朱云舟+++夏清華+++楊偉+++梁登龍

摘 要：研究了小船在不同坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)軌跡，在直角坐標(biāo)系下，討論了小船相對(duì)速度、牽連速度取某些特定值時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡，所得結(jié)果直觀顯示了軌跡形狀。

關(guān)鍵詞：極坐標(biāo)；直角坐標(biāo)；軌跡方程

引言

在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中，常見問題之一是求解質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡，方法是先求出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，然后消去時(shí)間t，得出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡；或者是先列出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，消去方程中的時(shí)間t，得出質(zhì)點(diǎn)軌道微分方程，求解軌道微分方程，得到質(zhì)點(diǎn)軌道方程。為了計(jì)算方便，通常還要考慮選取合適坐標(biāo)系，如小船在流動(dòng)水中運(yùn)動(dòng)，求解軌道方程[1]；質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下運(yùn)動(dòng)，求軌道方程等問題，均采用平面極坐標(biāo)[1]。文章選取平面直角坐標(biāo)系，求解出了小船在流動(dòng)水中運(yùn)動(dòng)軌道方程，并討論了小船相對(duì)速度和牽連速度取某些特定值時(shí)，小船運(yùn)動(dòng)軌跡形狀。

1 極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)下小船運(yùn)動(dòng)軌跡

文獻(xiàn)[1]給出了這樣的問題：小船M被水沖走后，由一蕩槳人以不變的相對(duì)速度v2朝岸上A點(diǎn)劃回。假定河流速度v1沿河寬不變，且小船可以看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，求船的軌跡。

1.1 極坐標(biāo)下小船運(yùn)動(dòng)軌跡的求解

圖1 水流速度v1，相對(duì)速度v2

以A為極點(diǎn)，岸為極軸建立坐標(biāo)系，如圖1，船沿垂直于r的方向的速度為-v1sin？覬，船沿徑向r方向的速度為v2和v1沿徑向的分量的合成，即

（1）

（2）

兩式相除，得 （3）

對(duì)兩邊積分，得

（4）

設(shè)■=k，■=？琢，C為常數(shù)

即 （5）

代入初始條件r=r0，？漬=？漬0。設(shè)■=？琢0，有

，得 （6）

（7）

此即小船在極坐標(biāo)系中的軌跡方程。

1.2 直角坐標(biāo)下小船軌跡的求解

建立如圖2所示直角坐標(biāo)系。

沿x方向： （8）

沿y方向： （9）

兩式相除，得 （10）

這是個(gè)可分離變量的方程，令■=u

由微分知識(shí)，知

（11）

（12）

化簡(jiǎn)得 （13）

解得 （14）

其中C為常數(shù)

設(shè)初始條件x=x0，y=y0

將初始條件代入（14）式，得

（15）

（16）

此即小船在直角坐標(biāo)系中的軌跡方程。

2 結(jié)束語(yǔ)

（1）當(dāng)v2=0，即船的相對(duì)速度為零時(shí)，由（8）式知：x=v1t+x0，y=y0，其中：x0，y0為t=0時(shí)，小船初始位置的坐標(biāo)，由此可見，小船的運(yùn)動(dòng)軌跡為一直線。

（2）當(dāng)v2=v1，即船的相對(duì)速度等于水流速度時(shí)，小船運(yùn)動(dòng)的軌跡方程：x=-■y2+■。

（3）當(dāng)v1=0，即在靜水中時(shí)，由（10）式知：■=■，y=ax，a為常數(shù)，船的運(yùn)動(dòng)軌跡為一直線。

由此可見，采用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)都能求解出小船在小河中的運(yùn)動(dòng)軌跡。用極坐標(biāo)求解小船的軌跡，求解步驟少，計(jì)算簡(jiǎn)便；用直角坐標(biāo)求解小船的軌跡，運(yùn)算較為復(fù)雜，但結(jié)果易于討論，直觀性好，也符合利用直角坐標(biāo)的習(xí)慣。

參考文獻(xiàn)

[1]周衍柏.理論力學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社，2009.7，22-23.

[2]高等數(shù)學(xué)[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2009.7.

作者簡(jiǎn)介：朱云舟（1993-），男，湖北武穴人，本科，研究方向：大學(xué)物理教學(xué)。

夏清華（1963-）男，教授，籍貫：湖北省鄂州市。研究方向：非線性物理。endprint

摘 要：研究了小船在不同坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)軌跡，在直角坐標(biāo)系下，討論了小船相對(duì)速度、牽連速度取某些特定值時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡，所得結(jié)果直觀顯示了軌跡形狀。

關(guān)鍵詞：極坐標(biāo)；直角坐標(biāo)；軌跡方程

引言

在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中，常見問題之一是求解質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡，方法是先求出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，然后消去時(shí)間t，得出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡；或者是先列出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，消去方程中的時(shí)間t，得出質(zhì)點(diǎn)軌道微分方程，求解軌道微分方程，得到質(zhì)點(diǎn)軌道方程。為了計(jì)算方便，通常還要考慮選取合適坐標(biāo)系，如小船在流動(dòng)水中運(yùn)動(dòng)，求解軌道方程[1]；質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下運(yùn)動(dòng)，求軌道方程等問題，均采用平面極坐標(biāo)[1]。文章選取平面直角坐標(biāo)系，求解出了小船在流動(dòng)水中運(yùn)動(dòng)軌道方程，并討論了小船相對(duì)速度和牽連速度取某些特定值時(shí)，小船運(yùn)動(dòng)軌跡形狀。

1 極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)下小船運(yùn)動(dòng)軌跡

文獻(xiàn)[1]給出了這樣的問題：小船M被水沖走后，由一蕩槳人以不變的相對(duì)速度v2朝岸上A點(diǎn)劃回。假定河流速度v1沿河寬不變，且小船可以看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，求船的軌跡。

1.1 極坐標(biāo)下小船運(yùn)動(dòng)軌跡的求解

圖1 水流速度v1，相對(duì)速度v2

以A為極點(diǎn)，岸為極軸建立坐標(biāo)系，如圖1，船沿垂直于r的方向的速度為-v1sin？覬，船沿徑向r方向的速度為v2和v1沿徑向的分量的合成，即

（1）

（2）

兩式相除，得 （3）

對(duì)兩邊積分，得

（4）

設(shè)■=k，■=？琢，C為常數(shù)

即 （5）

代入初始條件r=r0，？漬=？漬0。設(shè)■=？琢0，有

，得 （6）

（7）

此即小船在極坐標(biāo)系中的軌跡方程。

1.2 直角坐標(biāo)下小船軌跡的求解

建立如圖2所示直角坐標(biāo)系。

沿x方向： （8）

沿y方向： （9）

兩式相除，得 （10）

這是個(gè)可分離變量的方程，令■=u

由微分知識(shí)，知

（11）

（12）

化簡(jiǎn)得 （13）

解得 （14）

其中C為常數(shù)

設(shè)初始條件x=x0，y=y0

將初始條件代入（14）式，得

（15）

（16）

此即小船在直角坐標(biāo)系中的軌跡方程。

2 結(jié)束語(yǔ)

（1）當(dāng)v2=0，即船的相對(duì)速度為零時(shí)，由（8）式知：x=v1t+x0，y=y0，其中：x0，y0為t=0時(shí)，小船初始位置的坐標(biāo)，由此可見，小船的運(yùn)動(dòng)軌跡為一直線。

（2）當(dāng)v2=v1，即船的相對(duì)速度等于水流速度時(shí)，小船運(yùn)動(dòng)的軌跡方程：x=-■y2+■。

（3）當(dāng)v1=0，即在靜水中時(shí)，由（10）式知：■=■，y=ax，a為常數(shù)，船的運(yùn)動(dòng)軌跡為一直線。

由此可見，采用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)都能求解出小船在小河中的運(yùn)動(dòng)軌跡。用極坐標(biāo)求解小船的軌跡，求解步驟少，計(jì)算簡(jiǎn)便；用直角坐標(biāo)求解小船的軌跡，運(yùn)算較為復(fù)雜，但結(jié)果易于討論，直觀性好，也符合利用直角坐標(biāo)的習(xí)慣。

參考文獻(xiàn)

[1]周衍柏.理論力學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社，2009.7，22-23.

[2]高等數(shù)學(xué)[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2009.7.

作者簡(jiǎn)介：朱云舟（1993-），男，湖北武穴人，本科，研究方向：大學(xué)物理教學(xué)。

夏清華（1963-）男，教授，籍貫：湖北省鄂州市。研究方向：非線性物理。endprint

摘 要：研究了小船在不同坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)軌跡，在直角坐標(biāo)系下，討論了小船相對(duì)速度、牽連速度取某些特定值時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡，所得結(jié)果直觀顯示了軌跡形狀。

關(guān)鍵詞：極坐標(biāo)；直角坐標(biāo)；軌跡方程

引言

在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中，常見問題之一是求解質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡，方法是先求出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，然后消去時(shí)間t，得出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡；或者是先列出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，消去方程中的時(shí)間t，得出質(zhì)點(diǎn)軌道微分方程，求解軌道微分方程，得到質(zhì)點(diǎn)軌道方程。為了計(jì)算方便，通常還要考慮選取合適坐標(biāo)系，如小船在流動(dòng)水中運(yùn)動(dòng)，求解軌道方程[1]；質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下運(yùn)動(dòng)，求軌道方程等問題，均采用平面極坐標(biāo)[1]。文章選取平面直角坐標(biāo)系，求解出了小船在流動(dòng)水中運(yùn)動(dòng)軌道方程，并討論了小船相對(duì)速度和牽連速度取某些特定值時(shí)，小船運(yùn)動(dòng)軌跡形狀。

1 極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)下小船運(yùn)動(dòng)軌跡

文獻(xiàn)[1]給出了這樣的問題：小船M被水沖走后，由一蕩槳人以不變的相對(duì)速度v2朝岸上A點(diǎn)劃回。假定河流速度v1沿河寬不變，且小船可以看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，求船的軌跡。

1.1 極坐標(biāo)下小船運(yùn)動(dòng)軌跡的求解

圖1 水流速度v1，相對(duì)速度v2

以A為極點(diǎn)，岸為極軸建立坐標(biāo)系，如圖1，船沿垂直于r的方向的速度為-v1sin？覬，船沿徑向r方向的速度為v2和v1沿徑向的分量的合成，即

（1）

（2）

兩式相除，得 （3）

對(duì)兩邊積分，得

（4）

設(shè)■=k，■=？琢，C為常數(shù)

即 （5）

代入初始條件r=r0，？漬=？漬0。設(shè)■=？琢0，有

，得 （6）

（7）

此即小船在極坐標(biāo)系中的軌跡方程。

1.2 直角坐標(biāo)下小船軌跡的求解

建立如圖2所示直角坐標(biāo)系。

沿x方向： （8）

沿y方向： （9）

兩式相除，得 （10）

這是個(gè)可分離變量的方程，令■=u

由微分知識(shí)，知

（11）

（12）

化簡(jiǎn)得 （13）

解得 （14）

其中C為常數(shù)

設(shè)初始條件x=x0，y=y0

將初始條件代入（14）式，得

（15）

（16）

此即小船在直角坐標(biāo)系中的軌跡方程。

2 結(jié)束語(yǔ)

（1）當(dāng)v2=0，即船的相對(duì)速度為零時(shí)，由（8）式知：x=v1t+x0，y=y0，其中：x0，y0為t=0時(shí)，小船初始位置的坐標(biāo)，由此可見，小船的運(yùn)動(dòng)軌跡為一直線。

（2）當(dāng)v2=v1，即船的相對(duì)速度等于水流速度時(shí)，小船運(yùn)動(dòng)的軌跡方程：x=-■y2+■。

（3）當(dāng)v1=0，即在靜水中時(shí)，由（10）式知：■=■，y=ax，a為常數(shù)，船的運(yùn)動(dòng)軌跡為一直線。

由此可見，采用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)都能求解出小船在小河中的運(yùn)動(dòng)軌跡。用極坐標(biāo)求解小船的軌跡，求解步驟少，計(jì)算簡(jiǎn)便；用直角坐標(biāo)求解小船的軌跡，運(yùn)算較為復(fù)雜，但結(jié)果易于討論，直觀性好，也符合利用直角坐標(biāo)的習(xí)慣。

參考文獻(xiàn)

[1]周衍柏.理論力學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社，2009.7，22-23.

[2]高等數(shù)學(xué)[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2009.7.

作者簡(jiǎn)介：朱云舟（1993-），男，湖北武穴人，本科，研究方向：大學(xué)物理教學(xué)。

夏清華（1963-）男，教授，籍貫：湖北省鄂州市。研究方向：非線性物理。endprint