摘要： 從齒輪加工原理出發(fā)，利用漸開線和齒根過渡曲線方程生成輪齒的精確齒形，建立2種等效直齒錐齒輪三維輪齒幾何模型，研究漸開線直齒錐齒輪的精確建模方法.分別使用h單元和p單元分析計算直齒錐齒輪齒根應力，建立直齒錐齒輪三維輪齒齒根應力有限元計算模型和計算基準.計算結(jié)果與ISO國標公式比較，證明模型的正確性、精確性和可靠性.

關鍵詞： 直齒錐齒輪； 有限元； 三維輪齒； 幾何模型； 齒根應力； CAE

中圖分類號： U4文獻標志碼： B

Abstract： From the principle of cutting bevel gear process， the precision tooth shape of a gear is generated by involute and root fillet equation， two types of the 3D tooth geometry model of straight bevel gears are built equivalently， and the precision modeling method of involute straight bevel gear is studied. The root stresses of bevel gears are computed respectively by helement and pelement. The finite element computation model and benchmark of root stresses of a bevel gear are created. The computation result is compared with the result calculated by ISO equations， and the correctness， accuracy and reliability of the model is tested.

Key words： straight bevel gear； finite element； 3D tooth； geometry modeling； root stress； CAE

引言

通過國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃（“八六三”計劃）項目，我國成功制造出大型錐齒輪自動化加工設備，為制造業(yè)振興和齒輪傳動技術(shù)的創(chuàng)新發(fā)展建立新的基礎.錐齒輪作為齒輪傳動的重要零件，歷來是設計和研究的重點.由于錐齒輪的獨特性，建模有一定困難：首先，需要三維CAD/CAE軟件；其次，模型復雜性需要空間思維并開發(fā)專用程序.因此，對圓錐齒輪的研究比對圓柱齒輪（直齒輪和斜齒輪）的研究要少.面向直齒輪的齒根應力和CAE的研究已有很深的基礎，有使用ANSYS軟件的計算標準，但是面向錐齒輪齒根應力和CAE的研究沒有正規(guī)的模型和計算標準，因此需要對錐齒輪模型和應力計算的正確性、精確性和可靠性進行研究.本文研究直齒錐齒輪的精確建模方法，提出2種模型方法，并對這2種模型方法的齒根應力計算進行比較.

有限元法的出現(xiàn)使齒輪應力分析變得方便，計算精度更可靠.與傳統(tǒng)計算方法相比，有限元法能處理較復雜的載荷工況和邊界條件，較全面地反映齒輪體的應力場、齒根應力集中和輪齒變形等.隨著計算機的發(fā)展，三維模型和分析越來越容易，為錐齒輪齒根應力計算和研究提供方便.文獻[1]建立直齒錐齒輪單齒三維有限元計算模型，但計算的正確率和準確度都不高.也有人進行直齒錐齒輪齒根應力計算，使用近似齒根圓角或使用h單元，但由于計算有幾何誤差和離散誤差，計算模型的精確度和可靠性較差.本文研究漸開線直齒錐齒輪的精確建模方法，從錐齒輪加工原理出發(fā)，實現(xiàn)將二維直齒輪模型轉(zhuǎn)換為三維直齒錐齒輪，不僅模型的構(gòu)造過程簡單，而且準確性得到保證.考慮直齒錐齒輪齒根應力的計算載荷和分布、加載位置、輪緣厚度以及輪轂和周向齒數(shù)，分別使用h單元和p單元計算，研究計算模型的精確性，將計算結(jié)果與ISO和國標公式計算結(jié)果比較，驗證模型的正確性和可靠性.

1直齒錐齒輪幾何模型

直齒錐齒輪的齒廓曲線是球面曲線（球面漸開線），而齒根過渡曲線更復雜，因此齒廓曲線和齒廓曲面的產(chǎn)生相對復雜.但是，錐齒輪傳動很容易等效為錐齒輪背錐的當量齒輪傳動，而當量齒輪傳動是一對直齒輪傳動.因此，考慮把當量齒輪的輪齒二維模型轉(zhuǎn)變?yōu)槿S錐齒輪輪齒模型.

1.1錐齒輪背錐單齒幾何模型

在ANSYS中使用2種單元的2種方法求解：一種使用h單元，通過網(wǎng)格加密h方法求解；另一種是使用p單元，通過提高單元形函數(shù)的多項式級數(shù)p方法求解.通過應用可知：通常h單元計算有比較大的計算誤差，而p單元計算誤差很小，網(wǎng)格密度要求不是很高.早在1971年，ZIENKIEWICZ等[4]提出分級有限元的概念，并以此為基礎推出有限元的h型加密和p型加密方法.在有限元法中結(jié)構(gòu)位移u的近似式為u≈u～=ni=1Niai（6）如果n增加至n+1時形函數(shù)Ni（i=1，2，…，n）不變，這個近似式就稱為分級的.顯然單元細分同時也就引進完全不同的形函數(shù)，因此標準有限元表達式不是分級的，如等參單元：20節(jié)點三維實體等參單元形函數(shù)的多項式n=20.在ANSYS中應用h型加密略顯復雜，不如直接網(wǎng)格加密，p型加密要簡單些，網(wǎng)格不變，直接提高形函數(shù)的多項式次數(shù)，程序可自動執(zhí)行.

2.1h單元計算

三維分析使用三維20節(jié)點實體單元.在ANSYS中h單元實際上就是等參單元.模型分別為僅輪緣和包括輪轂的3齒模型，載荷分別作用在齒頂和單齒最高嚙合點.建立2種幾何模型劃分網(wǎng)格，網(wǎng)格劃分完全一樣.計算結(jié)果見表2.在表2中，模型1為齒向10個單元模型，模型2為齒向20個單元模型，模型1和2都是背錐面為錐面的幾何模型.由表2可知，使用h單元計算可靠性不夠，包括輪轂和僅輪緣的3齒模型計算結(jié)果基本一致，載荷作用在齒頂時齒根應力誤差很小，而在最高嚙合點應力誤差較大.h單元載荷可以作用在中間節(jié)點，p單元只能作用在單元節(jié)點.中間節(jié)點載荷為單元載荷的2/3，其他節(jié)點為1/6，可以減少載荷分布誤差.計算載荷為等效線性分布載荷，載荷等效作用在單元節(jié)點（不包括中間節(jié)點）上，計算的直齒錐齒輪齒根應力分布見圖4～6.圖4表明網(wǎng)格模型有一定離散誤差，模型精度不高，在單齒最高嚙合點計算結(jié)果有誤差，且計算模型在齒向離散誤差較大；圖5中計算誤差明顯減少；圖6比圖5齒根應力分布更合理，計算精度進一步提高.

3結(jié)束語

直齒錐齒輪的建模比較復雜，利用直齒輪二維模型在三維空間變換，建立直齒錐齒輪輪齒模型，將構(gòu)造模型的過程簡單化，從而構(gòu)造錐齒輪齒根應力的計算模型.使用背錐面為錐面和球面構(gòu)造的輪齒模型計算的齒根應力大小和分布基本一致，誤差很小.在ANSYS中使用傳統(tǒng)h單元，計算結(jié)果能夠反映模型之間的差別和離散計算誤差，計算數(shù)值有誤差，計算結(jié)果的可靠性低.使用p單元計算能夠精確可靠地得到計算結(jié)果，但計算代價比較大，需合理安排網(wǎng)格才能夠減少計算費用.使用h單元增加計算模型的節(jié)點和單元數(shù)量也能夠得到與p單元計算相同的結(jié)果，但計算量和費用更高.[8]

直齒錐齒輪齒根應力計算結(jié)果與ISO公式計算結(jié)果比較說明有限元計算結(jié)果的正確性，也反映錐齒輪的特殊性.本文計算模型和結(jié)果正確、可靠、精確，但由于錐齒輪三維模型為曲面，單元網(wǎng)格有奇異性，網(wǎng)格質(zhì)量不高，載荷作用有方向性和分布性，減小模型的誤差還需要進一步研究，模型的可靠性需要進一步證實.

直齒錐齒輪齒根應力精確計算為分析等效模型的誤差和精度打下基礎，是錐齒輪標準設計和優(yōu)化設計的基礎.同時，為正確精確分析齒輪參數(shù)對齒根應力的影響和比較不同齒輪（斜齒和螺旋齒）齒根應力大小、實現(xiàn)創(chuàng)新設計做好準備.

隨著直齒錐齒輪齒根應力有限元模型研究的發(fā)展，進一步研究一對錐齒輪三維嚙合接觸模型，螺旋錐齒輪三維模型及其齒根應力和接觸應力分析，等高齒錐齒輪模型和分析等，錐齒輪的有限元分析和CAE將會進一步發(fā)展.ANSYS在錐齒輪幾何模型方面還需要進一步開發(fā)研究，對由曲面構(gòu)成體的操作能力需要發(fā)展.參考文獻：

[1]周延澤， 吳繼澤. 直齒錐齒輪齒根應力的有限元分析[J]. 北京航空航天大學學報， 1996， 22（1）： 8889.

ZHOU Yanze， WU Jize. Finite element analysis of tooth root stress of straight bevel gear[J]. J Beijing Univ Aeronautics & Astronautics， 1996， 22（1）： 8889.

[2]吳繼澤， 王統(tǒng). 齒根過渡曲線和齒根應力[M]. 北京： 國防工業(yè)出版社， 1989： 1128.

[3]秦建旭， 賀敬良. 錐齒輪彎曲強度有限元分析精確模型的研究[J]. 機械設計， 2009， 26（7）： 937.

QIN Jianxu， HE Jingliang. Dynamic modeling of rotor in noninertia system[J]. J Machine Des， 2009， 26（7）： 937.

[4]ZIENKIEWICZ O C， GAGO J P D S R， KELLY DW. The hierarchical concept in finite element analysis[J]. Computers & Structures， 1983， 16（14）： 5365.

[5]中華人民共和國機械工業(yè)部. GB 10063—1988 錐齒輪承載能力計算方法[S]. 北京： 中國標準出版社， 1991.

[6]GB/T 10062.3—2003錐齒輪承載能力計算方法： 第3部分： 齒根彎曲強度計算[S].

[7]楊生華. 齒輪接觸有限元分析[J]. 計算力學學報， 2003， 20（2）： 189194.

YANG Shenghua. Finite element analysis of gear contact[J]. Chin J Comput Mech， 2003， 20（2）： 189194.

[8]楊生華， 李根國. 齒輪齒根應力和輪齒變形的三維整輪仿真[J]. 計算機輔助工程， 2013， 22（2）： 3640.

YANG Shenghua， LI Genguo. 3D simulation on root stresses and tooth deformations of whole gear[J]. Comput Aided Eng， 2013， 22（2）： 3640.（編輯武曉英）

3結(jié)束語

直齒錐齒輪的建模比較復雜，利用直齒輪二維模型在三維空間變換，建立直齒錐齒輪輪齒模型，將構(gòu)造模型的過程簡單化，從而構(gòu)造錐齒輪齒根應力的計算模型.使用背錐面為錐面和球面構(gòu)造的輪齒模型計算的齒根應力大小和分布基本一致，誤差很小.在ANSYS中使用傳統(tǒng)h單元，計算結(jié)果能夠反映模型之間的差別和離散計算誤差，計算數(shù)值有誤差，計算結(jié)果的可靠性低.使用p單元計算能夠精確可靠地得到計算結(jié)果，但計算代價比較大，需合理安排網(wǎng)格才能夠減少計算費用.使用h單元增加計算模型的節(jié)點和單元數(shù)量也能夠得到與p單元計算相同的結(jié)果，但計算量和費用更高.[8]

直齒錐齒輪齒根應力計算結(jié)果與ISO公式計算結(jié)果比較說明有限元計算結(jié)果的正確性，也反映錐齒輪的特殊性.本文計算模型和結(jié)果正確、可靠、精確，但由于錐齒輪三維模型為曲面，單元網(wǎng)格有奇異性，網(wǎng)格質(zhì)量不高，載荷作用有方向性和分布性，減小模型的誤差還需要進一步研究，模型的可靠性需要進一步證實.

直齒錐齒輪齒根應力精確計算為分析等效模型的誤差和精度打下基礎，是錐齒輪標準設計和優(yōu)化設計的基礎.同時，為正確精確分析齒輪參數(shù)對齒根應力的影響和比較不同齒輪（斜齒和螺旋齒）齒根應力大小、實現(xiàn)創(chuàng)新設計做好準備.

隨著直齒錐齒輪齒根應力有限元模型研究的發(fā)展，進一步研究一對錐齒輪三維嚙合接觸模型，螺旋錐齒輪三維模型及其齒根應力和接觸應力分析，等高齒錐齒輪模型和分析等，錐齒輪的有限元分析和CAE將會進一步發(fā)展.ANSYS在錐齒輪幾何模型方面還需要進一步開發(fā)研究，對由曲面構(gòu)成體的操作能力需要發(fā)展.參考文獻：

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[2]吳繼澤， 王統(tǒng). 齒根過渡曲線和齒根應力[M]. 北京： 國防工業(yè)出版社， 1989： 1128.

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[8]楊生華， 李根國. 齒輪齒根應力和輪齒變形的三維整輪仿真[J]. 計算機輔助工程， 2013， 22（2）： 3640.

YANG Shenghua， LI Genguo. 3D simulation on root stresses and tooth deformations of whole gear[J]. Comput Aided Eng， 2013， 22（2）： 3640.（編輯武曉英）

3結(jié)束語

直齒錐齒輪的建模比較復雜，利用直齒輪二維模型在三維空間變換，建立直齒錐齒輪輪齒模型，將構(gòu)造模型的過程簡單化，從而構(gòu)造錐齒輪齒根應力的計算模型.使用背錐面為錐面和球面構(gòu)造的輪齒模型計算的齒根應力大小和分布基本一致，誤差很小.在ANSYS中使用傳統(tǒng)h單元，計算結(jié)果能夠反映模型之間的差別和離散計算誤差，計算數(shù)值有誤差，計算結(jié)果的可靠性低.使用p單元計算能夠精確可靠地得到計算結(jié)果，但計算代價比較大，需合理安排網(wǎng)格才能夠減少計算費用.使用h單元增加計算模型的節(jié)點和單元數(shù)量也能夠得到與p單元計算相同的結(jié)果，但計算量和費用更高.[8]

直齒錐齒輪齒根應力計算結(jié)果與ISO公式計算結(jié)果比較說明有限元計算結(jié)果的正確性，也反映錐齒輪的特殊性.本文計算模型和結(jié)果正確、可靠、精確，但由于錐齒輪三維模型為曲面，單元網(wǎng)格有奇異性，網(wǎng)格質(zhì)量不高，載荷作用有方向性和分布性，減小模型的誤差還需要進一步研究，模型的可靠性需要進一步證實.

直齒錐齒輪齒根應力精確計算為分析等效模型的誤差和精度打下基礎，是錐齒輪標準設計和優(yōu)化設計的基礎.同時，為正確精確分析齒輪參數(shù)對齒根應力的影響和比較不同齒輪（斜齒和螺旋齒）齒根應力大小、實現(xiàn)創(chuàng)新設計做好準備.

隨著直齒錐齒輪齒根應力有限元模型研究的發(fā)展，進一步研究一對錐齒輪三維嚙合接觸模型，螺旋錐齒輪三維模型及其齒根應力和接觸應力分析，等高齒錐齒輪模型和分析等，錐齒輪的有限元分析和CAE將會進一步發(fā)展.ANSYS在錐齒輪幾何模型方面還需要進一步開發(fā)研究，對由曲面構(gòu)成體的操作能力需要發(fā)展.參考文獻：

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YANG Shenghua. Finite element analysis of gear contact[J]. Chin J Comput Mech， 2003， 20（2）： 189194.

[8]楊生華， 李根國. 齒輪齒根應力和輪齒變形的三維整輪仿真[J]. 計算機輔助工程， 2013， 22（2）： 3640.

YANG Shenghua， LI Genguo. 3D simulation on root stresses and tooth deformations of whole gear[J]. Comput Aided Eng， 2013， 22（2）： 3640.（編輯武曉英）