梁樹琴，李志堅

（山西大學(xué) 理論物理研究所，山西 太原 030006）

0 引言

量子行走是經(jīng)典隨機行走的量子力學(xué)推廣［1－2］，它考慮了量子態(tài)的相干疊加特性。近些年，人們給出了基于量子行走的量子算法［3－4］，使得計算速度更快。與經(jīng)典隨機行走相比，量子行走具有更快的擴展速度、更短的混合時間［5］和命中時間［6］。隨著研究的深入，研究者可以模擬許多實際生物、物理過程，如蛋白質(zhì)折疊、光合作用［7］等等。

在經(jīng)典隨機行走的基礎(chǔ)上，分離時間量子行走分別考慮了硬幣空間和位置空間中的量子態(tài)的相干疊加效應(yīng)，使得粒子在位置空間中發(fā)生彈道傳輸，是量子輸運的有效模型。實驗上可以用光纖、光格子、離子阱等物理系統(tǒng)模擬單個粒子的量子行走。目前人們熱衷于多粒子的量子行走，增加了系統(tǒng)的自由度，使得更多的資源可以加以利用。離散時間量子行走中沒有勢能的作用，其相干特性完全由硬幣態(tài)或作用于硬幣態(tài)上的算符決定。文獻［8］通過對比連續(xù)時間量子行走和分離時間量子行走的傳輸特性，得出可以通過改變硬幣算符中的參數(shù)獲得與改變量子勢導(dǎo)致的相同效應(yīng)，因此在分離時間量子行走中可以通過硬幣算符的參數(shù)來等效量子勢的作用，但文獻［8］僅研究了單粒子在線上的散射效應(yīng)，我們拓展到封閉環(huán)上兩個粒子的散射效應(yīng)，期望通過人為設(shè)置勢壘來控制粒子的傳播，研究等效量子勢對量子行走的影響。

1 單粒子在環(huán)上的量子行走

離散時間量子行走在數(shù)學(xué)上與經(jīng)典隨機行走類似，首先執(zhí)行一個硬幣操作，然后根據(jù)硬幣態(tài)決定粒子向哪個方向移動一步，如此不斷循環(huán)。不同的是這里的硬幣態(tài)不是僅處于頭和尾兩個態(tài)，而是可以處于它們?nèi)我獾牧孔酉喔莎B加態(tài)。系統(tǒng)的希爾伯特空間由硬幣空間HC＝｛｜c〉：c＝1，2，…，d｝和位置空間HW＝｛｜x〉∶x＝1，2，…，N｝的直積構(gòu)成。粒子每一步的演化算符U 由硬幣算符C和條件平移算符S兩部分組成，即

對于一維系統(tǒng)，每個格點有兩個連接邊，相應(yīng)的硬幣空間是一個二維空間，基矢記為｜↑〉和｜↓〉，則環(huán)上的條件平移算符S可表示為

也就是說當(dāng)硬幣態(tài)為｜↑〉時，粒子由格點x向右移動到格點x＋1；當(dāng)硬幣態(tài)為｜↓〉時，粒子由格點x向左移動到格點x－1。硬幣算符C的選取并不是唯一的，為了簡單，一般選擇平衡無偏（向左、向右概率各為1／2）的Hadamard變換

本文我們研究由N個格點構(gòu)成的封閉環(huán)上的量子行走，而且環(huán)上的格點是非均勻的，也就是說，環(huán)上的某些格點j和其他格點不同，在這些格點上的硬幣操作算符不同于其他格點上的硬幣操作算符，硬幣操作算符是依賴于格點位置的，也就是

通常格點上使用硬幣算符CH，而在這些特殊格點上使用硬幣算符eiφCH。從散射角度說，這一相位因子的大小與勢壘的大小在功能上相同，因此這些特殊格點被稱為勢壘［8］?？紤]格點勢壘后，演化算符（1）可表示為

其中｜ψ（0）〉為粒子的初始態(tài)，則粒子在格點上的概率分布為：

下面我們分別研究一個勢壘和兩個勢壘對封閉環(huán)上單粒子量子行走的影響，勢壘的大小取φ＝π，假定粒子初始時刻處于格點1的位置，且硬幣態(tài)為（｜↑〉＋i｜↓〉），即

當(dāng)環(huán)上的格點均勻，即沒加勢壘時，圖1分別給出了格點數(shù)N為6、8時單個粒子在各格點上的分布概率隨時間的變化曲線。從圖中可以看出，當(dāng)N＝8時，經(jīng)過24步后，粒子回到了初始狀態(tài)的概率分布，呈現(xiàn)出周期演化的動力學(xué)特性；而當(dāng)N＝6時，不能表現(xiàn)出周期演化特性，呈無規(guī)的演化過程。而對于經(jīng)典隨機行走，無論格點數(shù)為多少，它都不會表現(xiàn)出周期演化的特性，只會像N＝6時的量子行走一樣，經(jīng)過無規(guī)律的演化步驟后可以回到初始時的分布狀態(tài)。早在2003年，Tregenna等就曾經(jīng)對均勻環(huán)上的量子行走進行過研究［9］，對于Hadamard硬幣算符，當(dāng)環(huán)上格點數(shù)分別為2、4、8時，演化過程具有周期特性，周期分別為2、8、24，但格點數(shù)為16時，卻表現(xiàn)出無規(guī)的演化特性，即使經(jīng)過成千上萬步的演化，系統(tǒng)也不會回到初始時的分布狀態(tài)。

Fig.1 Time evolution of the probability distribution for a walker on an uniform cycle，（a）N＝6；（b）N＝8圖1 粒子在均勻環(huán)上各格點的概率分布隨時間的變化：（a）N＝6；（b）N＝8

當(dāng)環(huán)中只有一個格點與其他格點不同時，即在單勢壘的情況下，圖2分別給出了N為6、8時粒子在各格點上的分布概率隨時間的變化曲線，當(dāng)N為6時，勢壘設(shè)置在格點x＝4處，當(dāng)N為8時，勢壘設(shè)置在格點x＝5處。從圖2（b）可以看出，當(dāng)N＝8時，均勻環(huán)時的周期演化特性被勢壘破壞掉，呈現(xiàn)出無規(guī)的振蕩變化。當(dāng)粒子遇到勢壘時，有一部分會被勢壘擋住反射回去，有一部分會穿過勢壘透射過去，透射和反射的多少由勢壘的高度，也就是相角φ的大小決定。反射回去的粒子和下一步傳輸過來的相遇發(fā)生干涉，從而產(chǎn)生了更加復(fù)雜的干涉模式，破壞了原來的周期性。

當(dāng)環(huán)中設(shè)置兩個格點勢壘時，圖3分別給出N為6、8時，粒子在每個格點上的分布概率隨時間的變化曲線，當(dāng)N為6時，兩個勢壘分別設(shè)置在格點x＝3和x＝5處，從圖3（a）中可以看出，在兩個勢壘間的格點x＝1，x＝2，x＝6上粒子的概率分布要比兩個勢壘另一側(cè)的格點x＝4上的概率分布大。與圖2（a）相比，此時勢壘對粒子概率分布的影響更加明顯，粒子在轉(zhuǎn)移過程中，大部分被勢壘擋住，發(fā)生了反射現(xiàn)象，只有小部分透射過去，粒子會在兩個勢壘之間來回反射，因此粒子在兩個勢壘另一側(cè)的格點上的分布概率較小。當(dāng)N為8時，兩個勢壘分別設(shè)置在格點x＝3和x＝7處，此時在兩個勢壘影響下粒子在各個格點上的分布概率表現(xiàn)出非常有趣的現(xiàn)象，如圖3（b）所示，一方面由單勢壘破壞掉的周期演化特性又重新出現(xiàn)，但與沒有格點勢壘的情況相比，其周期不再是24而是變?yōu)榱?8；另一方面與圖3（a）相比，N＝8時粒子不再像N＝6時一樣被束縛在兩個勢壘之間的格點x＝2，x＝8上，而是隨著時間演化會有很大的概率透射到兩個勢壘的另一側(cè)格點x＝4，x＝5，x＝6上，某些時刻粒子在格點x＝5處的分布概率可以接近1。整體來看，粒子的分布概率會在兩個勢壘格點的兩側(cè)隨時間來回振蕩。

Fig.3 Time evolution of the probability distribution for a walker on a cycle with two barriers，（a）N＝6；（b）N＝8圖3 環(huán)上設(shè)置兩個勢壘時，粒子在非均勻環(huán)上各點的分布概率隨時間的變化，（a）N＝6；（b）N＝8

2 封閉環(huán)上兩粒子的量子行走

鑒于雙勢壘情況下，N＝8時單粒子演化分布概率表現(xiàn)出的周期特性，本節(jié)我們分析兩個粒子在環(huán)上行走的聯(lián)合概率分布。假定兩粒子之間沒有相互作用，側(cè)重討論兩粒子硬幣初態(tài)對概率分布的影響。每個粒子的時間演化算符Ui（i＝1，2）仍由方程（5）決定，則兩粒子每一步總的演化算符可表示為

其中｜x1〉、｜x2〉、｜α1〉、｜β2〉分別表示兩粒子的位置空間和硬幣空間的基矢，｜ψ（0）〉12為兩粒子的初始態(tài)，粒子在位置空間的約化密度矩陣為

在x1處找到粒子1，x2處找到粒子2的聯(lián)合概率

我們選取環(huán)的格點數(shù)N＝8，并在格點x＝3和x＝7處設(shè)置勢壘，令方程（4）中的φ＝π。假定粒子1和粒子2的初始位置分別為x＝1和x＝5，兩粒子的硬幣初態(tài)選取兩種情況，一種是非糾纏態(tài)｜↑〉1｜↑〉2，一種是糾纏態(tài)（｜↑〉｜↓〉＋｜↓〉｜↑〉），也就是兩粒子的初態(tài)為1212

圖4（1a－1d）、（2a－2d）分別給出在初態(tài)（13）、初態(tài)（14）下兩粒子的聯(lián)合概率在不同時刻的分布。x1，x2用來分別表示粒子1和粒子2所在的環(huán)上的格點位置，從圖中看出，不論粒子的初始硬幣態(tài)是糾纏態(tài)還是非糾纏態(tài)，當(dāng)t＝4n（n為整數(shù)）時，兩粒子的聯(lián)合概率分布相同，特別是當(dāng)t＝24時，兩個粒子交換了格點位置，當(dāng)t＝48時，兩粒子再次交換位置回到初始時的聯(lián)合概率分布狀態(tài)。在其他時刻兩種初態(tài)下兩粒子的聯(lián)合概率分布不再相同，當(dāng)t＝11時，粒子只分布在偶數(shù)格點上，從圖4（b）看出，初態(tài)（13）下粒子的聯(lián)合概率分布達到了最大混合，所有偶數(shù)格點上的分布概率都相等，而初態(tài)（14）下兩粒子在與勢壘相鄰格點上的聯(lián)合概率為零，在其他偶數(shù)格點上出現(xiàn)的聯(lián)合概率相等。特別值得一提的是在初態(tài)（13）下，當(dāng)t＝10＋24n或t＝11＋24n（n為整數(shù)）時，兩粒子的聯(lián)合概率都會達到最大混合。

Fig.4 Joint position distribution of two walkers on a cycle with two barriers at certain time（a）t＝0，（b）t＝11，（c）t＝24，（d）t＝48.（1a－1d）and（2a－2d）are corresponding to the initial non－entangled state（13）and entangled state（14），respectively圖4 N＝8時，兩粒子在有兩勢壘的環(huán)上不同時刻（a）t＝0，（b）t＝11，（c）t＝24，（d）t＝48的聯(lián)合概率分布圖，（1a－1d）（2a－2d）分別表示非糾纏初態(tài)（13）和糾纏初態(tài)（14）下的演化

3 結(jié)論

本文由硬幣算符中的參數(shù)來等效量子散射過程中的散射勢，研究了封閉環(huán)上的勢壘對分離時間量子行走的動力學(xué)演化的影響。分離時間量子行走的演化特征與環(huán)的格點個數(shù)有關(guān)，當(dāng)格點數(shù)N＝8時，單粒子量子行走在均勻環(huán)上的概率分布隨時間呈周期變化，單個勢壘的散射能夠破壞這種周期特性，雙勢壘散射卻又使得這種周期變化特征重新恢復(fù)，而且周期擴大一倍，除此之外，粒子能透射勢壘到達兩個勢壘的另一側(cè)，表現(xiàn)出在兩個勢壘兩側(cè)來回振蕩的特性。而當(dāng)N＝6時，單個粒子的量子行走被束縛在兩個勢壘之間，粒子以較大的概率被勢壘來回反射。最后，我們討論了兩個非相互作用的粒子在N＝8的環(huán)上受兩個勢壘散射的演化行為，以及這些行為與兩個粒子初態(tài)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)在4的整數(shù)倍的時刻，兩粒子量子行走在初態(tài)為糾纏態(tài)和非糾纏態(tài)兩種情況下，兩粒子的聯(lián)合概率分布相同，如果初始時刻兩粒子分別處于兩勢壘兩側(cè)的某一個點上，在半周期的時刻兩粒子的位置互換。這些結(jié)果表明，無論是單粒子量子行走還是兩粒子量子行走都可以作為一種有效的量子比特來進行量子計算。

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