田陽陽

(儀征市第二中學(xué)，江蘇 揚(yáng)州 211400)

滬科版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理選修3-4第2章機(jī)械波的第5節(jié)多普勒效應(yīng)中，分別按照觀察者不動聲源運(yùn)動和觀察者運(yùn)動聲源不動兩種類別編排了2個演示實(shí)驗(yàn).現(xiàn)對這兩個演示實(shí)驗(yàn)定量思考如下.

圖1

實(shí)驗(yàn)1.將一個哨子系在約1.5m長的細(xì)繩一端，另一端系在手上，讓手臂晃動，使哨子在我們頭上旋轉(zhuǎn).另一些人坐在凳子上，聆聽哨聲的音調(diào)變化情況.相互交換一次，親身體驗(yàn)一下.(如圖1所示)

(1)坐在凳子上的學(xué)生聽到的哨聲音調(diào)的變化規(guī)律.

如圖2所示，設(shè)坐在凳子上的學(xué)生耳朵所在位置為B點(diǎn)，耳朵到哨子運(yùn)動平面的距離h=1 m.哨子逆時針轉(zhuǎn)動，取哨子經(jīng)過A位置為計(jì)時起點(diǎn)，經(jīng)過時間t哨子轉(zhuǎn)動θ角運(yùn)動到C點(diǎn).設(shè)哨子發(fā)聲頻率f0=1000Hz，其圓周運(yùn)動的速度為v，半徑為r=1.5m，周期T=1s，聲速vS=340 m/s.則由多普勒效應(yīng)公式［1］可得坐在凳子上的學(xué)生聽到的頻率

其中α為v與CB之間的夾角.為計(jì)算需要我們在速度v的延長線上取一點(diǎn)D，使CD=r=1.5m，如圖2所示.

圖2

在△AOC中由余弦定理得

在△BAC中由勾股定理得

在△ACD中由余弦定理得

在△BAD中由勾股定理得

則在△BCD中由余弦定理得

將(7)式代入(1)式得

圖3

(2)演示者聽到的哨聲音調(diào)的變化規(guī)律［2］.

圖4

實(shí)驗(yàn)2.兩位學(xué)生相隔一段距離(約10m)，一人手持小收音機(jī)播放音樂(或吹口哨)，另一人坐在秋千上來回?cái)[動(如圖5所示)，經(jīng)過圖中A、B、C、D、E 不同位置，體會一下音調(diào)是如何變化的.

如圖6所示，設(shè)秋千繩長L=10m，初始擺動位置OP與豎直方向OR夾φ=為簡單起見，設(shè)聲源(小收音機(jī))處在半徑為L的圓周的M點(diǎn)，OM與OP夾

圖5

圖6

設(shè)坐在秋千上的人的質(zhì)量為m，從靜止開始沿順時針運(yùn)動，運(yùn)動到與OP關(guān)于OR對稱的OT位置，然后沿逆時針方向再次運(yùn)動至OP位置，完成一個周期的運(yùn)動.

解得

由幾何關(guān)系易知

則由多普勒效應(yīng)公式可得坐在秋千上的人聽到的頻率為

取 f0=1000Hz，聲速 vS=340m/s，g=10m/s2，L=10m 代入(13)式得

圖7

解得

由幾何關(guān)系易知

則由多普勒效應(yīng)公式可得坐在秋千上的人聽到的頻率為

取 f0=1000Hz，聲速 vS=340m/s，g=10m/s2，L=10m 代入(18)式得

由Mathematica軟件可以畫出0≤θ≤π內(nèi)f隨θ變化的函數(shù)圖像，如圖8所示，此為一個周期T內(nèi)f隨θ變化的函數(shù)圖像.由圖像可見，θ=0時，f=f0=1000Hz(此時v人=0);在0＜θ≤內(nèi)，f隨角度θ的增大先減小到最小值，然后逐漸增大，至θ=時增大到初始值f=f0=1000Hz(此時v人=0);然后隨θ的增大而繼續(xù)增加至最大值后又逐漸減小;至θ=π時，f=f0=1000Hz;此時坐在秋千上的人回到起始位置P，完成了一個周期的運(yùn)動.

圖8

由Mathematica軟件可以求出當(dāng)θ=0.64663rad(約為37°)時 f取最小值;當(dāng)θ=2.49496rad(約為143°)時f取最大值.

從圖8很容易得到坐在秋千上的人經(jīng)過圖中A、B、C、D、E不同位置時音調(diào)是如何變化的.

當(dāng)人沿順時針方向經(jīng)過 E、D、C、B、A時，從 E到 D，f逐漸減小，至DC之間某位置時達(dá)到最小值;然后從該位置經(jīng)C到B再到A，f逐漸增大.

當(dāng)人沿逆時針方向經(jīng)過A、B、C、D、E時，從A到B再到C，f逐漸增大，至CD之間某位置時達(dá)到最大值;然后從該位置經(jīng)D到E，f逐漸減小.

1 劉林.用多普勒聲納測量輪船的航速［J］.物理教學(xué)，2011(8):37.

2 田陽陽.對一個演示實(shí)驗(yàn)的思考［J］.物理教學(xué)，2010(8):32.