田陽陽
(儀征市第二中學(xué),江蘇 揚(yáng)州 211400)
滬科版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理選修3-4第2章機(jī)械波的第5節(jié)多普勒效應(yīng)中,分別按照觀察者不動聲源運(yùn)動和觀察者運(yùn)動聲源不動兩種類別編排了2個演示實(shí)驗(yàn).現(xiàn)對這兩個演示實(shí)驗(yàn)定量思考如下.
圖1
實(shí)驗(yàn)1.將一個哨子系在約1.5m長的細(xì)繩一端,另一端系在手上,讓手臂晃動,使哨子在我們頭上旋轉(zhuǎn).另一些人坐在凳子上,聆聽哨聲的音調(diào)變化情況.相互交換一次,親身體驗(yàn)一下.(如圖1所示)
(1)坐在凳子上的學(xué)生聽到的哨聲音調(diào)的變化規(guī)律.
如圖2所示,設(shè)坐在凳子上的學(xué)生耳朵所在位置為B點(diǎn),耳朵到哨子運(yùn)動平面的距離h=1 m.哨子逆時針轉(zhuǎn)動,取哨子經(jīng)過A位置為計(jì)時起點(diǎn),經(jīng)過時間t哨子轉(zhuǎn)動θ角運(yùn)動到C點(diǎn).設(shè)哨子發(fā)聲頻率f0=1000Hz,其圓周運(yùn)動的速度為v,半徑為r=1.5m,周期T=1s,聲速vS=340 m/s.則由多普勒效應(yīng)公式[1]可得坐在凳子上的學(xué)生聽到的頻率
其中α為v與CB之間的夾角.為計(jì)算需要我們在速度v的延長線上取一點(diǎn)D,使CD=r=1.5m,如圖2所示.
圖2
在△AOC中由余弦定理得
在△BAC中由勾股定理得
在△ACD中由余弦定理得
在△BAD中由勾股定理得
則在△BCD中由余弦定理得
將(7)式代入(1)式得
圖3
(2)演示者聽到的哨聲音調(diào)的變化規(guī)律[2].
圖4
實(shí)驗(yàn)2.兩位學(xué)生相隔一段距離(約10m),一人手持小收音機(jī)播放音樂(或吹口哨),另一人坐在秋千上來回?cái)[動(如圖5所示),經(jīng)過圖中A、B、C、D、E 不同位置,體會一下音調(diào)是如何變化的.
如圖6所示,設(shè)秋千繩長L=10m,初始擺動位置OP與豎直方向OR夾φ=為簡單起見,設(shè)聲源(小收音機(jī))處在半徑為L的圓周的M點(diǎn),OM與OP夾
圖5
圖6
設(shè)坐在秋千上的人的質(zhì)量為m,從靜止開始沿順時針運(yùn)動,運(yùn)動到與OP關(guān)于OR對稱的OT位置,然后沿逆時針方向再次運(yùn)動至OP位置,完成一個周期的運(yùn)動.
解得
由幾何關(guān)系易知
則由多普勒效應(yīng)公式可得坐在秋千上的人聽到的頻率為
取 f0=1000Hz,聲速 vS=340m/s,g=10m/s2,L=10m 代入(13)式得
圖7
解得
由幾何關(guān)系易知
則由多普勒效應(yīng)公式可得坐在秋千上的人聽到的頻率為
取 f0=1000Hz,聲速 vS=340m/s,g=10m/s2,L=10m 代入(18)式得
由Mathematica軟件可以畫出0≤θ≤π內(nèi)f隨θ變化的函數(shù)圖像,如圖8所示,此為一個周期T內(nèi)f隨θ變化的函數(shù)圖像.由圖像可見,θ=0時,f=f0=1000Hz(此時v人=0);在0<θ≤內(nèi),f隨角度θ的增大先減小到最小值,然后逐漸增大,至θ=時增大到初始值f=f0=1000Hz(此時v人=0);然后隨θ的增大而繼續(xù)增加至最大值后又逐漸減小;至θ=π時,f=f0=1000Hz;此時坐在秋千上的人回到起始位置P,完成了一個周期的運(yùn)動.
圖8
由Mathematica軟件可以求出當(dāng)θ=0.64663rad(約為37°)時 f取最小值;當(dāng)θ=2.49496rad(約為143°)時f取最大值.
從圖8很容易得到坐在秋千上的人經(jīng)過圖中A、B、C、D、E不同位置時音調(diào)是如何變化的.
當(dāng)人沿順時針方向經(jīng)過 E、D、C、B、A時,從 E到 D,f逐漸減小,至DC之間某位置時達(dá)到最小值;然后從該位置經(jīng)C到B再到A,f逐漸增大.
當(dāng)人沿逆時針方向經(jīng)過A、B、C、D、E時,從A到B再到C,f逐漸增大,至CD之間某位置時達(dá)到最大值;然后從該位置經(jīng)D到E,f逐漸減小.
1 劉林.用多普勒聲納測量輪船的航速[J].物理教學(xué),2011(8):37.
2 田陽陽.對一個演示實(shí)驗(yàn)的思考[J].物理教學(xué),2010(8):32.