(shù)用于實際結(jié)構(gòu)的動力學模型設(shè)計與改進的實際應(yīng)用是可行性。

關(guān)鍵詞：圖像函數(shù) 動力學 模型校準

中圖分類號：V231.9 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）03（c）-0082-02

1 基于圖像函數(shù)的模型校準方法

基于圖像函數(shù)的模型校準方法的研究剛剛起步，尚有許多的新方法有待研究與發(fā)現(xiàn)。本節(jié)介紹了基于圖像函數(shù)的靈敏度的模型校準方法，推導(dǎo)了圖像函數(shù)的靈敏度公式，并給出了修正參數(shù)的估計方法。

1.1 模態(tài)振型的圖像函數(shù)的靈敏度

模態(tài)振型的描述符對結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度可以表示為：

（1）

這里，是待修正的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

連續(xù)模態(tài)振型函數(shù)可以表示為單元型函數(shù)和模態(tài)特征向量的線性組合：

（2）

可得

（3）

由此可知，模態(tài)振型圖像函數(shù)的靈敏度可以通過計算單元形函數(shù)的特征矩與特征向量的靈敏度之積來獲得。

此外，前向差分法也可以用來計算圖像函數(shù)靈敏度，該方法簡單易行，但須選擇適宜的步長。

1.2 修正參數(shù)估計

與基于靈敏度的修正方法類似，在獲得響應(yīng)對修正參數(shù)的靈敏度后，可以利用靈敏度與Z特征矩殘差來估計下次迭代的參數(shù)：

（4）

其中，是模態(tài)振型圖像函數(shù)的靈敏度，為測試模態(tài)振型函數(shù)的特征矩，為第j次迭代的仿真的模態(tài)振型特征矩。

在利用圖像函數(shù)進行修正時，可以選擇模態(tài)振型的主要特征矩作為響應(yīng)目標，否則修正過程易發(fā)散。

2 Z矩在發(fā)動機輪盤的動力學模型校準中的應(yīng)用

本文利用基于圖像函數(shù)的模型校準的方法，利用試驗數(shù)據(jù)對某型彈用發(fā)動機輪盤進行模型校準。由于測試數(shù)據(jù)中包含了較大的噪聲（尤其是高頻模態(tài)），故將固有頻率和模態(tài)振型的Z特征矩同時作為修正對象。

由相關(guān)性分析結(jié)果可知，第3～5、8和9階模態(tài)對的固有頻率誤差很大（均高于10%）。經(jīng)分析，這幾階模態(tài)均包含輪盤的節(jié)圓振動（傘形振動），而節(jié)圓振動的主要區(qū)域在輪盤的內(nèi)孔和中間薄壁處，可能是這些區(qū)域存在誤差導(dǎo)致了頻率差異過大；此外，考慮到測繪過程中倒角等部位測量的不夠準確，也是模型中可能的誤差源。最終，確定了3個區(qū)域進行修正，分別為輪盤內(nèi)孔、薄壁和薄壁與輪緣間的倒角部分。各修正區(qū)域如圖1所示，修正參數(shù)選擇彈性模量，分別為P1～P3。

修正的目標為前13階試驗頻率及其對應(yīng)模態(tài)振型的Z特征主矩，共80個響應(yīng)。采用基于靈敏度的迭代法進行修正，采用本中所給方法分別計算頻率及圖像函數(shù)的靈敏度。修正過程中固有頻率誤差及參數(shù)的變化如圖2所示。

可以看到，迭代9次后，參數(shù)收斂。各階模態(tài)的頻率誤差均下降，有限元預(yù)測結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)之間的誤差被大大減小。值得注意的是，薄壁與輪緣的倒角處的剛度降低了將近80%，說明在有限元建模過程中，該處的建模誤差較大。

圖3中比較了修正前后的頻率誤差，可以看到，經(jīng)過修正，第3～5和第8、9階模態(tài)的固有頻率誤差明顯減小，各模態(tài)的最大頻率誤差也由17.5%降1.74%，這說明通過修正有效的減小了有限元模型與實際結(jié)構(gòu)的差異。

修正前后的頻率誤差、MAC的變化如表1所示。

可以看到，修正后第1、4、5階模態(tài)的MAC值明顯變大，均上升至90%以上，這是由于利用Z矩進行修正，縮小了模態(tài)對之間的轉(zhuǎn)角。

表2比較了是否考慮模態(tài)振型的Z圖像函數(shù)的修正結(jié)果（取MAC>70%的前10階模態(tài)對）。

由表2可知，兩種情況下，修正后的固有頻率誤差均降至2%以內(nèi)，達到了很好的修正效果；考慮輪盤模態(tài)振型的Z矩后，修正后的MAC值高于僅修正固有頻率的結(jié)果，這是因為基于圖像函數(shù)的模型校準考慮了模態(tài)振型的影響，從而使模態(tài)振型得到了有效的改善。

綜上所述，利用結(jié)合固有頻率和Z矩進行模型校準，可以有效的改善發(fā)動機輪盤動力學模型與實際結(jié)構(gòu)的差異，使修正后的模型可以很好的反映結(jié)構(gòu)的振動特性；考慮模態(tài)振型的Z矩后，使修正后試驗/有限元的MAC值得到了提高?？梢?，利用圖像函數(shù)進行模型校準是完全可行的，且具有一定優(yōu)越性。

3 結(jié)論

本文對基于圖像函數(shù)的模型校準的方法的可行性進行了探討與研究。通過本文的研究，成功將Zernike矩應(yīng)用于某型彈用發(fā)動機輪盤的模型校準之中。修正后，輪盤的固有頻率誤差降至2%以內(nèi)，前10階模態(tài)振型的MAC值均高于0.8。此外，考慮模態(tài)振型的Z矩，修正后試驗/有限元的MAC值較僅采用固有頻率進行修正得到了提高。可見，將圖像函數(shù)應(yīng)用于實際結(jié)構(gòu)的模型校準是可行的，可以使修正后的模型更準確的反映結(jié)構(gòu)的動力學特性。

參考文獻

[1] 劉銀超.矩函數(shù)在結(jié)構(gòu)動力學模型確認中的應(yīng)用[D].南京航空航天大學，2012.

[2] 樊征兵.考慮不確定性因素的結(jié)構(gòu)動力學分析技術(shù)研究[D].南京航空航天大學，2012.

[3] 林賢響.機床結(jié)構(gòu)動力學建模及動態(tài)特性分析技術(shù)的研究[D].浙江工業(yè)大學 2012.endprint

摘 要：研究表明，模態(tài)振型的圖像函數(shù)可以有效的描述結(jié)構(gòu)的振動特征，并可應(yīng)用于結(jié)構(gòu)動力學模型的設(shè)計與改進。本文將探討圖像函數(shù)-Zernike矩（以下簡稱Z矩）在結(jié)構(gòu)動力學模型校準中的應(yīng)用，通過某型彈用發(fā)動機輪盤的動力學模型校準，驗證了基于Z圖像函數(shù)用于實際結(jié)構(gòu)的動力學模型設(shè)計與改進的實際應(yīng)用是可行性。

關(guān)鍵詞：圖像函數(shù) 動力學 模型校準

中圖分類號：V231.9 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）03（c）-0082-02

1 基于圖像函數(shù)的模型校準方法

基于圖像函數(shù)的模型校準方法的研究剛剛起步，尚有許多的新方法有待研究與發(fā)現(xiàn)。本節(jié)介紹了基于圖像函數(shù)的靈敏度的模型校準方法，推導(dǎo)了圖像函數(shù)的靈敏度公式，并給出了修正參數(shù)的估計方法。

1.1 模態(tài)振型的圖像函數(shù)的靈敏度

模態(tài)振型的描述符對結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度可以表示為：

（1）

這里，是待修正的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

連續(xù)模態(tài)振型函數(shù)可以表示為單元型函數(shù)和模態(tài)特征向量的線性組合：

（2）

可得

（3）

由此可知，模態(tài)振型圖像函數(shù)的靈敏度可以通過計算單元形函數(shù)的特征矩與特征向量的靈敏度之積來獲得。

此外，前向差分法也可以用來計算圖像函數(shù)靈敏度，該方法簡單易行，但須選擇適宜的步長。

1.2 修正參數(shù)估計

與基于靈敏度的修正方法類似，在獲得響應(yīng)對修正參數(shù)的靈敏度后，可以利用靈敏度與Z特征矩殘差來估計下次迭代的參數(shù)：

（4）

其中，是模態(tài)振型圖像函數(shù)的靈敏度，為測試模態(tài)振型函數(shù)的特征矩，為第j次迭代的仿真的模態(tài)振型特征矩。

在利用圖像函數(shù)進行修正時，可以選擇模態(tài)振型的主要特征矩作為響應(yīng)目標，否則修正過程易發(fā)散。

2 Z矩在發(fā)動機輪盤的動力學模型校準中的應(yīng)用

本文利用基于圖像函數(shù)的模型校準的方法，利用試驗數(shù)據(jù)對某型彈用發(fā)動機輪盤進行模型校準。由于測試數(shù)據(jù)中包含了較大的噪聲（尤其是高頻模態(tài)），故將固有頻率和模態(tài)振型的Z特征矩同時作為修正對象。

由相關(guān)性分析結(jié)果可知，第3～5、8和9階模態(tài)對的固有頻率誤差很大（均高于10%）。經(jīng)分析，這幾階模態(tài)均包含輪盤的節(jié)圓振動（傘形振動），而節(jié)圓振動的主要區(qū)域在輪盤的內(nèi)孔和中間薄壁處，可能是這些區(qū)域存在誤差導(dǎo)致了頻率差異過大；此外，考慮到測繪過程中倒角等部位測量的不夠準確，也是模型中可能的誤差源。最終，確定了3個區(qū)域進行修正，分別為輪盤內(nèi)孔、薄壁和薄壁與輪緣間的倒角部分。各修正區(qū)域如圖1所示，修正參數(shù)選擇彈性模量，分別為P1～P3。

修正的目標為前13階試驗頻率及其對應(yīng)模態(tài)振型的Z特征主矩，共80個響應(yīng)。采用基于靈敏度的迭代法進行修正，采用本中所給方法分別計算頻率及圖像函數(shù)的靈敏度。修正過程中固有頻率誤差及參數(shù)的變化如圖2所示。

可以看到，迭代9次后，參數(shù)收斂。各階模態(tài)的頻率誤差均下降，有限元預(yù)測結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)之間的誤差被大大減小。值得注意的是，薄壁與輪緣的倒角處的剛度降低了將近80%，說明在有限元建模過程中，該處的建模誤差較大。

圖3中比較了修正前后的頻率誤差，可以看到，經(jīng)過修正，第3～5和第8、9階模態(tài)的固有頻率誤差明顯減小，各模態(tài)的最大頻率誤差也由17.5%降1.74%，這說明通過修正有效的減小了有限元模型與實際結(jié)構(gòu)的差異。

修正前后的頻率誤差、MAC的變化如表1所示。

可以看到，修正后第1、4、5階模態(tài)的MAC值明顯變大，均上升至90%以上，這是由于利用Z矩進行修正，縮小了模態(tài)對之間的轉(zhuǎn)角。

表2比較了是否考慮模態(tài)振型的Z圖像函數(shù)的修正結(jié)果（取MAC>70%的前10階模態(tài)對）。

由表2可知，兩種情況下，修正后的固有頻率誤差均降至2%以內(nèi)，達到了很好的修正效果；考慮輪盤模態(tài)振型的Z矩后，修正后的MAC值高于僅修正固有頻率的結(jié)果，這是因為基于圖像函數(shù)的模型校準考慮了模態(tài)振型的影響，從而使模態(tài)振型得到了有效的改善。

綜上所述，利用結(jié)合固有頻率和Z矩進行模型校準，可以有效的改善發(fā)動機輪盤動力學模型與實際結(jié)構(gòu)的差異，使修正后的模型可以很好的反映結(jié)構(gòu)的振動特性；考慮模態(tài)振型的Z矩后，使修正后試驗/有限元的MAC值得到了提高。可見，利用圖像函數(shù)進行模型校準是完全可行的，且具有一定優(yōu)越性。

3 結(jié)論

本文對基于圖像函數(shù)的模型校準的方法的可行性進行了探討與研究。通過本文的研究，成功將Zernike矩應(yīng)用于某型彈用發(fā)動機輪盤的模型校準之中。修正后，輪盤的固有頻率誤差降至2%以內(nèi)，前10階模態(tài)振型的MAC值均高于0.8。此外，考慮模態(tài)振型的Z矩，修正后試驗/有限元的MAC值較僅采用固有頻率進行修正得到了提高?？梢?，將圖像函數(shù)應(yīng)用于實際結(jié)構(gòu)的模型校準是可行的，可以使修正后的模型更準確的反映結(jié)構(gòu)的動力學特性。

參考文獻

[1] 劉銀超.矩函數(shù)在結(jié)構(gòu)動力學模型確認中的應(yīng)用[D].南京航空航天大學，2012.

[2] 樊征兵.考慮不確定性因素的結(jié)構(gòu)動力學分析技術(shù)研究[D].南京航空航天大學，2012.

[3] 林賢響.機床結(jié)構(gòu)動力學建模及動態(tài)特性分析技術(shù)的研究[D].浙江工業(yè)大學 2012.endprint

摘 要：研究表明，模態(tài)振型的圖像函數(shù)可以有效的描述結(jié)構(gòu)的振動特征，并可應(yīng)用于結(jié)構(gòu)動力學模型的設(shè)計與改進。本文將探討圖像函數(shù)-Zernike矩（以下簡稱Z矩）在結(jié)構(gòu)動力學模型校準中的應(yīng)用，通過某型彈用發(fā)動機輪盤的動力學模型校準，驗證了基于Z圖像函數(shù)用于實際結(jié)構(gòu)的動力學模型設(shè)計與改進的實際應(yīng)用是可行性。

關(guān)鍵詞：圖像函數(shù) 動力學 模型校準

中圖分類號：V231.9 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）03（c）-0082-02

1 基于圖像函數(shù)的模型校準方法

基于圖像函數(shù)的模型校準方法的研究剛剛起步，尚有許多的新方法有待研究與發(fā)現(xiàn)。本節(jié)介紹了基于圖像函數(shù)的靈敏度的模型校準方法，推導(dǎo)了圖像函數(shù)的靈敏度公式，并給出了修正參數(shù)的估計方法。

1.1 模態(tài)振型的圖像函數(shù)的靈敏度

模態(tài)振型的描述符對結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度可以表示為：

（1）

這里，是待修正的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

連續(xù)模態(tài)振型函數(shù)可以表示為單元型函數(shù)和模態(tài)特征向量的線性組合：

（2）

可得

（3）

由此可知，模態(tài)振型圖像函數(shù)的靈敏度可以通過計算單元形函數(shù)的特征矩與特征向量的靈敏度之積來獲得。

此外，前向差分法也可以用來計算圖像函數(shù)靈敏度，該方法簡單易行，但須選擇適宜的步長。

1.2 修正參數(shù)估計

與基于靈敏度的修正方法類似，在獲得響應(yīng)對修正參數(shù)的靈敏度后，可以利用靈敏度與Z特征矩殘差來估計下次迭代的參數(shù)：

（4）

其中，是模態(tài)振型圖像函數(shù)的靈敏度，為測試模態(tài)振型函數(shù)的特征矩，為第j次迭代的仿真的模態(tài)振型特征矩。

在利用圖像函數(shù)進行修正時，可以選擇模態(tài)振型的主要特征矩作為響應(yīng)目標，否則修正過程易發(fā)散。

2 Z矩在發(fā)動機輪盤的動力學模型校準中的應(yīng)用

本文利用基于圖像函數(shù)的模型校準的方法，利用試驗數(shù)據(jù)對某型彈用發(fā)動機輪盤進行模型校準。由于測試數(shù)據(jù)中包含了較大的噪聲（尤其是高頻模態(tài)），故將固有頻率和模態(tài)振型的Z特征矩同時作為修正對象。

由相關(guān)性分析結(jié)果可知，第3～5、8和9階模態(tài)對的固有頻率誤差很大（均高于10%）。經(jīng)分析，這幾階模態(tài)均包含輪盤的節(jié)圓振動（傘形振動），而節(jié)圓振動的主要區(qū)域在輪盤的內(nèi)孔和中間薄壁處，可能是這些區(qū)域存在誤差導(dǎo)致了頻率差異過大；此外，考慮到測繪過程中倒角等部位測量的不夠準確，也是模型中可能的誤差源。最終，確定了3個區(qū)域進行修正，分別為輪盤內(nèi)孔、薄壁和薄壁與輪緣間的倒角部分。各修正區(qū)域如圖1所示，修正參數(shù)選擇彈性模量，分別為P1～P3。

修正的目標為前13階試驗頻率及其對應(yīng)模態(tài)振型的Z特征主矩，共80個響應(yīng)。采用基于靈敏度的迭代法進行修正，采用本中所給方法分別計算頻率及圖像函數(shù)的靈敏度。修正過程中固有頻率誤差及參數(shù)的變化如圖2所示。

可以看到，迭代9次后，參數(shù)收斂。各階模態(tài)的頻率誤差均下降，有限元預(yù)測結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)之間的誤差被大大減小。值得注意的是，薄壁與輪緣的倒角處的剛度降低了將近80%，說明在有限元建模過程中，該處的建模誤差較大。

圖3中比較了修正前后的頻率誤差，可以看到，經(jīng)過修正，第3～5和第8、9階模態(tài)的固有頻率誤差明顯減小，各模態(tài)的最大頻率誤差也由17.5%降1.74%，這說明通過修正有效的減小了有限元模型與實際結(jié)構(gòu)的差異。

修正前后的頻率誤差、MAC的變化如表1所示。

可以看到，修正后第1、4、5階模態(tài)的MAC值明顯變大，均上升至90%以上，這是由于利用Z矩進行修正，縮小了模態(tài)對之間的轉(zhuǎn)角。

表2比較了是否考慮模態(tài)振型的Z圖像函數(shù)的修正結(jié)果（取MAC>70%的前10階模態(tài)對）。

由表2可知，兩種情況下，修正后的固有頻率誤差均降至2%以內(nèi)，達到了很好的修正效果；考慮輪盤模態(tài)振型的Z矩后，修正后的MAC值高于僅修正固有頻率的結(jié)果，這是因為基于圖像函數(shù)的模型校準考慮了模態(tài)振型的影響，從而使模態(tài)振型得到了有效的改善。

綜上所述，利用結(jié)合固有頻率和Z矩進行模型校準，可以有效的改善發(fā)動機輪盤動力學模型與實際結(jié)構(gòu)的差異，使修正后的模型可以很好的反映結(jié)構(gòu)的振動特性；考慮模態(tài)振型的Z矩后，使修正后試驗/有限元的MAC值得到了提高?？梢?，利用圖像函數(shù)進行模型校準是完全可行的，且具有一定優(yōu)越性。

3 結(jié)論

本文對基于圖像函數(shù)的模型校準的方法的可行性進行了探討與研究。通過本文的研究，成功將Zernike矩應(yīng)用于某型彈用發(fā)動機輪盤的模型校準之中。修正后，輪盤的固有頻率誤差降至2%以內(nèi)，前10階模態(tài)振型的MAC值均高于0.8。此外，考慮模態(tài)振型的Z矩，修正后試驗/有限元的MAC值較僅采用固有頻率進行修正得到了提高?？梢?，將圖像函數(shù)應(yīng)用于實際結(jié)構(gòu)的模型校準是可行的，可以使修正后的模型更準確的反映結(jié)構(gòu)的動力學特性。

參考文獻

[1] 劉銀超.矩函數(shù)在結(jié)構(gòu)動力學模型確認中的應(yīng)用[D].南京航空航天大學，2012.

[2] 樊征兵.考慮不確定性因素的結(jié)構(gòu)動力學分析技術(shù)研究[D].南京航空航天大學，2012.

[3] 林賢響.機床結(jié)構(gòu)動力學建模及動態(tài)特性分析技術(shù)的研究[D].浙江工業(yè)大學 2012.endprint