周德川, 王芳貴

（四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院,四川成都610066）

乘法理想理論為整環(huán)的刻畫提供了許多方法,人們希望這樣的做法能用于一般的交換環(huán)上.傳統(tǒng)上,通過用交換環(huán)的完全分式環(huán)T（R）來替換整環(huán)的商域,也獲得了一些對(duì)應(yīng)的結(jié)果（參見文獻(xiàn)［1-3］）.但這樣的做法最終未能普及,其原因是關(guān)于整環(huán)的許多經(jīng)典結(jié)果在一般交換環(huán)上未能有一個(gè)對(duì)應(yīng)描述.例如,當(dāng)R是整環(huán)時(shí),R是整閉整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)多項(xiàng)式環(huán)R［X］是整閉整環(huán).盡管可以借助T（R）定義一般交換環(huán)的整閉包和在T（R）中的整閉整環(huán),但1979年J.W.Brewer等［4］指出,R是在T（R）中約化的整閉環(huán),未必有R［X］在T（R［X］）中整閉.因此,用T（R）替代整環(huán)的商域未必是最好的方法.T.G.Lucas［5］嘗試用Q0（R）來替代整環(huán)的商域,用于研究一般交換環(huán)上可能展開的乘法理想理論；1989年他證明了R是在Q0（R）中整閉的約化環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R［X］在Q0（R［X］）中是整閉的.于是2004年,T.G.Lucas［6］借助Q0（R）與半正則理想把Mori整環(huán)推廣到一般交換環(huán)上,定義了Q0-Mori環(huán),并對(duì)其進(jìn)行了很多的討論.在此基礎(chǔ)上,本文定義了Q0-SM環(huán),即交換環(huán)R滿足半正則w-理想的升鏈條件,且若｛In｝是R的半正則v-理想的降鏈,∩In是半正則理想,則｛In｝穩(wěn)定,并對(duì)其基本性質(zhì)進(jìn)行了討論.已知SM整環(huán)是Mori整環(huán)、Mori整環(huán)是TV整環(huán)、TV整環(huán)是H整環(huán),本文相應(yīng)地定義了Q0-H環(huán)、Q0-TV環(huán),并證明了此關(guān)系依然存在.證明了若R是Q0-TV環(huán),則R的半正則t-理想只包含在有限多個(gè)極大w-理想中.若R是Q0-SM環(huán),則R的半正則理想只包含在有限多個(gè)半正則極大w-理想中.然后定義了一般交換環(huán)R的w-全局變換環(huán)Rw*,并證明了R是Q0-SM環(huán),則Rw*也是Q0-SM環(huán)且

t-dim（Rw*）＝t-dim（R）-1.

1 Q0-SM環(huán)

設(shè)R是交換環(huán),J是R的有限生成理想,如果自然同態(tài)φ:M→J*＝HomR（J,R）是同構(gòu),則J稱為R的GV-理想,用GV（R）表示R的GV-理想全體.I是R的理想,若I中包含R的一個(gè)正則元,則I稱為R的正則理想；若存在I的有限生成子理想I0,使得ann（I0）＝0,則I稱為R的半正則理想.用S0表示R的所有有限生成半正則理想的集合,T（R）表示R的完全分式環(huán),Q0（R）＝｛u∈T（R［X］）｜存在I∈S0,使得Iu?R｝.設(shè)

α＝∑aiXi/∑biXi∈T（R［X］）,

則α∈Q0（R）當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何i、j有aibj＝ajbi.R-模B?Q0（R）是R的分式理想是指存在R的半正則理想I,使得IB?R.若B包含一個(gè)Q0（R）的非零因子,且存在R的正則元r,使得rB?R,則B稱為R的正則分式理想；若B包含一個(gè)沒有非零零化子的有限生成分式理想,且存在R的有限生成半正則理想I,使得IB?R,則B稱為R的半正則分式理想.R-模M是w-模是指:M是GV-無撓模,且對(duì)任何J∈GV（R）,定義模M的包絡(luò),Mw＝｛x∈E（M）｜存在J∈GV（R）,使得Jx?M｝,M是w-模當(dāng)且僅當(dāng)Mw＝M.若A是Q0（R）中的R-子模,記

A-1＝（R∶A）＝｛t∈Q0（R）｜tA?R｝.

I是R的分式理想,當(dāng)（I（R∶I））w＝R時(shí),則I稱為w-可逆分式理想.當(dāng)I是半正則分式理想時(shí),（R∶I）也是半正則分式理想；當(dāng)I是正則分式理想時(shí),（R∶I）也是正則分式理想.且對(duì)任何半正則分式理想I,有（R∶I）＝（R∶I）v,由（R∶I）w?（R∶I）v知,有（R∶I）＝（R∶I）w.并且有It＝∪｛（I0）v｜其中I0取遍I的所有有限生成半正則子分式理想｝［6］.

下面來看半正則理想及其包絡(luò)的一些性質(zhì).

定理1.1設(shè)I是R的有限生成半正則理想,則I是GV-理想當(dāng)且僅當(dāng)I-1＝R.

定理1.2設(shè)I是R的半正則理想,則Iw＝R當(dāng)且僅當(dāng)It＝R.

證明設(shè)It＝R.則有I的有限生成子理想B,使得1∈Bv.于是有B-1＝R.不妨設(shè)B就是半正則理想,由定理1.1知,B∈GV（R）.從而有R＝Bw?Iw?R,即有Iw＝R.反之顯然成立.

引理1.31）設(shè)I,J是環(huán)R的半正則分式理想,則（IJ）w＝（IJw）w＝（IwJw）w；

2）設(shè)I是R的真w-理想,則存在R的極大w-理想m,使得I?m.因此,R一定有極大w-理想,且極大w-理想都是素理想；

3）設(shè)m是R的半正則素理想,則m是極大w-理想當(dāng)且僅當(dāng)m是極大t-理想.

證明1）、2）驗(yàn)證是常規(guī)的.

4）設(shè)m是極大t-理想,若m不是極大w-理想,則存在R的極大w-理想p,使得m?p.于是pt＝R,由于p是半正則的,由定理1.2,pw＝R,矛盾.

反之,設(shè)m是極大w-理想.若m不是極大t-理想,則mt＝R,有mw＝R,矛盾.

為了得到Q0-SM環(huán)的定義,需先回顧一下R的有限型模的相關(guān)概念.

定義1.4設(shè)f:M→N是R-模同態(tài),若對(duì)R的任何極大w-理想m,fm:Mm→Nm是單同態(tài)（滿同態(tài)或同構(gòu)）,則f稱為w-單同態(tài)（w-滿同態(tài)或w-同構(gòu)）.

定理1.5設(shè)M是R-模,若存在有限生成自由模F及w-滿同態(tài)g:F→M,則M稱為有限型的R-模.

命題1.6設(shè)M是R-模.

1）M是有限型的當(dāng)且僅當(dāng)存在M的有限生成子模B,使得對(duì)R的任何極大w-理想m,Mm＝Bm.

2）若M是GV-無撓模,則M是有限型的當(dāng)且僅當(dāng)存在M的有限生成子模B,使得Mw＝Bw,從而M是有限型的當(dāng)且僅當(dāng)Mw是有限型的.

相應(yīng)可以給出t-有限型,v-有限型的概念.Q0（R）是GV-無撓模,故R的分式理想都是GV-無撓模.若R的一個(gè)分式理想A是t-有限型的,當(dāng)且僅當(dāng)存在A的有限生成子分式理想I,使得At＝It；若R的一個(gè)分式理想A是v-有限型的,當(dāng)且僅當(dāng)存在A的有限生成子分式理想I,使得Av＝Iv.

定理1.7設(shè)P是R的半正則非有限型的w-理想集合的極大元,則P是R的素w-理想.

證明顯然有P是w-理想且P≠R.對(duì)r,x∈R,rx∈P,若r,x?P,來推出矛盾.令B＝｛z∈R｜rz∈P｝.于是（P+rR）w與B是半正則w-理想且都真包含P,從而是有限型的.不妨設(shè)

這與假設(shè)矛盾,因此有P是素w-理想.

已知整環(huán)R是SM整環(huán)是指整環(huán)R滿足w-理想的升鏈條件,環(huán)R是SM環(huán)是指環(huán)R滿足正則w-理想的升鏈條件,相應(yīng)地來定義弱Q0-SM環(huán).

定義1.8環(huán)R稱為弱Q0-SM環(huán)是指R滿足半正則w-理想的升鏈條件.

定理1.9對(duì)環(huán)R,以下等價(jià):

1）R是弱Q0-SM環(huán)；

2）R的每一半正則w-理想是有限型的；

3）R的每一半正則w-理想的非空集合有極大元；

4）R的每一半正則素w-理想是有限型的；

5）R的每一半正則理想是有限型的.

證明1）?2） 設(shè)I是R的半正則w-理想,則存在I的有限生成子理想I0,使得ann（I0）＝0,故I0是I的有限生成半正則子理想.若I不是有限型的,可取0≠x1∈I-I0,及n＞1時(shí),

是R的半正則w-理想升鏈,但不是穩(wěn)定的,矛盾.故I是有限型的.

2）?3） 設(shè)Γ是R的半正則w-理想的非空集合.設(shè)｛Ii｝是Γ中的一個(gè)全序子集.令I(lǐng)＝∪iIi,容易驗(yàn)證I是R的半正則w-理想.由已知I是有限型的,由命題1.6知,存在I的有限生成子理想I0＝（a1,a2,…,an）,使得Iw＝（I0）w.由于Ii是全序子集,存在Ik∈｛Ii｝,使得I0?Ik,故I?Iw＝（I0）w?（Ik）w＝Ik?Iw＝I,因此有I＝Ik.于是I是該全序子集的上界.由Zorn引理知,Γ中有極大元.

3）?1） 設(shè)I1?I2?…?In?…是R的半正則w-理想升鏈.由條件,Γ＝｛In｝中有極大元素In.于是當(dāng)m≥n時(shí),Im＝In.因此,該鏈?zhǔn)欠€(wěn)定的,故R是弱Q0-SM環(huán).

2）?4） 顯然.

4）?2） 若不然,則有R的半正則非有限型的w-理想的集合S是非空集.由Zorn引理知,S中有極大元,設(shè)為p,由定理1.7知,p是素w-理想,從而p是有限型的,矛盾.

2）?5） 由命題1.6的2）即知.

定理1.10設(shè)環(huán)R,以下等價(jià):

1）R是弱Q0-SM環(huán)；

2）對(duì)每個(gè)有限生成半正則理想Im的升鏈,存在正整數(shù)n,k≥n時(shí),有（Ik）w＝（In）w.

證明1）?2） ｛Im｝是有限生成半正則理想升鏈,則｛（Im）w｝是半正則w-理想的升鏈,由于R是弱Q0-SM環(huán),故此升鏈穩(wěn)定,即存在正整數(shù)n,k≥n時(shí),有（Ik）w＝（In）w.

2）?1） 由定理1.9知,只需證R的半正則理想是有限型的.反證法,假設(shè)存在R的半正則理想I不是有限型的.設(shè)J1是I的有限生成半正則理想,則（J1）wIw,因此存在a2∈I-J1,使得J2＝J1+a2R是R的有限生成半正則理想,且（J1）w（J2）wIw.又存在a3∈I-J2,使得J3＝J2+a3R是R的有限生成半正則理想,且

依次類推,有一個(gè)升鏈｛（Jm）w｝,由2）知,存在正整數(shù)n,k≥n時(shí),有（Jk）w＝（Jn）w,與假設(shè)矛盾.故1）成立.

定義1.11環(huán)R稱為Q0-SM環(huán)是指R是弱Q0-SM環(huán)且若｛In｝是R的半正則v-理想的降鏈,∩In是半正則理想,則｛In｝有降鏈條件.

定義1.12環(huán)R稱為Q0-Mori環(huán)是指R滿足半正則v-理想的升鏈條件且若｛In｝是R的半正則v-理想的降鏈,∩In是半正則理想,則｛In｝有降鏈條件.

定理1.13Q0-SM環(huán)是Q0-Mori環(huán).

證明由半正則v-理想是半正則w-理想即知.

定理1.14若R是Q0-SM環(huán),則R的半正則分式理想是v-有限型的.

證明由定理1.13及文獻(xiàn)［6］定理2.5及定理2.7即知.

2 Q0-H環(huán)及Q0-TV環(huán)

已知SM整環(huán)是Mori整環(huán),Mori整環(huán)是TV整環(huán),TV整環(huán)是H整環(huán),本文相應(yīng)地定義了Q0-H環(huán),Q0-TV環(huán),并證明了此關(guān)系依然存在,并且對(duì)于Q0-SM環(huán)的討論,很多時(shí)候都會(huì)用到Q0-H環(huán),Q0-TV環(huán)的相關(guān)性質(zhì),故本文就Q0-H環(huán),Q0-TV環(huán)進(jìn)行了定義,并對(duì)他們進(jìn)行了淺顯的討論.證明了若R是Q0-TV環(huán),則R的半正則t-理想只包含在有限多個(gè)半正則極大w-理想中.若R是Q0-SM環(huán),則R的半正則理想只包含在有限多個(gè)半正則極大w-理想中.

定義2.1對(duì)環(huán)R的任何半正則理想I,只要I-1＝R,就有一個(gè)J∈GV（R）,使得J?I,則R稱為Q0-H環(huán).

定理2.2設(shè)R是交換環(huán),以下各條等價(jià):

1）R是Q0-H環(huán)；

2）R的每個(gè)半正則極大w-理想是v-理想；

3）設(shè)I是R的半正則理想,若I-1＝R,則Iw＝R.

證明1）?2） 設(shè)R是Q0-H環(huán),m是R的半正則極大w-理想,若mv＝R,則m-1＝R,于是有J∈GV（R）,使得J?m,這與m是w-理想矛盾,因此mv≠R,由m的極大性有mv＝m.

2）?3） 設(shè)I是R的半正則理想,若I-1＝R,則Iv＝R.若Iw≠R,由引理1.3知存在R的極大w-理想m,使得I?m,由條件Iv?mv＝m,矛盾.因此有Iw＝R.

3）?1） 顯然.

定義2.3若環(huán)R的半正則t-分式理想都是v-分式理想,則R稱為Q0-TV環(huán).

定理2.4Q0-TV環(huán)是Q0-H環(huán).

證明設(shè)R是Q0-TV環(huán),m是R的半正則極大w-理想,由引理1.3知m也是R的極大t-理想,因此m是v-理想,由定理2.2知,R是Q0-H環(huán).

引理2.5設(shè)I是R的半正則v-理想,｛Bi｝是R的一簇包含I的v-理想,則

定理2.6設(shè)R是Q0-TV環(huán),I是R的半正則t-理想,m是包含I的極大w-理想,設(shè)｛Bi｝是R的包含I,但不包含于m的半正則t-理想的集合,則∩iBim.

證明對(duì)任何B∈｛Bi｝,Bm,由定理2.4知,m是極大v-理想.故（m+B）v＝R,這推出m-1∩B-1＝R.選擇x∈m-1-R,對(duì)任何B∈｛Bi｝,x?B-1.由引理2.5,,故可取I的有限生成半正則理想I0,使得

定理2.7設(shè)R是Q0-TV環(huán),I是R的半正則t-理想,則I只包含在有限多個(gè)極大w-理想中.

證明設(shè)｛mi｝表示R的包含I的極大w-理想的集合.注意,每一mi是半正則理想.對(duì)任意i,令由定理2.6知,所有包含I但不包含于mi的t-理想的交不包含于mi,從而Timi,因此對(duì)任何i,Tmi.由于I?T,故對(duì)任何半正則極大w-理想m,Tm,于是有Tt＝R,從而1∈Tt.故存在有限多個(gè)T1,T2,…,Tn,使得

設(shè)對(duì)應(yīng)的極大w-理想為m1,m2,…,mn,則m1,m2,…,mn就是包含I的全部極大w-理想.事實(shí)上,若還有極大w-理想mj,使得I?mj,則Ti?mj,i＝1,2,…,n,因此?mj,矛盾.

定理2.8Q0-Mori環(huán)是Q0-TV環(huán).

證明若R是Q0-Mori環(huán),I是R的半正則t-分式理想,由參考文獻(xiàn)［6］定理2.5及2.7知,存在I的有限生成半正則分式理想J,使得Iv＝Jv有

I＝It?Iv＝Jv＝Jt?It＝I,

故I＝Iv,所以I是v-分式理想,故Q0-Mori環(huán)是Q0-TV環(huán).

定理2.9設(shè)R是Q0-TV環(huán),則R的半正則極大w-理想是半正則極大v-理想.

證明由引理1.3知.

定理2.10設(shè)R是Q0-Mori環(huán),則R的半正則極大w-理想是極大v-理想,且對(duì)R的任何半正則理想I,只有有限多個(gè)半正則極大w-理想包含I.

證明由定理2.8及定理2.9即知R的半正則極大w-理想是極大v-理想.

注意到包含I的半正則極大w-理想必然包含It,故包含I,It的半正則極大w-理想是一樣的.由定理2.7知,It只包含在有限多個(gè)極大w-理想中,故I只包含在有限多個(gè)半正則極大w-理想中.

推論2.11R是Q0-SM環(huán),則R的半正則極大w-理想是極大v-理想,且R的半正則理想只包含在有限多個(gè)半正則極大w-理想中.

證明 由定理1.13及定理2.10知.

3 Q0-SM環(huán)的w-全局變換環(huán)

設(shè)p是R的半正則素t-理想,稱

pn?pn-1?pn-2?…?p1＝p0＝p

為R中長(zhǎng)度為n的半正則素t-理想鏈,其中每個(gè)pi是R的半正則素t-理想,這樣的n的上確界稱為半正則素t-理想p的t-高度,記為t-htp＝n.且定義t-dim（R）＝sup｛t-htp｜p取遍R的所有半正則素t-理想｝.與整環(huán)的全局變換環(huán)相對(duì)應(yīng),來定義交換環(huán)的w-全局變換環(huán)Rw*.Rw*＝｛x∈Q0（R）｜存在R的半正則極大w-理想p1,p2,…,pn,使得p1p2…pnx?R｝.下面用w*-Max（R）來表示R的所有半正則極大w-理想的集合.對(duì)任何GV-無撓的Rw*-模B,用BW表示其作為Rw*-模的w-包絡(luò),以便與其作為R-模的w-包絡(luò)相區(qū)別.

定義3.1設(shè)R?T是環(huán)擴(kuò)張,其中T作為R-模是GV-無撓模.如果T作為R-模是w-模,即Tw＝T,則T叫做R上的w-linked擴(kuò)張.當(dāng)T?Q0（R）時(shí),也稱T是R的w-linked擴(kuò)環(huán).

引理3.2Rw*是R的w-linked擴(kuò)環(huán).

致謝四川師范大學(xué)研究生優(yōu)秀論文培育基金（校研字20131434）對(duì)本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.

［1］ Yin H Y,Wang F G,Zhu X S,et al.w-Modules over commutative rings［J］.J Korean Math Soc,2011,48（1）:207-222.

［2］ Rotman J J.An Introduction to Homological Algebra［M］.New York:Academic Press,1979.

［3］ Xie L,Wang F G,Yang T.On w-linked overrings［J］.J Math Research ＆ Exposition,2011,31（2）:337-346.

［4］Brewer J W,Costa D L,McCrimmon K.Seminormality and root closure in polynomial rings and algebraic curves［J］.J Algebra,1979,58:217-226.

［5］ Lucas T G.Characterizing when R［X］ is integrally closed［J］.Proc Am Math Soc,1989,105:861-867.

［6］ Lucas T G.The Mori property in rings with zero divisors［J］.Lecture Notes Pure Appl Math,2004,236:379-400.

［7］王芳貴.交換環(huán)與星型算子理論［M］.北京:科學(xué)出版社,2006.

［8］王芳貴.有限表現(xiàn)型模與w-凝聚環(huán)［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,33（1）:1-9.

［9］趙松泉,王芳貴,陳翰林.交換環(huán)上的w-模是平坦模［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,35（3）:364-366.

［10］ Huckaba J A.Commutative Rings with Zero Divisors［M］.New York:Marcel Dekker Inc,1979.

［11］ Dessagnes N.Intersections d'anneaux de Mori-exemples［J］.Port Math,1987,44:379-392.

［12］ Wang F G,McCasland R L.On strong Mori domains［J］.Pure Appl Algebra,1999,135:155-165.

［13］熊濤,王芳貴,胡葵.余純投射模與CPH環(huán)［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,36（2）:198-201.

［14］ Badawi A,Lucas T G.On phi-Mori rings［J］.Houston J Math,2006,32:1-32.

［15］ Chang G W.Strong Mori domains and the ring D［X］Nv［J］.J Pure Appl Algebra,2005,197:293-304.

［16］ Doering S,Lequain Y.Chains of prime ideals in polynomial rings［J］.J Algebra,1982,78:163-180.