趙曉龍+赫東鋒+張君安+林琳

摘要： 提出一種新型3自由度并聯(lián)機構(gòu)來解決LED分選機的高速分選問題。首先研究了該機構(gòu)自由度，該機構(gòu)能提供3個方向上的純轉(zhuǎn)動；再結(jié)合自由度性質(zhì)分析，建立了約束方程，進行運動學的正反解分析；使用Newton迭代的方法求得各位置點具體的運動參數(shù)，并分析了求解過程中的多解問題，及相關(guān)處理方法，最后給出相應的算例。通過實例分析數(shù)據(jù)可知：隨著執(zhí)行機構(gòu)目標位置的變化，能實時求解出個各曲柄相對于基座的轉(zhuǎn)角，且當2個曲柄轉(zhuǎn)角增大時，第3個曲柄轉(zhuǎn)角一定減小，符合實際的運動規(guī)律。

關(guān)鍵詞： 并聯(lián)機構(gòu)； 并聯(lián)機器人； 3自由度； 運動學分析

中圖分類號： TN911?34； TH112文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）08?0005?04

Kinematics research of new spherical parallel sorting mechanism

ZHAO Xiao?long1， HE Dong?feng1， ZHANG Jun?an1， LIN Lin2

（1. College of Mechanical and Electrical Engineering， Xian Technological University， Xian 710000， China；

2. Shenzhen Hi?Text of semiconductor equipment co.， Ltd， Shenzhen 518000， China）

Abstract： A new 3?DOF （degrees of freedom） parallel mechanism is proposed in this paper to solve the sorting problem of LED high?speed sorter. DOF of the parallel mechanism is studied first in this paper. The parallel mechanism can provide pure rotation in three directions. In combination with DOF properties analysis， a constraint equation is established to analyze the kinematics pros and cons solutions. The Newton iteration method is used to solve the motion parameters at each location point， and analyze the problem of multiple solutions and the related treatment methods in the actual motion control. The corresponding numerical examples are offered. The example analysis data shows that， with the change of executive body target position， the each crank turning angle relative to the base can be calculated， and when the turning angles of two cranks increase， the turning angle of the third crank must decreases. It is in line with the actual motion law.

Keywords： parallel mechanism； parallel robot； three degrees of freedom； kinematic analysis

目前，常用的分選機構(gòu)大多采用串聯(lián)方式，串聯(lián)機器人因其具有構(gòu)型簡單、工作空間大、操作性好、正向運動學易求解等優(yōu)點在工業(yè)得到了廣泛應用[1]，但針對LED分選機而言，高速，高穩(wěn)定性，高剛度是工業(yè)應用的必然要求。串聯(lián)機器人剛性差、存在誤差積累、剛度和負載驅(qū)動能力差等系列不足[2]，進一步制約了串聯(lián)機器人的工業(yè)應用，故提出一種并聯(lián)機構(gòu)（又稱并聯(lián)機器人）來解決LED分選機高速分選的問題。

并聯(lián)機構(gòu)的研究從提出，一直是一個研究熱點，比較著名的有Stewart機構(gòu)，Stewart機構(gòu)是用作飛行器仿真器的六自由度的并聯(lián)機構(gòu)[3]。在國內(nèi)，燕山大學黃真教授等于 1991 年研制出了我國第一臺6自由度并聯(lián)機器人[4]。3自由度并聯(lián)機器人是少自由度并聯(lián)機器人研究的主要對象，在現(xiàn)有的3自由度并聯(lián)機器人中，有著名的DELTA和STAR并聯(lián)機器人，3?RPS并聯(lián)機器人等。

本文提出的3?RSS?1?S并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單對稱，剛度大，且分支中不含移動副，便于使用維護。該并聯(lián)機構(gòu)具備提供純轉(zhuǎn)動、運動學較簡單、可直觀預測動平臺運動等特點，本文在分析其自由度性質(zhì)的基礎上，建立并求解其位姿矩陣方程，設計出了約束其三條運動支鏈曲柄相對基座轉(zhuǎn)角的運動學逆解模型；同時給出了針對該機構(gòu)的運動學正解方程，為推動此類機構(gòu)的應用起到了重要作用。

1機構(gòu)描述

如圖1所示。該并聯(lián)機構(gòu)可稱為3?RSS?1?S并聯(lián)機構(gòu)（S代表球鉸，R代表轉(zhuǎn)動副），它由3個對稱分布的支鏈和通過機構(gòu)中心的擺桿構(gòu)成。A1，A2，A3構(gòu)成此機構(gòu)的靜平臺，并且繞O點均勻分布，各點和O點連線，相互夾角為120°；B1，B2，B3構(gòu)成動平臺，其分布情況和靜平臺相同；（A1，C1，B1），（A2，C2，B2），（A3，C3，B3）三組支鏈分別與動平臺和靜平臺相連，三組支鏈長度，材料完全相同；機構(gòu)中間擺桿和動平臺固連。圖1中，A1，A2，A3點用轉(zhuǎn)動副連接，其他O，B1，B2，B3，C1，C2，C3各點用球鉸鏈連接。

圖1 并聯(lián)機構(gòu)簡圖

圖2 并聯(lián)機構(gòu)三維模型

2自由度分析

3?RSS?1?S并聯(lián)機構(gòu)的自由度可以通過空間機構(gòu)的自由度計算公式求解[5]。在三維空間中，如果有n個完全不受約束的構(gòu)件，任選其中一個作為參照物，每個物體都有6個自由度，則n個物體相對參照物共有6（n-1）個運動自由度；若將以上構(gòu)件用運動副連接起來，則他們每個構(gòu)件就有不同的約束數(shù)。所有的運動自由度減去所有的約束數(shù)，就能得到所求空間機構(gòu)的自由度。[F0=6(n-1)-i=1nui-M] （1）

式中：n為構(gòu)件的個數(shù)；[ui]為各運動副的約束數(shù)目； [F0]為總的自由度數(shù)；M為冗余自由度。由圖1得：該機構(gòu)有3個轉(zhuǎn)動副，有7個球鉸，由于[BiCi]（i=1，2，3）兩端都是球鉸，[BiCi]桿各有一個繞自身轉(zhuǎn)動的冗余自由度，[n=8]，[F0=6×(8-1)-(3×5+7×3)-3=3]。

綜上所述，該機構(gòu)具有3個空間自由度，分別是繞x軸轉(zhuǎn)動，繞y軸轉(zhuǎn)動，繞z軸轉(zhuǎn)動。

3 運動學正反解分析

首先建立靜坐標系xyz和動坐標系x′y′z′，由于動平臺繞靜平臺在幾何中心O點轉(zhuǎn)動，為計算方便，將動坐標系建立在靜平臺上，與靜坐標系重合，如圖3所示。過靜平臺幾何中心O點和A3點的方向設為x軸的正方向，過靜平臺幾何中心O點指向動平臺幾何中心O′點的方向設為z軸的正方向，根據(jù)右手法則確定y軸的正方向。

圖3 3?RSS?1?S并聯(lián)機構(gòu)空間坐標系

3.1運動學反解

設靜平臺O點到[Ai]點的距離為R，動平臺O′點到[Bi]點的距離為r，動平臺中心到靜平臺中心的距離OO′為h，[BiCi]桿的長度為Lbc，[AiCi]桿的長度為Lac。分別可以得到[Ai]點相對靜坐標系的位置坐標，[Bi]點相對于動坐標系的位置坐標。

[A1=[-12R,32R,0]T,A2=[-12R,-32R,0]TA3=[R,0,0]T]（2）

[B1=[-12r,32r,h]T, B2=[-12r,-32r,h]T, B3=[r,0,h]T] （3）

[AiCi]桿在確定平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，設初始位置[AiCi]桿和靜平臺夾角為[θi]，可得到[Ci]點相對于靜坐標系的位置坐標。

[C1=[-12(R+Lac×cosθ1),32(R+Lac×cosθ1),Lac×sinθ1]T][C2=[-12(R+Lac×cosθ2),-32(R+Lac×cosθ2),Lac×sinθ2]TC3=R+Lac×cosθ3,0, Lac×sinθ3T]（4）

通過齊次變換矩陣來描述[Bi]相對靜坐標系的空間位置[6]。然后依次變換可最終推導出末端執(zhí)行器相對于基坐標系的位姿，從而建立機器人的運動學方程：

[Rx,α=1000cosα-sinα0sinαcosαRy,β=cosβ0sinβ010-sinβ0cosβRz,γ=cosγ-sinγ0sinγcosγ0001]（5）

式中：[R(x,α)]為動坐標系相對固定坐標系x軸旋轉(zhuǎn)[α]角的旋轉(zhuǎn)矩陣；[R(y,β)]為動坐標系相對固定坐標系y軸旋轉(zhuǎn)[β]角的旋轉(zhuǎn)矩陣；[R(z,γ)]為動坐標系相對固定坐標系z軸旋轉(zhuǎn)[γ]角的旋轉(zhuǎn)矩陣。則動平臺在空間中的姿態(tài)[Rot]表示為：

[Rot=R(z,γ)R(y,β)R(x,α)]（6）

對于并聯(lián)機構(gòu)動平臺來說，每一個位置對應一組確定的[α,β,γ]，故用齊次變換矩陣的方法能表示動平臺的運動姿態(tài)。由此得到動平臺上各點相對靜坐標系的位置坐標：

[Bi′=Rot×Bi] （7）

由于[BiCi]為初始桿長，不發(fā)生變化，且[AiCi]桿和靜平臺的夾角[θi]，則

[L=Bi′Ci=Ci-Bi′]（8）

結(jié)合式（8）建立方程并化簡為：

[k1icosθi+k2isinθi+k3i=0]（9）

對于已知定平臺姿態(tài)[(α,β,γ)]，則式（9）可求出3個驅(qū)動支鏈各曲柄相對基座旋轉(zhuǎn)的角度。

3.2運動學正解

并聯(lián)機構(gòu)的運動學正解一般較其反解要困難得多，特別是當運動鏈增加時，并聯(lián)機構(gòu)的運動學正解很難得到封閉解，這往往會給并聯(lián)機構(gòu)的進一步研究帶來困難。

由于知道3個驅(qū)動支鏈各曲柄相對基座旋轉(zhuǎn)的角度，可得動平臺[Ci]點的坐標，由式（4）可得：

[C1=[C1xC1yC1z]T , C2=C2xC2yC2zT，C3=[C3xC3yC3z]T] （10）

由式（5），式（6）可得：

[Rot=Rz,γRy,βRx,α=n1o1a1n2o2a2n3o3a3] （11）

式中：[α]，[β]，[γ]為正解所要求的未知變量。

由式（3）、式（7）得到[Bi′]各位置點的坐標如下：

[B1′T=m1p1q1T，B2′=m2p2q2T，B3′=[m3p3q3]T] （12）

將式（10）、式（12）代入式（8）可得式（13）~式（15）三個方程：

[k11n1+k12o1+k13a1+k14n2+k15o2+k16a2+k17n3+k18o3+k19a3-k1=0]（13）

式中：[k1=C21x+C21y+C21z+r2+h2-L2bc,k11=-C1xr,k12=][k18=3C1zr,k19=2C1zh。]

[k21n1+k22o1+k23a1+k24n2+k25o2+k26a2+k27n3+k28o3+k29a3-k2=0] （14）

式中：[k2=C221x+C22y+C22z+r2+h2-L2bc,k21=-C2xr,k22=][-3C2xr,k23=2C2xh,k24=-C2yr,k25=-3C2yr,][k26=2C2yh]，

[k27=-C2zr,k28=-3C2zr,k29=2C2zh。][k31n1+k33a1+k34n2+k36a2+k37n3+k39a3-k3=0] （15）

式中：[k3=C231x+C23y+C23z+r2+h2-L2bc,k31=2C3xr,k33=2C3xh,]

[k34=2C3yr,k36=2C3yhk37=2C3zr,k39=2C3zh。]

共有9個未知數(shù)，再補充6個約束方程：

[n12+n22+n32=1o12+o22+o32=1n1o1+n2o2+n3o3=0a1=n2o3-n3o2a2=n3o1-n1o3a3=n1o2-n2o1]（16）

由式（13）~式（16）可以最終求解式（11）中的未知量。

4反解控制算法與實例計算

針對式（8），由于[sinθ]（或者[cosθ]）的周期是[2π]，在一個周期內(nèi)，[sinθ]（或者[cosθ]）可以出現(xiàn)2次相同值，所以方程就可能出現(xiàn)2個相同的解，或者2個不同的解，則反解能得到2組不同的解。

對于機構(gòu)而言，一個解就是一個運動狀態(tài)，考慮到實際控制中輸入惟一性，需對方程的根進行選擇。常用的方法就是限制機構(gòu)的運行范圍，設置機械限位，在兩個限位之間的空間內(nèi)運動，能滿足實際需要的運動狀態(tài)。在方程的求解中，常用的方法主要有數(shù)值法和解析法[7]，在數(shù)值法求解中，選擇合適的求解方法，對于方程的收斂速度有很大的影響。

本文選擇用Newton迭代法計算求解，計算該并聯(lián)機構(gòu)運行空間中其中一個位置流程圖，如圖4所示。

結(jié)合表1所給系數(shù)，應用Newton迭代法算法求解，當繞z軸不發(fā)生轉(zhuǎn)動[(γ=0)]時，給定一組確定的角度[α]、[β]時，所求的各曲柄的轉(zhuǎn)角（即電機的轉(zhuǎn)角）見表2。

表1 RSS?1?S并聯(lián)機構(gòu)實例參數(shù)mm

圖4 Newton迭代法算法流程圖

表2 三電機與基座平臺的夾角 （°）

5結(jié)語

本文針對3?RSS?1?S這一新構(gòu)型，分析其自由度，該機構(gòu)能實現(xiàn)直角坐標內(nèi)繞三個軸的轉(zhuǎn)動，并建立其運動學逆解數(shù)學模型。應用齊次變換矩陣的方法來描述空間坐標下點的位置，研究該機構(gòu)的正反解方法，這種算法所建立方程的復雜度低，計算效率高。同時針對一個給定幾何參數(shù)的3?RSS?1?S并聯(lián)機構(gòu)，進行逆解的求解運算分析。通過實例計算表明：本文所建立算法方程能快速、準確的計算出各曲柄相對基座的轉(zhuǎn)角；由實例分析所得數(shù)據(jù)可看出，隨著執(zhí)行機構(gòu)目標位置的變化，能實時求解出個各曲柄相對基座轉(zhuǎn)角，且當2個曲柄轉(zhuǎn)角增大時，第3個曲柄轉(zhuǎn)角一定減小，符合實際的運動規(guī)律。

參考文獻

[1] 黃真，孔令富，方躍法.并聯(lián)機器人機構(gòu)學理論及控制[M].北京：機械工業(yè)出版社，1997.

[2] 張宏濤.3?3UPSIS并聯(lián)機器人運動學分析與仿真[D].無錫：江南大學，2008.

[3] 李琨杰.3?PRS并聯(lián)結(jié)構(gòu)主軸運動學研究與仿真[D].太原：太原理工大學，2007.

[4] 周國義，謝明紅，孫友生，等.6自由度解耦機器人運動學逆解優(yōu)化的研究[J].機電產(chǎn)品開發(fā)與創(chuàng)新，2009，22（5）：21?23.

[5] 李禽，黃茂林，黃勇剛.基于Matlab的并聯(lián)機床逆解可視化仿真[J].機械設計與研究，2006（z1）：202?204.

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[8] 王維新.兩輪差速機器人運動學分析和控制研究[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2012，35（10）：93?96.

綜上所述，該機構(gòu)具有3個空間自由度，分別是繞x軸轉(zhuǎn)動，繞y軸轉(zhuǎn)動，繞z軸轉(zhuǎn)動。

3 運動學正反解分析

首先建立靜坐標系xyz和動坐標系x′y′z′，由于動平臺繞靜平臺在幾何中心O點轉(zhuǎn)動，為計算方便，將動坐標系建立在靜平臺上，與靜坐標系重合，如圖3所示。過靜平臺幾何中心O點和A3點的方向設為x軸的正方向，過靜平臺幾何中心O點指向動平臺幾何中心O′點的方向設為z軸的正方向，根據(jù)右手法則確定y軸的正方向。

圖3 3?RSS?1?S并聯(lián)機構(gòu)空間坐標系

3.1運動學反解

設靜平臺O點到[Ai]點的距離為R，動平臺O′點到[Bi]點的距離為r，動平臺中心到靜平臺中心的距離OO′為h，[BiCi]桿的長度為Lbc，[AiCi]桿的長度為Lac。分別可以得到[Ai]點相對靜坐標系的位置坐標，[Bi]點相對于動坐標系的位置坐標。

[A1=[-12R,32R,0]T,A2=[-12R,-32R,0]TA3=[R,0,0]T]（2）

[B1=[-12r,32r,h]T, B2=[-12r,-32r,h]T, B3=[r,0,h]T] （3）

[AiCi]桿在確定平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，設初始位置[AiCi]桿和靜平臺夾角為[θi]，可得到[Ci]點相對于靜坐標系的位置坐標。

[C1=[-12(R+Lac×cosθ1),32(R+Lac×cosθ1),Lac×sinθ1]T][C2=[-12(R+Lac×cosθ2),-32(R+Lac×cosθ2),Lac×sinθ2]TC3=R+Lac×cosθ3,0, Lac×sinθ3T]（4）

通過齊次變換矩陣來描述[Bi]相對靜坐標系的空間位置[6]。然后依次變換可最終推導出末端執(zhí)行器相對于基坐標系的位姿，從而建立機器人的運動學方程：

[Rx,α=1000cosα-sinα0sinαcosαRy,β=cosβ0sinβ010-sinβ0cosβRz,γ=cosγ-sinγ0sinγcosγ0001]（5）

式中：[R(x,α)]為動坐標系相對固定坐標系x軸旋轉(zhuǎn)[α]角的旋轉(zhuǎn)矩陣；[R(y,β)]為動坐標系相對固定坐標系y軸旋轉(zhuǎn)[β]角的旋轉(zhuǎn)矩陣；[R(z,γ)]為動坐標系相對固定坐標系z軸旋轉(zhuǎn)[γ]角的旋轉(zhuǎn)矩陣。則動平臺在空間中的姿態(tài)[Rot]表示為：

[Rot=R(z,γ)R(y,β)R(x,α)]（6）

對于并聯(lián)機構(gòu)動平臺來說，每一個位置對應一組確定的[α,β,γ]，故用齊次變換矩陣的方法能表示動平臺的運動姿態(tài)。由此得到動平臺上各點相對靜坐標系的位置坐標：

[Bi′=Rot×Bi] （7）

由于[BiCi]為初始桿長，不發(fā)生變化，且[AiCi]桿和靜平臺的夾角[θi]，則

[L=Bi′Ci=Ci-Bi′]（8）

結(jié)合式（8）建立方程并化簡為：

[k1icosθi+k2isinθi+k3i=0]（9）

對于已知定平臺姿態(tài)[(α,β,γ)]，則式（9）可求出3個驅(qū)動支鏈各曲柄相對基座旋轉(zhuǎn)的角度。

3.2運動學正解

并聯(lián)機構(gòu)的運動學正解一般較其反解要困難得多，特別是當運動鏈增加時，并聯(lián)機構(gòu)的運動學正解很難得到封閉解，這往往會給并聯(lián)機構(gòu)的進一步研究帶來困難。

由于知道3個驅(qū)動支鏈各曲柄相對基座旋轉(zhuǎn)的角度，可得動平臺[Ci]點的坐標，由式（4）可得：

[C1=[C1xC1yC1z]T , C2=C2xC2yC2zT，C3=[C3xC3yC3z]T] （10）

由式（5），式（6）可得：

[Rot=Rz,γRy,βRx,α=n1o1a1n2o2a2n3o3a3] （11）

式中：[α]，[β]，[γ]為正解所要求的未知變量。

由式（3）、式（7）得到[Bi′]各位置點的坐標如下：

[B1′T=m1p1q1T，B2′=m2p2q2T，B3′=[m3p3q3]T] （12）

將式（10）、式（12）代入式（8）可得式（13）~式（15）三個方程：

[k11n1+k12o1+k13a1+k14n2+k15o2+k16a2+k17n3+k18o3+k19a3-k1=0]（13）

式中：[k1=C21x+C21y+C21z+r2+h2-L2bc,k11=-C1xr,k12=][k18=3C1zr,k19=2C1zh。]

[k21n1+k22o1+k23a1+k24n2+k25o2+k26a2+k27n3+k28o3+k29a3-k2=0] （14）

式中：[k2=C221x+C22y+C22z+r2+h2-L2bc,k21=-C2xr,k22=][-3C2xr,k23=2C2xh,k24=-C2yr,k25=-3C2yr,][k26=2C2yh]，

[k27=-C2zr,k28=-3C2zr,k29=2C2zh。][k31n1+k33a1+k34n2+k36a2+k37n3+k39a3-k3=0] （15）

式中：[k3=C231x+C23y+C23z+r2+h2-L2bc,k31=2C3xr,k33=2C3xh,]

[k34=2C3yr,k36=2C3yhk37=2C3zr,k39=2C3zh。]

共有9個未知數(shù)，再補充6個約束方程：

[n12+n22+n32=1o12+o22+o32=1n1o1+n2o2+n3o3=0a1=n2o3-n3o2a2=n3o1-n1o3a3=n1o2-n2o1]（16）

由式（13）~式（16）可以最終求解式（11）中的未知量。

4反解控制算法與實例計算

針對式（8），由于[sinθ]（或者[cosθ]）的周期是[2π]，在一個周期內(nèi)，[sinθ]（或者[cosθ]）可以出現(xiàn)2次相同值，所以方程就可能出現(xiàn)2個相同的解，或者2個不同的解，則反解能得到2組不同的解。

對于機構(gòu)而言，一個解就是一個運動狀態(tài)，考慮到實際控制中輸入惟一性，需對方程的根進行選擇。常用的方法就是限制機構(gòu)的運行范圍，設置機械限位，在兩個限位之間的空間內(nèi)運動，能滿足實際需要的運動狀態(tài)。在方程的求解中，常用的方法主要有數(shù)值法和解析法[7]，在數(shù)值法求解中，選擇合適的求解方法，對于方程的收斂速度有很大的影響。

本文選擇用Newton迭代法計算求解，計算該并聯(lián)機構(gòu)運行空間中其中一個位置流程圖，如圖4所示。

結(jié)合表1所給系數(shù)，應用Newton迭代法算法求解，當繞z軸不發(fā)生轉(zhuǎn)動[(γ=0)]時，給定一組確定的角度[α]、[β]時，所求的各曲柄的轉(zhuǎn)角（即電機的轉(zhuǎn)角）見表2。

表1 RSS?1?S并聯(lián)機構(gòu)實例參數(shù)mm

圖4 Newton迭代法算法流程圖

表2 三電機與基座平臺的夾角 （°）

5結(jié)語

本文針對3?RSS?1?S這一新構(gòu)型，分析其自由度，該機構(gòu)能實現(xiàn)直角坐標內(nèi)繞三個軸的轉(zhuǎn)動，并建立其運動學逆解數(shù)學模型。應用齊次變換矩陣的方法來描述空間坐標下點的位置，研究該機構(gòu)的正反解方法，這種算法所建立方程的復雜度低，計算效率高。同時針對一個給定幾何參數(shù)的3?RSS?1?S并聯(lián)機構(gòu)，進行逆解的求解運算分析。通過實例計算表明：本文所建立算法方程能快速、準確的計算出各曲柄相對基座的轉(zhuǎn)角；由實例分析所得數(shù)據(jù)可看出，隨著執(zhí)行機構(gòu)目標位置的變化，能實時求解出個各曲柄相對基座轉(zhuǎn)角，且當2個曲柄轉(zhuǎn)角增大時，第3個曲柄轉(zhuǎn)角一定減小，符合實際的運動規(guī)律。

參考文獻

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綜上所述，該機構(gòu)具有3個空間自由度，分別是繞x軸轉(zhuǎn)動，繞y軸轉(zhuǎn)動，繞z軸轉(zhuǎn)動。

3 運動學正反解分析

首先建立靜坐標系xyz和動坐標系x′y′z′，由于動平臺繞靜平臺在幾何中心O點轉(zhuǎn)動，為計算方便，將動坐標系建立在靜平臺上，與靜坐標系重合，如圖3所示。過靜平臺幾何中心O點和A3點的方向設為x軸的正方向，過靜平臺幾何中心O點指向動平臺幾何中心O′點的方向設為z軸的正方向，根據(jù)右手法則確定y軸的正方向。

圖3 3?RSS?1?S并聯(lián)機構(gòu)空間坐標系

3.1運動學反解

設靜平臺O點到[Ai]點的距離為R，動平臺O′點到[Bi]點的距離為r，動平臺中心到靜平臺中心的距離OO′為h，[BiCi]桿的長度為Lbc，[AiCi]桿的長度為Lac。分別可以得到[Ai]點相對靜坐標系的位置坐標，[Bi]點相對于動坐標系的位置坐標。

[A1=[-12R,32R,0]T,A2=[-12R,-32R,0]TA3=[R,0,0]T]（2）

[B1=[-12r,32r,h]T, B2=[-12r,-32r,h]T, B3=[r,0,h]T] （3）

[AiCi]桿在確定平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，設初始位置[AiCi]桿和靜平臺夾角為[θi]，可得到[Ci]點相對于靜坐標系的位置坐標。

[C1=[-12(R+Lac×cosθ1),32(R+Lac×cosθ1),Lac×sinθ1]T][C2=[-12(R+Lac×cosθ2),-32(R+Lac×cosθ2),Lac×sinθ2]TC3=R+Lac×cosθ3,0, Lac×sinθ3T]（4）

通過齊次變換矩陣來描述[Bi]相對靜坐標系的空間位置[6]。然后依次變換可最終推導出末端執(zhí)行器相對于基坐標系的位姿，從而建立機器人的運動學方程：

[Rx,α=1000cosα-sinα0sinαcosαRy,β=cosβ0sinβ010-sinβ0cosβRz,γ=cosγ-sinγ0sinγcosγ0001]（5）

式中：[R(x,α)]為動坐標系相對固定坐標系x軸旋轉(zhuǎn)[α]角的旋轉(zhuǎn)矩陣；[R(y,β)]為動坐標系相對固定坐標系y軸旋轉(zhuǎn)[β]角的旋轉(zhuǎn)矩陣；[R(z,γ)]為動坐標系相對固定坐標系z軸旋轉(zhuǎn)[γ]角的旋轉(zhuǎn)矩陣。則動平臺在空間中的姿態(tài)[Rot]表示為：

[Rot=R(z,γ)R(y,β)R(x,α)]（6）

對于并聯(lián)機構(gòu)動平臺來說，每一個位置對應一組確定的[α,β,γ]，故用齊次變換矩陣的方法能表示動平臺的運動姿態(tài)。由此得到動平臺上各點相對靜坐標系的位置坐標：

[Bi′=Rot×Bi] （7）

由于[BiCi]為初始桿長，不發(fā)生變化，且[AiCi]桿和靜平臺的夾角[θi]，則

[L=Bi′Ci=Ci-Bi′]（8）

結(jié)合式（8）建立方程并化簡為：

[k1icosθi+k2isinθi+k3i=0]（9）

對于已知定平臺姿態(tài)[(α,β,γ)]，則式（9）可求出3個驅(qū)動支鏈各曲柄相對基座旋轉(zhuǎn)的角度。

3.2運動學正解

并聯(lián)機構(gòu)的運動學正解一般較其反解要困難得多，特別是當運動鏈增加時，并聯(lián)機構(gòu)的運動學正解很難得到封閉解，這往往會給并聯(lián)機構(gòu)的進一步研究帶來困難。

由于知道3個驅(qū)動支鏈各曲柄相對基座旋轉(zhuǎn)的角度，可得動平臺[Ci]點的坐標，由式（4）可得：

[C1=[C1xC1yC1z]T , C2=C2xC2yC2zT，C3=[C3xC3yC3z]T] （10）

由式（5），式（6）可得：

[Rot=Rz,γRy,βRx,α=n1o1a1n2o2a2n3o3a3] （11）

式中：[α]，[β]，[γ]為正解所要求的未知變量。

由式（3）、式（7）得到[Bi′]各位置點的坐標如下：

[B1′T=m1p1q1T，B2′=m2p2q2T，B3′=[m3p3q3]T] （12）

將式（10）、式（12）代入式（8）可得式（13）~式（15）三個方程：

[k11n1+k12o1+k13a1+k14n2+k15o2+k16a2+k17n3+k18o3+k19a3-k1=0]（13）

式中：[k1=C21x+C21y+C21z+r2+h2-L2bc,k11=-C1xr,k12=][k18=3C1zr,k19=2C1zh。]

[k21n1+k22o1+k23a1+k24n2+k25o2+k26a2+k27n3+k28o3+k29a3-k2=0] （14）

式中：[k2=C221x+C22y+C22z+r2+h2-L2bc,k21=-C2xr,k22=][-3C2xr,k23=2C2xh,k24=-C2yr,k25=-3C2yr,][k26=2C2yh]，

[k27=-C2zr,k28=-3C2zr,k29=2C2zh。][k31n1+k33a1+k34n2+k36a2+k37n3+k39a3-k3=0] （15）

式中：[k3=C231x+C23y+C23z+r2+h2-L2bc,k31=2C3xr,k33=2C3xh,]

[k34=2C3yr,k36=2C3yhk37=2C3zr,k39=2C3zh。]

共有9個未知數(shù)，再補充6個約束方程：

[n12+n22+n32=1o12+o22+o32=1n1o1+n2o2+n3o3=0a1=n2o3-n3o2a2=n3o1-n1o3a3=n1o2-n2o1]（16）

由式（13）~式（16）可以最終求解式（11）中的未知量。

4反解控制算法與實例計算

針對式（8），由于[sinθ]（或者[cosθ]）的周期是[2π]，在一個周期內(nèi)，[sinθ]（或者[cosθ]）可以出現(xiàn)2次相同值，所以方程就可能出現(xiàn)2個相同的解，或者2個不同的解，則反解能得到2組不同的解。

對于機構(gòu)而言，一個解就是一個運動狀態(tài)，考慮到實際控制中輸入惟一性，需對方程的根進行選擇。常用的方法就是限制機構(gòu)的運行范圍，設置機械限位，在兩個限位之間的空間內(nèi)運動，能滿足實際需要的運動狀態(tài)。在方程的求解中，常用的方法主要有數(shù)值法和解析法[7]，在數(shù)值法求解中，選擇合適的求解方法，對于方程的收斂速度有很大的影響。

本文選擇用Newton迭代法計算求解，計算該并聯(lián)機構(gòu)運行空間中其中一個位置流程圖，如圖4所示。

結(jié)合表1所給系數(shù)，應用Newton迭代法算法求解，當繞z軸不發(fā)生轉(zhuǎn)動[(γ=0)]時，給定一組確定的角度[α]、[β]時，所求的各曲柄的轉(zhuǎn)角（即電機的轉(zhuǎn)角）見表2。

表1 RSS?1?S并聯(lián)機構(gòu)實例參數(shù)mm

圖4 Newton迭代法算法流程圖

表2 三電機與基座平臺的夾角 （°）

5結(jié)語

本文針對3?RSS?1?S這一新構(gòu)型，分析其自由度，該機構(gòu)能實現(xiàn)直角坐標內(nèi)繞三個軸的轉(zhuǎn)動，并建立其運動學逆解數(shù)學模型。應用齊次變換矩陣的方法來描述空間坐標下點的位置，研究該機構(gòu)的正反解方法，這種算法所建立方程的復雜度低，計算效率高。同時針對一個給定幾何參數(shù)的3?RSS?1?S并聯(lián)機構(gòu)，進行逆解的求解運算分析。通過實例計算表明：本文所建立算法方程能快速、準確的計算出各曲柄相對基座的轉(zhuǎn)角；由實例分析所得數(shù)據(jù)可看出，隨著執(zhí)行機構(gòu)目標位置的變化，能實時求解出個各曲柄相對基座轉(zhuǎn)角，且當2個曲柄轉(zhuǎn)角增大時，第3個曲柄轉(zhuǎn)角一定減小，符合實際的運動規(guī)律。

參考文獻

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