張 研， 李廷秀， 蔣林華

（河海大學(xué) 力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇 南京 210098）

混凝土因其良好的力學(xué)性能和耐久性能，在土木、水利及軍事工程中得到廣泛應(yīng)用.混凝土結(jié)構(gòu)在承受常規(guī)荷載作用時(shí)，在極端情況下可能受到大范圍動(dòng)態(tài)荷載的作用，如地震、爆炸等.為了保證工程結(jié)構(gòu)的安全，有必要對混凝土在動(dòng)態(tài)荷載下的力學(xué)特征進(jìn)行深入研究.

國內(nèi)外學(xué)者用不同方法對混凝土的動(dòng)態(tài)荷載力學(xué)行為進(jìn)行了試驗(yàn)和理論研究.Ross等［1－2］采用SHPB壓桿試驗(yàn)、落錘試驗(yàn)和液壓加載等方法，研究了較大范圍加載速率下混凝土的力學(xué)特征；Mu等［3］研究了三軸受壓狀態(tài)下混凝土的應(yīng)變率敏感性，發(fā)現(xiàn)抗壓強(qiáng)度隨應(yīng)變率增大而增大不是材料的屬性而是加載過程中橫向約束的影響.混凝土動(dòng)態(tài)行為的模型研究也取得了進(jìn)展，從宏觀到細(xì)觀尺度上，將塑性機(jī)理、內(nèi)時(shí)理論、斷裂和損傷機(jī)理的力學(xué)理論和經(jīng)驗(yàn)公式等應(yīng)用于動(dòng)態(tài)模型構(gòu)建上.Song等［4］從細(xì)觀層次研究動(dòng)力累加效果，得出在超出極限應(yīng)變率時(shí)應(yīng)力分布是不均勻的結(jié)論；H?ussler－Combe等［5］結(jié)合黏彈性理論和損傷延遲理論構(gòu)建模型，研究應(yīng)變率對混凝土拉壓性能的影響；Cusatis［6］將應(yīng)變率作用引入圍壓剪切離散模型，從細(xì)觀上研究斷裂的傳播發(fā)展，認(rèn)為慣性對拉伸的影響遠(yuǎn)比其對壓縮的影響要大；宋玉普等［7］結(jié)合內(nèi)時(shí)理論和損傷理論建立了混凝土應(yīng)變率效應(yīng)內(nèi)時(shí)損傷本構(gòu)模型，該模型能夠很好地反映混凝土多軸荷載作用下的應(yīng)變率敏感特性；李慶斌［8］和鄧宗才［9］根據(jù)雙剪應(yīng)變理論和損傷理論分別推出了不同的動(dòng)力損傷本構(gòu)模型.

建立力學(xué)概念清晰、模型構(gòu)建簡單而又能較好反映混凝土應(yīng)變率效應(yīng)的本構(gòu)模型是工程人員樂于接受的.結(jié)合已有的理論研究，本文提出一種考慮混凝土應(yīng)變率效應(yīng)的彈塑性損傷本構(gòu)模型.該模型擺脫了通常的彈塑性模型參數(shù)不易確定的困擾，同時(shí)在損傷準(zhǔn)則中引入了應(yīng)變率敏感性參數(shù).本文還運(yùn)用該模型計(jì)算預(yù)測了在大范圍應(yīng)變加載情況下的混凝土破壞強(qiáng)度.

1 一般彈塑性損傷本構(gòu)模型

本文采用彈塑性損傷本構(gòu)模型來描述混凝土單軸受壓時(shí)的力學(xué)特征.采用小變形假設(shè)，狀態(tài)變量和內(nèi)變量分別為總應(yīng)變張量ε，彈性應(yīng)變張量εe，塑性應(yīng)變張量εp和損傷變量d.其變形增量（應(yīng)變率）可表示為：

一般形式的混凝土應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系為：

式中：σ為應(yīng)力的張量表達(dá)形式；C（d）是材料的四階有效彈性剛度張量.當(dāng)材料表現(xiàn)為各向同性時(shí)，C（d）可以通過Hill引理［10］表示為一般形式：

式中：μ（d）和k（d）分別為材料的有效體積模量和剪切模量；對稱四階張量J和K分別定義為：

考慮到損傷的存在，增量形式的本構(gòu)關(guān)系可以表示為：

式中：C′（d）表示損傷變量對有效彈性剛度張量的導(dǎo)數(shù)：

1.1 力學(xué)損傷

不考慮塑性應(yīng)變的影響，對應(yīng)損傷變量d的熱力學(xué)伴隨量ξ可以表示為：

為了判別材料是否發(fā)生損傷，本文參考Mazars［12］的研究，采用以下?lián)p傷準(zhǔn)則：

式中：Ad為材料破壞時(shí)可達(dá)到的最大損傷值，本文取Ad＝1，則材料完全破壞時(shí)材料的有效彈性剛度C（d）為0，不能再承受荷載，這符合材料破壞的實(shí)際情況；Bd為加載過程中材料損傷的發(fā)展速度；ξd為損傷閾值.Bd和ξd可通過經(jīng)驗(yàn)確定.

1.2 不可恢復(fù)（塑性）變形特征

材料在加載過程中，其變形在初始階段是彈性的，此時(shí)塑性變形的影響很小，可以忽略不計(jì).隨著荷載不斷增加，材料內(nèi)部應(yīng)力接近或達(dá)到峰值應(yīng)力后，材料內(nèi)部微裂縫的發(fā)展改變了其微觀結(jié)構(gòu)，混凝土不可避免地出現(xiàn)不可恢復(fù)（塑性）變形，對內(nèi)部結(jié)構(gòu)造成影響.建立塑性變形與損傷間的關(guān)聯(lián)如下：

可以看出，盡管塑性的定義非常簡單，但也較符合材料受力破壞過程的實(shí)際情況：當(dāng)材料在彈性階段沒有力學(xué)損傷時(shí)（d＝0），沒有塑性變形產(chǎn)生；當(dāng)損傷達(dá)到最大，即材料完全破壞時(shí)（d＝1），其變形增量完全表現(xiàn)為不可恢復(fù)的塑性變形.

1.3 模型校準(zhǔn)和數(shù)值模擬

應(yīng)用彈塑性損傷本構(gòu)模型，給出混凝土試件在不同應(yīng)變率下單軸壓縮的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，并與已有試驗(yàn)結(jié)果［13］進(jìn)行比較，驗(yàn)證彈塑性損傷本構(gòu)模型的有效性.

彈塑性損傷本構(gòu)模型中E和υ為材料彈性參數(shù)，通過單軸抗壓試驗(yàn)應(yīng)力－應(yīng)變曲線開始階段的彈性部分獲得；Bd和ξd是與材料損傷相關(guān)的參數(shù)，主要反映較大荷載作用下以及達(dá)到破壞荷載（最大荷載）峰值后下降段材料的變形特征，可通過反演法獲得.表1為彈塑性損傷本構(gòu)模型中不同應(yīng)變率加載時(shí)各參數(shù)取值匯總.考慮到動(dòng)態(tài)應(yīng)變加載試驗(yàn)為單（軸）向，則可表示為，為軸向加載速率標(biāo)量.

表1 不同應(yīng)變率下彈塑性損傷本構(gòu)模型參數(shù)Table 1 Model parameters under different strain rates

應(yīng)用本文提出的彈塑性損傷本構(gòu)模型，對應(yīng)變率為10－2～10－5／s下混凝土單軸受壓情況進(jìn)行模擬.圖1為試驗(yàn)實(shí)測數(shù)據(jù)［13］與模擬應(yīng)力－應(yīng)變曲線的對比圖.由圖1可以看出，混凝土強(qiáng)度隨應(yīng)變率的增加而增大，達(dá)到破壞荷載時(shí)的臨界應(yīng)變幾乎不變.由圖1還可看出模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果比較吻合，能較好地反映混凝土試件在受壓過程中的彈塑性損傷特征：在荷載較小時(shí)，試件處于彈性變形階段；隨著荷載不斷增加，材料的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系不再呈現(xiàn)線性，說明不可恢復(fù)變形隨著荷載的增加而增加.可以看出，在不同加載速率下，本文所采用彈塑性損傷本構(gòu)模型均可較好地描述材料應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系.

圖1 不同應(yīng)變率加載下混凝土的單軸壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)［13］與模擬曲線對比Fig.1 Comparison between experimental results［13］and numerical simulation of general elastoplastic damage model at different strain rates

2 應(yīng)變率型彈塑性損傷本構(gòu)模型

一般認(rèn)為，材料的力學(xué)特征參數(shù)是材料屬性，與試驗(yàn)加載過程關(guān)聯(lián)不大.由表1可以看出，隨著應(yīng)變率的變化，混凝土力學(xué)性能參數(shù)有一定變化，其中E和ξd變化顯著，這與材料內(nèi)在屬性不符.同時(shí)，通過已有的有限試驗(yàn)數(shù)據(jù)獲得的模型參數(shù)（表1），利用一般彈塑性損傷本構(gòu)模型無法對其他應(yīng)變率加載下的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系進(jìn)行廣泛而有效的描述.宋玉普等［7］的研究發(fā)現(xiàn)，隨著應(yīng)變率不斷降低，材料的力學(xué)性能變得愈加穩(wěn)定.因此認(rèn)為在擬靜態(tài)應(yīng)變率0加載時(shí)，E和ξd值可認(rèn)為是材料的內(nèi)在屬性，用E0和來表示擬靜態(tài)應(yīng)變率加載時(shí)的彈性模量和損傷閾值.任意動(dòng)態(tài)應(yīng)變率時(shí)的模型參數(shù)E和ξd都可用E0和進(jìn)行描述.圖2是不同應(yīng)變率時(shí)混凝土彈性模量變化曲線.由圖2可以看出，混凝土彈性模量與應(yīng)變率呈線性關(guān)系.對圖2進(jìn)行曲線擬合，得到：

式中：a為應(yīng)變率敏感性參數(shù)，反映了混凝土彈性模量對應(yīng)變率變化的敏感性.

圖2 彈性模量與應(yīng)變率的關(guān)系Fig.2 Relationship between elastic modulus and stain rate

圖3為整理得到的損傷閾值ξd隨應(yīng)變率變化的關(guān)系.對圖3進(jìn)行曲線擬合，得到：

式中：b1，b2是曲線擬合參數(shù)，反映了混凝土損傷閾值對應(yīng)變率的敏感性.

圖3 ξd與應(yīng)變率之間的關(guān)系Fig.3 Relationship betweenξdand stain rate

表2 材料和模型參數(shù)Table 2 Material and model parameters

為了驗(yàn)證模型與試驗(yàn)的一致性，用表2中的參數(shù)進(jìn)行了應(yīng)變率在10－5～10－2／s時(shí)的模型數(shù)值計(jì)算，得到圖4.由圖4可見，當(dāng)考慮了應(yīng)變率敏感性參數(shù)后，模型數(shù)值計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果基本吻合，參數(shù)a反映了彈性模量對應(yīng)變率的敏感性，參數(shù)b1和b2則反映了破壞強(qiáng)度對應(yīng)變率的敏感性，這3個(gè)應(yīng)變率敏感性參數(shù)的引入有效反映出材料在達(dá)到破壞荷載時(shí)應(yīng)變略有增加的彈塑性特征.

圖4 不同應(yīng)變率下混凝土的單軸壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)［13］與應(yīng)變率型模型結(jié)果對比Fig.4 Comparison between experimental results［13］and numerical simulation of rate－depedent modelling at different strain rates

本文提出的應(yīng)變率型彈塑性損傷本構(gòu)模型只包含7個(gè)參數(shù)，卻能對不同應(yīng)變率加載下的混凝土破壞強(qiáng)度進(jìn)行有效預(yù)測.采用表2中的數(shù)據(jù)，利用該模型進(jìn)行了應(yīng)變率為10－7～102／s條件下的破壞強(qiáng)度預(yù)測，得到圖5.由圖5可見，當(dāng)應(yīng)變率較小時(shí)，混凝土破壞強(qiáng)度增長較緩慢，隨著應(yīng)變率的增加，破壞強(qiáng)度迅速增加，這個(gè)結(jié)果與已有研究［14］的試驗(yàn)結(jié)果相符，符合混凝土實(shí)際受壓破壞的情況.因此，本文所建立的應(yīng)變率型彈塑性損傷本構(gòu)模型能夠合理地體現(xiàn)大范圍應(yīng)變率加載情況下混凝土的主要力學(xué)特征.對比其他同類型模型［7］，在采用相同的迭代算法和有限元結(jié)構(gòu)時(shí)，應(yīng)變率型彈塑性損傷本構(gòu)模型在整個(gè)有限元計(jì)算中所占比例較小.因此，采用該模型進(jìn)行的數(shù)值計(jì)算在計(jì)算時(shí)間上與其他模型差別不大.應(yīng)變率型彈塑性損傷本構(gòu)模型參數(shù)分為彈性參數(shù)、損傷參數(shù)和應(yīng)變率敏感性參數(shù)，這3類參數(shù)都具有簡潔的形式和明確的物理概念.因此該模型的使用相對容易，如結(jié)合互交式的模型軟件應(yīng)用，可進(jìn)一步方便工程技術(shù)人員使用.

圖5 破壞強(qiáng)度和應(yīng)變率的關(guān)系Fig.5 Relationship between strength and stain rate

應(yīng)變率型彈塑性損傷本構(gòu)模型同樣可用于單軸拉伸，具體調(diào)整為：根據(jù)拉伸試驗(yàn)結(jié)果，模型參數(shù)Bd和重新通過反演法獲得.如本模型用于拉／壓荷載變化情況時(shí)，可分別確定拉／壓荷載作用下的Bd和值，分別標(biāo)記為Bd，T和ξ0d，T，Bd，C和ξ0d，C.此時(shí)損傷準(zhǔn)則可表達(dá)為：

式中：下標(biāo)T，C分別對應(yīng)拉應(yīng)力，壓應(yīng)力狀態(tài).

當(dāng)混凝土材料受到拉伸作用時(shí)，d＝dT，當(dāng)受到壓力作用時(shí)，d＝dC，并且滿足˙d≥0，以保證拉－壓狀態(tài)變化時(shí)損傷的不可逆特征.

3 結(jié)論

（1）應(yīng)變率型彈塑性損傷本構(gòu)模型的7個(gè)參數(shù)是材料內(nèi)在屬性，與加載過程關(guān)聯(lián)不大.

（2）應(yīng)變率型彈塑性損傷本構(gòu)模型中的3個(gè)應(yīng)變率敏感性參數(shù)與材料彈性參數(shù)和損傷參數(shù)相關(guān).與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對比表明，該模型能夠?qū)炷恋闹饕W(xué)特征，如力學(xué)損傷、彈塑性變形和應(yīng)變率敏感性進(jìn)行有效描述.

（3）只需2～3組單軸壓縮試驗(yàn)即可獲得應(yīng)變率型彈塑性損傷本構(gòu)模型參數(shù)，該模型可反映大范圍加載速率下混凝土的主要力學(xué)特征，且該模型預(yù)測的破壞強(qiáng)度變化規(guī)律與已有試驗(yàn)研究規(guī)律一致.

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