祁居攀

集合問(wèn)題在歷年的高考數(shù)學(xué)試卷中，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，考查的內(nèi)容有集合的概念、集合的運(yùn)算等，屬于容易題的范疇，但是如果對(duì)集合問(wèn)題中容易出錯(cuò)點(diǎn)不加以重視，也很容易造成丟解或錯(cuò)解.

一、集合中的多解問(wèn)題

1.不注意驗(yàn)證導(dǎo)致多解

例1設(shè)全集U={2，3，a2+2a-3}，A={2，|2a-1|}，UA={5}，則實(shí)數(shù)a的值是.

錯(cuò)因分析：本題易出現(xiàn)多解的錯(cuò)誤，如解題過(guò)程中由a2+2a-3=5解得a=2或a=-4.

正確解析：∵UA={5}，∴5A，且5∈U，由a2+2a-3=5解得a=2或a=-4，

當(dāng)a=2時(shí)，A={2，3}，符合條件；當(dāng)a=-4時(shí)，A={2，9}，而9U，不符合條件，故填2.

糾錯(cuò)心得：集合的元素具有確定性、互異性、無(wú)序性三大特征，因此當(dāng)集合中含有未知的參數(shù)時(shí)，在根據(jù)條件求出參數(shù)的值后，注意要將結(jié)果代回原集合中驗(yàn)證，看是否滿足這些特征，此類題易出現(xiàn)多解的錯(cuò)誤.

2.忽視了集合中元素的互異性導(dǎo)致多解

例2已知集合A含有兩個(gè)元素a和a2，若1∈A，求實(shí)數(shù)a的值.

錯(cuò)解：∵1∈A，a=1或a2=1，解得a=±1.

正確解析：∵1∈A，a=1或a2=1解得a=±1.

當(dāng)a=1時(shí)，集合A有重復(fù)元素，∴a≠1.

當(dāng)a=-1時(shí)，集合A={1，-1}，符合互異性，a=-1.

錯(cuò)因分析：忽視了集合中元素的互異性，這是由于對(duì)集合概念理解不深而導(dǎo)致的錯(cuò)誤.

二、集合中的少解問(wèn)題

1.“漏空集”導(dǎo)致少解

例3已知A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若BA，則m的取值范圍是.

錯(cuò)因分析：本題易出現(xiàn)少解的情況，即忽略B為空集的情況.

通過(guò)解m+1≤2m-1

m+1≥-2

2m-1≤5得到2≤m≤3.

正確解析：①當(dāng)m+1>2m-1時(shí)，即m<2，B=，滿足BA；

②當(dāng)m+1=2m-1時(shí)，即m=2，此時(shí)x=3，B={3}，滿足BA；

③當(dāng)m+1<2m-1時(shí)，即m>2，B≠，由BA得m+1≥-2

2m-1≤5即2

綜上可得，m的取值范圍為{m|m≤3}.

糾錯(cuò)心得：涉及集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，注意集合是否為空集，即在限制條件“AB”，“A∩B=A”，“A∪B=B”下，A=均有可能成立.空集是任意集合的子集，是非空集合的真子集.如果在解題中忽略空集易產(chǎn)生丟解的情況.

2.“漏端點(diǎn)”導(dǎo)致少解

例4已知集合A={x|x2-2x-3<0}，B={x||x|

A. 0

C. 0

解析：由題得A={x|-1

錯(cuò)因分析：本題易出現(xiàn)少解的情況，即忽略端點(diǎn)是否重合的情況.

由題得-a>-1

a<3

a>0得0

正確解析：①當(dāng)a=1時(shí)B={x|-1

②當(dāng)a=3時(shí)B={x|-3

③由-a>-1

a<3

a>0得0

糾錯(cuò)心得：要徹底理解子集、真子集、集合相等的概念，熟練掌握兩集合關(guān)系的判斷.與不等式相關(guān)的集合運(yùn)算問(wèn)題要注意端點(diǎn)值的取舍，否則會(huì)導(dǎo)致少解或多解的情況，為避免此種問(wèn)題的發(fā)生，應(yīng)先讓端點(diǎn)重合求出參數(shù)的值，然后將結(jié)果代回原集合中檢驗(yàn)，看是否滿足題意.

3.“漏系數(shù)”導(dǎo)致少解

例5已知集合A={x∈R|mx2-2x+3=0，m∈R}，若A中元素至多只有一個(gè)，求m的取值范圍.

錯(cuò)因分析：此題容易出現(xiàn)少解情況，即忽略m=0的情況.

由方程mx2-2x+3=0則Δ=4-12m≤0得m≥13，

即當(dāng)m≥13時(shí)，方程mx2-2x+3=0無(wú)實(shí)根或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，符合題意.故m≥13.

解題思路：A中元素至多只有一個(gè)，分兩類：

①當(dāng)m=0時(shí)，原方程為-2x+3=0，x=32符合題意；

②當(dāng)m≠0時(shí)，方程mx2-2x+3=0為一元二次方程，由Δ=4-12m≤0得m≥13，

即當(dāng)m≥13時(shí)，方程mx2-2x+3=0無(wú)實(shí)根或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，符合題意.

由上所述：m=0或m≥13.

糾錯(cuò)心得：此題集合A表示含參方程解的個(gè)數(shù)，容易將含參方程直接理解成一元二次方程求解，產(chǎn)生丟解的情況，因此解決含參數(shù)的方程或不等式時(shí)，要對(duì)其最高次項(xiàng)的系數(shù)進(jìn)行討論.

三、集合中的錯(cuò)解問(wèn)題

例6已知集合A={y|y=x+1}，B={（x，y）|x2+y2=1}，則集合A∩B中元素的個(gè)數(shù)是（）

A. B. 1C. 2D. 多個(gè)

錯(cuò)因分析：誤區(qū)1：直線y=x+1與圓x2+y2=1有兩個(gè)交點(diǎn)，錯(cuò)選C.這是由于將A的代表元素y理解成（x，y），從而將A理解成了直線上的點(diǎn)集.解答時(shí)只注重了集合中元素的屬性，而忽視了其中的代表元素.

誤區(qū)2：方程y=x+1中y的取值范圍是R，方程x2+y2=1中y的取值范圍是[-1，1]，

故A∩B=[-1，1]，元素個(gè)數(shù)無(wú)窮多個(gè)，錯(cuò)選D.這是由于將A、B都看成了數(shù)集.

解題思路：因集合A表示函數(shù)y=x+1的值域，是數(shù)集，且M=R，集合B表示滿足方程x2+y2=1的有序?qū)崝?shù)對(duì)，也可以說(shuō)是表示圓x2+y2=1上的點(diǎn)，是點(diǎn)集，故A∩B=，應(yīng)選A.

糾錯(cuò)心得：這里的集合A、B是用描述法表示的，首先要認(rèn)識(shí)集合：一看元素，看元素代表什么；二看屬性；從而確定該集合表示的意義，是數(shù)集還是點(diǎn)集，是函數(shù)的定義域還是值域等，解決這一類問(wèn)題時(shí)，一定要抓住集合及其元素的實(shí)質(zhì).

總之，對(duì)集合的概念及集合元素的理解是解決有關(guān)集合問(wèn)題的基礎(chǔ)，對(duì)容易遺漏的地方多加重視是解題的關(guān)鍵.

集合問(wèn)題在歷年的高考數(shù)學(xué)試卷中，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，考查的內(nèi)容有集合的概念、集合的運(yùn)算等，屬于容易題的范疇，但是如果對(duì)集合問(wèn)題中容易出錯(cuò)點(diǎn)不加以重視，也很容易造成丟解或錯(cuò)解.

一、集合中的多解問(wèn)題

1.不注意驗(yàn)證導(dǎo)致多解

例1設(shè)全集U={2，3，a2+2a-3}，A={2，|2a-1|}，UA={5}，則實(shí)數(shù)a的值是.

錯(cuò)因分析：本題易出現(xiàn)多解的錯(cuò)誤，如解題過(guò)程中由a2+2a-3=5解得a=2或a=-4.

正確解析：∵UA={5}，∴5A，且5∈U，由a2+2a-3=5解得a=2或a=-4，

當(dāng)a=2時(shí)，A={2，3}，符合條件；當(dāng)a=-4時(shí)，A={2，9}，而9U，不符合條件，故填2.

糾錯(cuò)心得：集合的元素具有確定性、互異性、無(wú)序性三大特征，因此當(dāng)集合中含有未知的參數(shù)時(shí)，在根據(jù)條件求出參數(shù)的值后，注意要將結(jié)果代回原集合中驗(yàn)證，看是否滿足這些特征，此類題易出現(xiàn)多解的錯(cuò)誤.

2.忽視了集合中元素的互異性導(dǎo)致多解

例2已知集合A含有兩個(gè)元素a和a2，若1∈A，求實(shí)數(shù)a的值.

錯(cuò)解：∵1∈A，a=1或a2=1，解得a=±1.

正確解析：∵1∈A，a=1或a2=1解得a=±1.

當(dāng)a=1時(shí)，集合A有重復(fù)元素，∴a≠1.

當(dāng)a=-1時(shí)，集合A={1，-1}，符合互異性，a=-1.

錯(cuò)因分析：忽視了集合中元素的互異性，這是由于對(duì)集合概念理解不深而導(dǎo)致的錯(cuò)誤.

二、集合中的少解問(wèn)題

1.“漏空集”導(dǎo)致少解

例3已知A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若BA，則m的取值范圍是.

錯(cuò)因分析：本題易出現(xiàn)少解的情況，即忽略B為空集的情況.

通過(guò)解m+1≤2m-1

m+1≥-2

2m-1≤5得到2≤m≤3.

正確解析：①當(dāng)m+1>2m-1時(shí)，即m<2，B=，滿足BA；

②當(dāng)m+1=2m-1時(shí)，即m=2，此時(shí)x=3，B={3}，滿足BA；

③當(dāng)m+1<2m-1時(shí)，即m>2，B≠，由BA得m+1≥-2

2m-1≤5即2

綜上可得，m的取值范圍為{m|m≤3}.

糾錯(cuò)心得：涉及集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，注意集合是否為空集，即在限制條件“AB”，“A∩B=A”，“A∪B=B”下，A=均有可能成立.空集是任意集合的子集，是非空集合的真子集.如果在解題中忽略空集易產(chǎn)生丟解的情況.

2.“漏端點(diǎn)”導(dǎo)致少解

例4已知集合A={x|x2-2x-3<0}，B={x||x|

A. 0

C. 0

解析：由題得A={x|-1

錯(cuò)因分析：本題易出現(xiàn)少解的情況，即忽略端點(diǎn)是否重合的情況.

由題得-a>-1

a<3

a>0得0

正確解析：①當(dāng)a=1時(shí)B={x|-1

②當(dāng)a=3時(shí)B={x|-3

③由-a>-1

a<3

a>0得0

糾錯(cuò)心得：要徹底理解子集、真子集、集合相等的概念，熟練掌握兩集合關(guān)系的判斷.與不等式相關(guān)的集合運(yùn)算問(wèn)題要注意端點(diǎn)值的取舍，否則會(huì)導(dǎo)致少解或多解的情況，為避免此種問(wèn)題的發(fā)生，應(yīng)先讓端點(diǎn)重合求出參數(shù)的值，然后將結(jié)果代回原集合中檢驗(yàn)，看是否滿足題意.

3.“漏系數(shù)”導(dǎo)致少解

例5已知集合A={x∈R|mx2-2x+3=0，m∈R}，若A中元素至多只有一個(gè)，求m的取值范圍.

錯(cuò)因分析：此題容易出現(xiàn)少解情況，即忽略m=0的情況.

由方程mx2-2x+3=0則Δ=4-12m≤0得m≥13，

即當(dāng)m≥13時(shí)，方程mx2-2x+3=0無(wú)實(shí)根或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，符合題意.故m≥13.

解題思路：A中元素至多只有一個(gè)，分兩類：

①當(dāng)m=0時(shí)，原方程為-2x+3=0，x=32符合題意；

②當(dāng)m≠0時(shí)，方程mx2-2x+3=0為一元二次方程，由Δ=4-12m≤0得m≥13，

即當(dāng)m≥13時(shí)，方程mx2-2x+3=0無(wú)實(shí)根或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，符合題意.

由上所述：m=0或m≥13.

糾錯(cuò)心得：此題集合A表示含參方程解的個(gè)數(shù)，容易將含參方程直接理解成一元二次方程求解，產(chǎn)生丟解的情況，因此解決含參數(shù)的方程或不等式時(shí)，要對(duì)其最高次項(xiàng)的系數(shù)進(jìn)行討論.

三、集合中的錯(cuò)解問(wèn)題

例6已知集合A={y|y=x+1}，B={（x，y）|x2+y2=1}，則集合A∩B中元素的個(gè)數(shù)是（）

A. B. 1C. 2D. 多個(gè)

錯(cuò)因分析：誤區(qū)1：直線y=x+1與圓x2+y2=1有兩個(gè)交點(diǎn)，錯(cuò)選C.這是由于將A的代表元素y理解成（x，y），從而將A理解成了直線上的點(diǎn)集.解答時(shí)只注重了集合中元素的屬性，而忽視了其中的代表元素.

誤區(qū)2：方程y=x+1中y的取值范圍是R，方程x2+y2=1中y的取值范圍是[-1，1]，

故A∩B=[-1，1]，元素個(gè)數(shù)無(wú)窮多個(gè)，錯(cuò)選D.這是由于將A、B都看成了數(shù)集.

解題思路：因集合A表示函數(shù)y=x+1的值域，是數(shù)集，且M=R，集合B表示滿足方程x2+y2=1的有序?qū)崝?shù)對(duì)，也可以說(shuō)是表示圓x2+y2=1上的點(diǎn)，是點(diǎn)集，故A∩B=，應(yīng)選A.

糾錯(cuò)心得：這里的集合A、B是用描述法表示的，首先要認(rèn)識(shí)集合：一看元素，看元素代表什么；二看屬性；從而確定該集合表示的意義，是數(shù)集還是點(diǎn)集，是函數(shù)的定義域還是值域等，解決這一類問(wèn)題時(shí)，一定要抓住集合及其元素的實(shí)質(zhì).

總之，對(duì)集合的概念及集合元素的理解是解決有關(guān)集合問(wèn)題的基礎(chǔ)，對(duì)容易遺漏的地方多加重視是解題的關(guān)鍵.

集合問(wèn)題在歷年的高考數(shù)學(xué)試卷中，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，考查的內(nèi)容有集合的概念、集合的運(yùn)算等，屬于容易題的范疇，但是如果對(duì)集合問(wèn)題中容易出錯(cuò)點(diǎn)不加以重視，也很容易造成丟解或錯(cuò)解.

一、集合中的多解問(wèn)題

1.不注意驗(yàn)證導(dǎo)致多解

例1設(shè)全集U={2，3，a2+2a-3}，A={2，|2a-1|}，UA={5}，則實(shí)數(shù)a的值是.

錯(cuò)因分析：本題易出現(xiàn)多解的錯(cuò)誤，如解題過(guò)程中由a2+2a-3=5解得a=2或a=-4.

正確解析：∵UA={5}，∴5A，且5∈U，由a2+2a-3=5解得a=2或a=-4，

當(dāng)a=2時(shí)，A={2，3}，符合條件；當(dāng)a=-4時(shí)，A={2，9}，而9U，不符合條件，故填2.

糾錯(cuò)心得：集合的元素具有確定性、互異性、無(wú)序性三大特征，因此當(dāng)集合中含有未知的參數(shù)時(shí)，在根據(jù)條件求出參數(shù)的值后，注意要將結(jié)果代回原集合中驗(yàn)證，看是否滿足這些特征，此類題易出現(xiàn)多解的錯(cuò)誤.

2.忽視了集合中元素的互異性導(dǎo)致多解

例2已知集合A含有兩個(gè)元素a和a2，若1∈A，求實(shí)數(shù)a的值.

錯(cuò)解：∵1∈A，a=1或a2=1，解得a=±1.

正確解析：∵1∈A，a=1或a2=1解得a=±1.

當(dāng)a=1時(shí)，集合A有重復(fù)元素，∴a≠1.

當(dāng)a=-1時(shí)，集合A={1，-1}，符合互異性，a=-1.

錯(cuò)因分析：忽視了集合中元素的互異性，這是由于對(duì)集合概念理解不深而導(dǎo)致的錯(cuò)誤.

二、集合中的少解問(wèn)題

1.“漏空集”導(dǎo)致少解

例3已知A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若BA，則m的取值范圍是.

錯(cuò)因分析：本題易出現(xiàn)少解的情況，即忽略B為空集的情況.

通過(guò)解m+1≤2m-1

m+1≥-2

2m-1≤5得到2≤m≤3.

正確解析：①當(dāng)m+1>2m-1時(shí)，即m<2，B=，滿足BA；

②當(dāng)m+1=2m-1時(shí)，即m=2，此時(shí)x=3，B={3}，滿足BA；

③當(dāng)m+1<2m-1時(shí)，即m>2，B≠，由BA得m+1≥-2

2m-1≤5即2

綜上可得，m的取值范圍為{m|m≤3}.

糾錯(cuò)心得：涉及集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，注意集合是否為空集，即在限制條件“AB”，“A∩B=A”，“A∪B=B”下，A=均有可能成立.空集是任意集合的子集，是非空集合的真子集.如果在解題中忽略空集易產(chǎn)生丟解的情況.

2.“漏端點(diǎn)”導(dǎo)致少解

例4已知集合A={x|x2-2x-3<0}，B={x||x|

A. 0

C. 0

解析：由題得A={x|-1

錯(cuò)因分析：本題易出現(xiàn)少解的情況，即忽略端點(diǎn)是否重合的情況.

由題得-a>-1

a<3

a>0得0

正確解析：①當(dāng)a=1時(shí)B={x|-1

②當(dāng)a=3時(shí)B={x|-3

③由-a>-1

a<3

a>0得0

糾錯(cuò)心得：要徹底理解子集、真子集、集合相等的概念，熟練掌握兩集合關(guān)系的判斷.與不等式相關(guān)的集合運(yùn)算問(wèn)題要注意端點(diǎn)值的取舍，否則會(huì)導(dǎo)致少解或多解的情況，為避免此種問(wèn)題的發(fā)生，應(yīng)先讓端點(diǎn)重合求出參數(shù)的值，然后將結(jié)果代回原集合中檢驗(yàn)，看是否滿足題意.

3.“漏系數(shù)”導(dǎo)致少解

例5已知集合A={x∈R|mx2-2x+3=0，m∈R}，若A中元素至多只有一個(gè)，求m的取值范圍.

錯(cuò)因分析：此題容易出現(xiàn)少解情況，即忽略m=0的情況.

由方程mx2-2x+3=0則Δ=4-12m≤0得m≥13，

即當(dāng)m≥13時(shí)，方程mx2-2x+3=0無(wú)實(shí)根或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，符合題意.故m≥13.

解題思路：A中元素至多只有一個(gè)，分兩類：

①當(dāng)m=0時(shí)，原方程為-2x+3=0，x=32符合題意；

②當(dāng)m≠0時(shí)，方程mx2-2x+3=0為一元二次方程，由Δ=4-12m≤0得m≥13，

即當(dāng)m≥13時(shí)，方程mx2-2x+3=0無(wú)實(shí)根或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，符合題意.

由上所述：m=0或m≥13.

糾錯(cuò)心得：此題集合A表示含參方程解的個(gè)數(shù)，容易將含參方程直接理解成一元二次方程求解，產(chǎn)生丟解的情況，因此解決含參數(shù)的方程或不等式時(shí)，要對(duì)其最高次項(xiàng)的系數(shù)進(jìn)行討論.

三、集合中的錯(cuò)解問(wèn)題

例6已知集合A={y|y=x+1}，B={（x，y）|x2+y2=1}，則集合A∩B中元素的個(gè)數(shù)是（）

A. B. 1C. 2D. 多個(gè)

錯(cuò)因分析：誤區(qū)1：直線y=x+1與圓x2+y2=1有兩個(gè)交點(diǎn)，錯(cuò)選C.這是由于將A的代表元素y理解成（x，y），從而將A理解成了直線上的點(diǎn)集.解答時(shí)只注重了集合中元素的屬性，而忽視了其中的代表元素.

誤區(qū)2：方程y=x+1中y的取值范圍是R，方程x2+y2=1中y的取值范圍是[-1，1]，

故A∩B=[-1，1]，元素個(gè)數(shù)無(wú)窮多個(gè)，錯(cuò)選D.這是由于將A、B都看成了數(shù)集.

解題思路：因集合A表示函數(shù)y=x+1的值域，是數(shù)集，且M=R，集合B表示滿足方程x2+y2=1的有序?qū)崝?shù)對(duì)，也可以說(shuō)是表示圓x2+y2=1上的點(diǎn)，是點(diǎn)集，故A∩B=，應(yīng)選A.

糾錯(cuò)心得：這里的集合A、B是用描述法表示的，首先要認(rèn)識(shí)集合：一看元素，看元素代表什么；二看屬性；從而確定該集合表示的意義，是數(shù)集還是點(diǎn)集，是函數(shù)的定義域還是值域等，解決這一類問(wèn)題時(shí)，一定要抓住集合及其元素的實(shí)質(zhì).

總之，對(duì)集合的概念及集合元素的理解是解決有關(guān)集合問(wèn)題的基礎(chǔ)，對(duì)容易遺漏的地方多加重視是解題的關(guān)鍵.