劉勝林

對(duì)問(wèn)題進(jìn)行多角度、全方位的分析，探究通性通法，可以拓展學(xué)生的思路，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新與探究的意識(shí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.二元函數(shù)的最值問(wèn)題歷來(lái)是高考的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn).下面是本人在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中遇到的一道試題：

已知x，y∈R，則（x+y）2+（x-■-1）2的最小值為

A.■ B.■ C.■ D.2■

現(xiàn)從多個(gè)角度進(jìn)行分析與歸納，充分挖掘試題的價(jià)值與內(nèi)涵，得到該題的三種不同解法，頗感受益.現(xiàn)整理出來(lái)，與大家分享.

一、轉(zhuǎn)換視角——函數(shù)法

考慮到目標(biāo)代數(shù)式中含有兩個(gè)變?cè)?，我們不妨將其中一個(gè)變?cè)獂設(shè)為主元，另一個(gè)變?cè)獃視為常量，使其相對(duì)“固定”，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)求解.

解法1 記f（x）=（x+y）2+（x-■-1）2，x∈R，則f ′（x）=2（x+y）+2（x-■-1）.令f ′（x）=0，得x=■.于是當(dāng)x<■時(shí)，f ′（x）<0；當(dāng)x>■時(shí)，f ′（x）>0，從而當(dāng)x=■時(shí)，fmin（x）= f（■）=■.又|y+■|=|y|+|■|≥2（當(dāng)且僅當(dāng) |y|=1時(shí)取等號(hào)），于是有y+■≥2或y+■≤-2，即1+y+■≥3或1+y+■≤-1.所以（y+■+1）2≥1，即■≥■（當(dāng)且僅當(dāng)y=-1時(shí)取等號(hào)）.故當(dāng)且僅當(dāng)y=-1且x=■時(shí)，[（x+y）2+（x-■-1）2]min=■.選B.

小結(jié) 通過(guò)轉(zhuǎn)換視角，我們將二元（多元）最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一變?cè)暮瘮?shù)最值問(wèn)題來(lái)求解，即將其中一個(gè)變?cè)暈橹髟溆嗟淖冊(cè)暈檩o元，這是我們處理二元（多元）最值問(wèn)題的常見解題思路.

二、轉(zhuǎn)化——聯(lián)系均值不等式

通過(guò)對(duì)目標(biāo)代數(shù)式結(jié)構(gòu)形式上的特征——平方和進(jìn)行分析，且x+y與x-■-1中x的系數(shù)相同，我們聯(lián)想到重要均值不等式■≥（■）2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)），可對(duì)目標(biāo)代數(shù)式作適當(dāng)?shù)淖冃魏?，利用不等式?lái)求解.

解法2 據(jù)題意有（x+y）2+（x-■-1）2=（x+y）2+（■+1-x）2≥■=■（當(dāng)且僅當(dāng)x+y=■+1-x時(shí)取等號(hào)）.由|y+■|=|y|+ |■|≥2（當(dāng)且僅當(dāng) |y|=1時(shí)取等號(hào)），得y+■≥2或y+■≤-2，即1+y+■≥3或1+y+■≤-1.于是有（y+■+1）2≥1，即■≥■（當(dāng)且僅當(dāng)y=-1時(shí)取等號(hào)）.

故（x+y）2+（x-■-1）2≥■≥■（當(dāng)且僅當(dāng)x=■且y=-1時(shí)取等號(hào)）.選B.

小結(jié) 著重于目標(biāo)代數(shù)式結(jié)構(gòu)形式上的特征分析，探究其本質(zhì)，是問(wèn)題求解的著眼點(diǎn).通過(guò)對(duì)目標(biāo)代數(shù)式的適當(dāng)變形后應(yīng)用均值不等式，我們很好地實(shí)現(xiàn)了變?cè)南麥p，降低了問(wèn)題求解的難度.但值得注意的是，在兩次使用基本不等式的過(guò)程中，只有當(dāng)?shù)忍?hào)同時(shí)成立時(shí)，最終才能取到最值.

三、數(shù)形結(jié)合——幾何法

依據(jù)目標(biāo)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征——平方和，聯(lián)想到平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，于是我們可以利用目標(biāo)代數(shù)式的幾何意義，巧用數(shù)形結(jié)合來(lái)處理.

解法3 據(jù)題意易知（x+y）2+（x-■-1）2可看成平面內(nèi)A（x，x-1）、B（-y，■）兩點(diǎn)間距離的平方.由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可知點(diǎn)A在直線y=x-1上，點(diǎn)B在曲線g（x）=-■上.如右圖所示，由直線y=x-1與函數(shù)g（x）=-■的圖像間的位置關(guān)系，可知當(dāng)l0∥l且與曲線g（x）相切時(shí)，切點(diǎn)P到直線y=x-1的距離d為A、B兩點(diǎn)間距離的最小值.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），則g′（x0）=1，即■=1.由圖可知x0>0，所以x0=1，y0=-1，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1）.所以d=■=■，從而有d2=■，即[（x+y）2+（x-■-1）2]min=■.選B.

小結(jié) 利用目標(biāo)代數(shù)式的幾何意義，以形解數(shù)，這是二元（多元）最值問(wèn)題的有效處理手段.解法3直觀形象、簡(jiǎn)捷高效，值得提倡與掌握.因此，同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的復(fù)習(xí)中要多注意這方面的訓(xùn)練與培養(yǎng).

通過(guò)對(duì)以上具有較強(qiáng)示范性和代表性的問(wèn)題進(jìn)行多角度的嘗試與探究，我們看到在求解二元（多元）最值問(wèn)題中，抓住題設(shè)條件及目標(biāo)式進(jìn)行形式結(jié)構(gòu)上的特征分析，適當(dāng)進(jìn)行變形，合理聯(lián)想與轉(zhuǎn)化，這些是解題的關(guān)鍵，從而歸納出函數(shù)法、不等式法、幾何法等基本策略.感悟方法的產(chǎn)生，既激發(fā)學(xué)生的興趣，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)與方法體系的不斷完善，又開發(fā)學(xué)生的潛力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新與探究精神，提高思維能力和解決問(wèn)題的能力，從而能夠更好地完善復(fù)習(xí)計(jì)劃.

（作者單位：湖北武穴市實(shí)驗(yàn)高中）

（責(zé)任編校/周峰）

對(duì)問(wèn)題進(jìn)行多角度、全方位的分析，探究通性通法，可以拓展學(xué)生的思路，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新與探究的意識(shí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.二元函數(shù)的最值問(wèn)題歷來(lái)是高考的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn).下面是本人在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中遇到的一道試題：

已知x，y∈R，則（x+y）2+（x-■-1）2的最小值為

A.■ B.■ C.■ D.2■

現(xiàn)從多個(gè)角度進(jìn)行分析與歸納，充分挖掘試題的價(jià)值與內(nèi)涵，得到該題的三種不同解法，頗感受益.現(xiàn)整理出來(lái)，與大家分享.

一、轉(zhuǎn)換視角——函數(shù)法

考慮到目標(biāo)代數(shù)式中含有兩個(gè)變?cè)覀儾环翆⑵渲幸粋€(gè)變?cè)獂設(shè)為主元，另一個(gè)變?cè)獃視為常量，使其相對(duì)“固定”，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)求解.

解法1 記f（x）=（x+y）2+（x-■-1）2，x∈R，則f ′（x）=2（x+y）+2（x-■-1）.令f ′（x）=0，得x=■.于是當(dāng)x<■時(shí)，f ′（x）<0；當(dāng)x>■時(shí)，f ′（x）>0，從而當(dāng)x=■時(shí)，fmin（x）= f（■）=■.又|y+■|=|y|+|■|≥2（當(dāng)且僅當(dāng) |y|=1時(shí)取等號(hào)），于是有y+■≥2或y+■≤-2，即1+y+■≥3或1+y+■≤-1.所以（y+■+1）2≥1，即■≥■（當(dāng)且僅當(dāng)y=-1時(shí)取等號(hào)）.故當(dāng)且僅當(dāng)y=-1且x=■時(shí)，[（x+y）2+（x-■-1）2]min=■.選B.

小結(jié) 通過(guò)轉(zhuǎn)換視角，我們將二元（多元）最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一變?cè)暮瘮?shù)最值問(wèn)題來(lái)求解，即將其中一個(gè)變?cè)暈橹髟?，其余的變?cè)暈檩o元，這是我們處理二元（多元）最值問(wèn)題的常見解題思路.

二、轉(zhuǎn)化——聯(lián)系均值不等式

通過(guò)對(duì)目標(biāo)代數(shù)式結(jié)構(gòu)形式上的特征——平方和進(jìn)行分析，且x+y與x-■-1中x的系數(shù)相同，我們聯(lián)想到重要均值不等式■≥（■）2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)），可對(duì)目標(biāo)代數(shù)式作適當(dāng)?shù)淖冃魏?，利用不等式?lái)求解.

解法2 據(jù)題意有（x+y）2+（x-■-1）2=（x+y）2+（■+1-x）2≥■=■（當(dāng)且僅當(dāng)x+y=■+1-x時(shí)取等號(hào)）.由|y+■|=|y|+ |■|≥2（當(dāng)且僅當(dāng) |y|=1時(shí)取等號(hào)），得y+■≥2或y+■≤-2，即1+y+■≥3或1+y+■≤-1.于是有（y+■+1）2≥1，即■≥■（當(dāng)且僅當(dāng)y=-1時(shí)取等號(hào)）.

故（x+y）2+（x-■-1）2≥■≥■（當(dāng)且僅當(dāng)x=■且y=-1時(shí)取等號(hào)）.選B.

小結(jié) 著重于目標(biāo)代數(shù)式結(jié)構(gòu)形式上的特征分析，探究其本質(zhì)，是問(wèn)題求解的著眼點(diǎn).通過(guò)對(duì)目標(biāo)代數(shù)式的適當(dāng)變形后應(yīng)用均值不等式，我們很好地實(shí)現(xiàn)了變?cè)南麥p，降低了問(wèn)題求解的難度.但值得注意的是，在兩次使用基本不等式的過(guò)程中，只有當(dāng)?shù)忍?hào)同時(shí)成立時(shí)，最終才能取到最值.

三、數(shù)形結(jié)合——幾何法

依據(jù)目標(biāo)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征——平方和，聯(lián)想到平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，于是我們可以利用目標(biāo)代數(shù)式的幾何意義，巧用數(shù)形結(jié)合來(lái)處理.

解法3 據(jù)題意易知（x+y）2+（x-■-1）2可看成平面內(nèi)A（x，x-1）、B（-y，■）兩點(diǎn)間距離的平方.由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可知點(diǎn)A在直線y=x-1上，點(diǎn)B在曲線g（x）=-■上.如右圖所示，由直線y=x-1與函數(shù)g（x）=-■的圖像間的位置關(guān)系，可知當(dāng)l0∥l且與曲線g（x）相切時(shí)，切點(diǎn)P到直線y=x-1的距離d為A、B兩點(diǎn)間距離的最小值.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），則g′（x0）=1，即■=1.由圖可知x0>0，所以x0=1，y0=-1，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1）.所以d=■=■，從而有d2=■，即[（x+y）2+（x-■-1）2]min=■.選B.

小結(jié) 利用目標(biāo)代數(shù)式的幾何意義，以形解數(shù)，這是二元（多元）最值問(wèn)題的有效處理手段.解法3直觀形象、簡(jiǎn)捷高效，值得提倡與掌握.因此，同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的復(fù)習(xí)中要多注意這方面的訓(xùn)練與培養(yǎng).

通過(guò)對(duì)以上具有較強(qiáng)示范性和代表性的問(wèn)題進(jìn)行多角度的嘗試與探究，我們看到在求解二元（多元）最值問(wèn)題中，抓住題設(shè)條件及目標(biāo)式進(jìn)行形式結(jié)構(gòu)上的特征分析，適當(dāng)進(jìn)行變形，合理聯(lián)想與轉(zhuǎn)化，這些是解題的關(guān)鍵，從而歸納出函數(shù)法、不等式法、幾何法等基本策略.感悟方法的產(chǎn)生，既激發(fā)學(xué)生的興趣，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)與方法體系的不斷完善，又開發(fā)學(xué)生的潛力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新與探究精神，提高思維能力和解決問(wèn)題的能力，從而能夠更好地完善復(fù)習(xí)計(jì)劃.

（作者單位：湖北武穴市實(shí)驗(yàn)高中）

（責(zé)任編校/周峰）

對(duì)問(wèn)題進(jìn)行多角度、全方位的分析，探究通性通法，可以拓展學(xué)生的思路，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新與探究的意識(shí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.二元函數(shù)的最值問(wèn)題歷來(lái)是高考的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn).下面是本人在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中遇到的一道試題：

已知x，y∈R，則（x+y）2+（x-■-1）2的最小值為

A.■ B.■ C.■ D.2■

現(xiàn)從多個(gè)角度進(jìn)行分析與歸納，充分挖掘試題的價(jià)值與內(nèi)涵，得到該題的三種不同解法，頗感受益.現(xiàn)整理出來(lái)，與大家分享.

一、轉(zhuǎn)換視角——函數(shù)法

考慮到目標(biāo)代數(shù)式中含有兩個(gè)變?cè)覀儾环翆⑵渲幸粋€(gè)變?cè)獂設(shè)為主元，另一個(gè)變?cè)獃視為常量，使其相對(duì)“固定”，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)求解.

解法1 記f（x）=（x+y）2+（x-■-1）2，x∈R，則f ′（x）=2（x+y）+2（x-■-1）.令f ′（x）=0，得x=■.于是當(dāng)x<■時(shí)，f ′（x）<0；當(dāng)x>■時(shí)，f ′（x）>0，從而當(dāng)x=■時(shí)，fmin（x）= f（■）=■.又|y+■|=|y|+|■|≥2（當(dāng)且僅當(dāng) |y|=1時(shí)取等號(hào)），于是有y+■≥2或y+■≤-2，即1+y+■≥3或1+y+■≤-1.所以（y+■+1）2≥1，即■≥■（當(dāng)且僅當(dāng)y=-1時(shí)取等號(hào)）.故當(dāng)且僅當(dāng)y=-1且x=■時(shí)，[（x+y）2+（x-■-1）2]min=■.選B.

小結(jié) 通過(guò)轉(zhuǎn)換視角，我們將二元（多元）最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一變?cè)暮瘮?shù)最值問(wèn)題來(lái)求解，即將其中一個(gè)變?cè)暈橹髟?，其余的變?cè)暈檩o元，這是我們處理二元（多元）最值問(wèn)題的常見解題思路.

二、轉(zhuǎn)化——聯(lián)系均值不等式

通過(guò)對(duì)目標(biāo)代數(shù)式結(jié)構(gòu)形式上的特征——平方和進(jìn)行分析，且x+y與x-■-1中x的系數(shù)相同，我們聯(lián)想到重要均值不等式■≥（■）2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)），可對(duì)目標(biāo)代數(shù)式作適當(dāng)?shù)淖冃魏?，利用不等式?lái)求解.

解法2 據(jù)題意有（x+y）2+（x-■-1）2=（x+y）2+（■+1-x）2≥■=■（當(dāng)且僅當(dāng)x+y=■+1-x時(shí)取等號(hào)）.由|y+■|=|y|+ |■|≥2（當(dāng)且僅當(dāng) |y|=1時(shí)取等號(hào)），得y+■≥2或y+■≤-2，即1+y+■≥3或1+y+■≤-1.于是有（y+■+1）2≥1，即■≥■（當(dāng)且僅當(dāng)y=-1時(shí)取等號(hào)）.

故（x+y）2+（x-■-1）2≥■≥■（當(dāng)且僅當(dāng)x=■且y=-1時(shí)取等號(hào)）.選B.

小結(jié) 著重于目標(biāo)代數(shù)式結(jié)構(gòu)形式上的特征分析，探究其本質(zhì)，是問(wèn)題求解的著眼點(diǎn).通過(guò)對(duì)目標(biāo)代數(shù)式的適當(dāng)變形后應(yīng)用均值不等式，我們很好地實(shí)現(xiàn)了變?cè)南麥p，降低了問(wèn)題求解的難度.但值得注意的是，在兩次使用基本不等式的過(guò)程中，只有當(dāng)?shù)忍?hào)同時(shí)成立時(shí)，最終才能取到最值.

三、數(shù)形結(jié)合——幾何法

依據(jù)目標(biāo)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征——平方和，聯(lián)想到平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，于是我們可以利用目標(biāo)代數(shù)式的幾何意義，巧用數(shù)形結(jié)合來(lái)處理.

解法3 據(jù)題意易知（x+y）2+（x-■-1）2可看成平面內(nèi)A（x，x-1）、B（-y，■）兩點(diǎn)間距離的平方.由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可知點(diǎn)A在直線y=x-1上，點(diǎn)B在曲線g（x）=-■上.如右圖所示，由直線y=x-1與函數(shù)g（x）=-■的圖像間的位置關(guān)系，可知當(dāng)l0∥l且與曲線g（x）相切時(shí)，切點(diǎn)P到直線y=x-1的距離d為A、B兩點(diǎn)間距離的最小值.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），則g′（x0）=1，即■=1.由圖可知x0>0，所以x0=1，y0=-1，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1）.所以d=■=■，從而有d2=■，即[（x+y）2+（x-■-1）2]min=■.選B.

小結(jié) 利用目標(biāo)代數(shù)式的幾何意義，以形解數(shù)，這是二元（多元）最值問(wèn)題的有效處理手段.解法3直觀形象、簡(jiǎn)捷高效，值得提倡與掌握.因此，同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的復(fù)習(xí)中要多注意這方面的訓(xùn)練與培養(yǎng).

通過(guò)對(duì)以上具有較強(qiáng)示范性和代表性的問(wèn)題進(jìn)行多角度的嘗試與探究，我們看到在求解二元（多元）最值問(wèn)題中，抓住題設(shè)條件及目標(biāo)式進(jìn)行形式結(jié)構(gòu)上的特征分析，適當(dāng)進(jìn)行變形，合理聯(lián)想與轉(zhuǎn)化，這些是解題的關(guān)鍵，從而歸納出函數(shù)法、不等式法、幾何法等基本策略.感悟方法的產(chǎn)生，既激發(fā)學(xué)生的興趣，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)與方法體系的不斷完善，又開發(fā)學(xué)生的潛力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新與探究精神，提高思維能力和解決問(wèn)題的能力，從而能夠更好地完善復(fù)習(xí)計(jì)劃.

（作者單位：湖北武穴市實(shí)驗(yàn)高中）

（責(zé)任編校/周峰）