史龍飛，樊養(yǎng)余，呂國云，袁永金，黃伯驊

（西北工業(yè)大學(xué) 陜西 西安 710129）

用于數(shù)字D類放大器的雙邊PWM調(diào)制模塊

史龍飛，樊養(yǎng)余，呂國云，袁永金，黃伯驊

（西北工業(yè)大學(xué) 陜西 西安 710129）

文中介紹了一種雙邊PWM調(diào)制的數(shù)字D類放大器調(diào)制模塊，使用偽自然采樣法消除諧波失真。該偽采樣算法是將牛頓-拉夫森迭代法和多項(xiàng)式逼近法相結(jié)合而形成的。近年來，雖有較多關(guān)于前沿PWM調(diào)制（LEPWM）和后沿PWM調(diào)制（TEPWM）的數(shù)字D類放大器的文獻(xiàn)，但基于雙邊PWM（DEPWM）調(diào)制的數(shù)字D類放大器方面的文獻(xiàn)較少。因此本文利用現(xiàn)有的 噪聲整形技術(shù)，基于牛頓-拉夫森迭代法的偽采樣算法等實(shí)現(xiàn)了一種用于數(shù)字D類放大器的雙邊PWM調(diào)制模塊，并使用FPGA搭建了一個24位立體聲數(shù)字音頻D類放大器調(diào)制系統(tǒng)。經(jīng)測試，該調(diào)制系統(tǒng)THD+N@6 kHz性能達(dá)到-80.5 dB。

數(shù)字D類放大器；偽采樣PWM調(diào)制；雙邊PWM調(diào)制；牛頓-拉夫森迭代法；FPGA

數(shù)字D類放大器中PWM調(diào)制方式分為單邊調(diào)制（SEPWM）和雙邊調(diào)制（DEPWM），兩種調(diào)制方法均有不同程度的諧波失真，但雙邊調(diào)制較單邊調(diào)制來說具有更小的奇次諧波失真，并且不包含載波的諧波和偶次諧波。然而由于數(shù)字D類放大器中的數(shù)字PWM調(diào)制方式使得調(diào)制后的PWM信號的諧波失真大大增加，為了減少諧波失真，需要使用偽自然采樣（PNPWM）的方法來逼近自然采樣PWM（NPWM），并要依據(jù)PWM調(diào)制方式制定一定的偽采樣算法降低諧波失真。

單邊PWM調(diào)制只有一個調(diào)制邊沿，計(jì)算過程較為簡單，因此有較多調(diào)制方法提出[1-3]，而雙邊PWM調(diào)制具有兩個調(diào)制邊沿，不能簡單按照單邊PWM調(diào)制的過程來進(jìn)行調(diào)制。單邊PWM調(diào)制的偽采樣算法也不能直接被用做雙邊PWM調(diào)制，∑Δ噪聲整形技術(shù)的使用也與單邊PWM調(diào)制不同。因此，文中介紹了一種基于偽自然采樣算法的雙邊PWM調(diào)制模塊。

1 雙邊PWM調(diào)制

如圖 1，圖中 c（t）為三角載波，x（t）為被調(diào)制信號，y（t）為調(diào)制后的PWM信號。雙邊PWM調(diào)制和單邊PWM調(diào)制區(qū)別在于雙邊PWM調(diào)制的載波為三角波，具有兩個調(diào)制邊沿，調(diào)制出的PWM信號的兩個邊沿均隨信號的變化而變化；而單邊PWM調(diào)制由于其載波為鋸齒波，有一個邊沿垂直于軸，因此其調(diào)制出的PWM信號同樣有一個邊沿固定，而另外一個邊沿隨著信號的變化而變化。因此，雙邊調(diào)制較單邊調(diào)制來說具有更小的奇次諧波失真，并且不包含載波的諧波和偶次諧波。

依據(jù)[4]的結(jié)論，雙邊自然采樣PWM（NPWM）的頻譜可以分解為兩個單邊NPWM的頻譜之差，如式（1）：

圖1 單邊和雙邊PWM調(diào)制Fig.1 Single-edge and double-edge PWM modulate

式中，pDE，pLE和 pTE分別為 DEPWM，LEPWM 和 TEPWM信號。如圖2所示，DEPWM可以分為兩個TEPWM信號，一個由信號和三角波的上升邊沿交點(diǎn)決定寬度，另一個由信號和三角波的下降邊沿交點(diǎn)決定寬度，最終的DEPWM信號為兩個PWM信號之差。

圖2DEPWM生成圖示Fig.2 DEPWM generation diagram

在生成PWM信號之后，將PWM信號通過低通濾波器（LPF）濾除超出音頻范圍的頻率成分。該過程可以用下面的式子表示：

從式（2）可以看出低通濾波器在DEPWM的兩個∑Δ部分上均有作用，且相互獨(dú)立。因此可以分別使用兩個調(diào)制器對DEPWM的兩個部分進(jìn)行噪聲整形，將降低數(shù)據(jù)位寬造成的量化噪聲推移至音頻頻帶以外。

為了生成DEPWM信號，首先需要產(chǎn)生兩路連續(xù)的采樣數(shù)據(jù)，這兩路數(shù)據(jù)為一個調(diào)制周期內(nèi) c（t）和 x（t）的兩個交點(diǎn)，設(shè)為向量xk，該數(shù)據(jù)應(yīng)為經(jīng)過PNPWM模塊調(diào)整過后的數(shù)據(jù)。然后分別對兩路信號進(jìn)行∑Δ噪聲整形，設(shè)生成的低位寬的信號向量為yk。假設(shè)∑Δ調(diào)制器階數(shù)為n，那么生成的信號在z域的表達(dá)式為：

其中Ek（z）為量化誤差在z域的表示。

然后，信號經(jīng)過 PWM 發(fā)生器，將所有成分（pe（t），po（t））轉(zhuǎn)換成為 PWM 信號。 而兩個信號成分的差值 pDE（x（t））=pe（t）-po（t）即為最終的DEPWM信號。DEPWM信號在時域可以表示為：

其中 ee（t）和 eo（t）分別為兩路信號的量化誤差。 和式（4）對應(yīng)的信號z域表達(dá)式為：

其中pDE（z）為最終DEPWM信號的z域表達(dá)式。由此可以看出分別使用兩路調(diào)制器能夠?qū)⒄_的傳遞原始的DEPWM信號頻率成分，并且將量化噪聲推移至音頻頻帶外，經(jīng)過低通濾波之后能夠還原為輸入信號。

2 基于牛頓-拉夫森迭代法的偽采樣算法

第一部分已經(jīng)敘述了從∑Δ噪聲整形到產(chǎn)生DEPWM信號的相關(guān)內(nèi)容，而∑Δ噪聲整形模塊需要輸入信號，該輸入信號可以直接使用過采樣之后的信號，但是由于數(shù)字信號在單個脈沖周期中保持不變，因此會產(chǎn)生較大的諧波失真[5]。為了消除該諧波失真，普遍采用偽自然采樣的方法去模擬自然采樣，使數(shù)字PWM調(diào)制器能夠接近模擬PWM調(diào)制器低諧波失真的性能。本文利用牛頓-拉夫森迭代法和多項(xiàng)式逼近法實(shí)現(xiàn)了一種偽自然采樣算法。該算法在一個PWM脈沖周期內(nèi)使用多項(xiàng)式逼近法近似求出輸入信號的表達(dá)式，然后使用牛頓-拉夫森迭代法求出信號和載波的交點(diǎn)，由于載波具有兩個調(diào)制邊沿，因此需要分別計(jì)算信號和載波兩個調(diào)制邊沿的交點(diǎn)。求出交點(diǎn)后，如第一部分所述，將經(jīng)過偽采樣調(diào)整之后的數(shù)據(jù)分別送入兩個∑Δ調(diào)制器，最后經(jīng)過PWM發(fā)生器即可得到最終的DEPWM信號。與用于單邊PWM調(diào)制的為采樣算法不同的是，用于雙邊PWM調(diào)制的單個脈沖周期跨越兩個采樣周期，因此雙邊PWM調(diào)制對原始信號的插值倍數(shù)較單邊PWM調(diào)制要多一倍。

如圖 3 所示，輸入信號為 in（t），載波信號為 cw（t），單個脈沖周期區(qū)間為t0～t2。偽采樣算法則要求輸入信號in（t）和載波信號 cw（t）的交點(diǎn)，該問題可以轉(zhuǎn)化為求方程 f（t）=cw（t）-in（t）=0的根，假設(shè)根為tr。因?yàn)槟軌颢@得的數(shù)據(jù)僅為離散的采樣點(diǎn)，無法求得方程真正的根，只能求得方程根的逼近值，本文采用牛頓-拉夫森迭代法進(jìn)行逼近計(jì)算。

假設(shè)時間軸的間隔為1，即t1-t0=1，載波幅度為-1到1，則載波兩邊的斜率的絕對值均為2，那么t0～t1之間的載波可以表示為，cw（t）=-2t+1，t1～t2之間的載波可以表示為，cw（t）=2t-1。首先，為了逼近方程f（t）的根，需要一個方程根的預(yù)測值作為迭代的初值，為了使得最終迭代結(jié)果精確，使用兩個采樣點(diǎn)連線和載波的交點(diǎn)作為迭代的初值，設(shè)為ta。在t0和t1之間，ta的值可以表示為：

然后在ta處使用一次牛頓-拉夫森迭代，得到te，即為較為精確的對tr值的逼近：

式中te的為對方程 f（t）根的估計(jì)，即較為精確的對tr值的逼近。將te帶入載波方程cw（t）即可求得信號和載波的交點(diǎn)處的幅值。

圖3 雙邊PWM調(diào)制偽自然采樣算法圖示Fig.3 Pseudo natural sampling for double-edge PWM modulation

但是式（7）中的 in（t）和 in′（t）均為未知，因此需要對輸入信號進(jìn)行擬合，得到其近似的數(shù)學(xué)表達(dá)式。為了使計(jì)算過程不會過于復(fù)雜，這里使用三階的插值多項(xiàng)式逼近，使用4個采樣點(diǎn)作為參考點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。假設(shè)逼近得到的信號表達(dá)式及其一階微分為 i＾n（t）和 i＾n′（t），方程式 f（t）對應(yīng)的逼近表達(dá)式及其一階微分為f＾（t）和f＾′（t）。 它們可以表示為：

式（8）和式（9）中的多項(xiàng)式系數(shù) ci（i∈{-1，0，1，2}）可以通過將已知采樣點(diǎn)的值帶入上面的式子中進(jìn)行計(jì)算?？梢缘玫剑?/p>

至此，將 ta帶入式（8）和式（9）即可得到 f（ta）和 f′（ta）的近似值，最終依據(jù)式（7）得到方程根的逼近值te，將te帶入載波方程cw（t）即可得到交點(diǎn)處信號的幅值。

以上列出了在t0～t1之間（載波三角波的下降邊沿）的計(jì)算過程，而在t1～t2之間（載波三角波的上升邊沿），重新計(jì)算系數(shù)ci的值，將新的載波方程cw（t）以及信號方程的逼近值帶入上述計(jì)算過程中即可得到方程根的逼近值，計(jì)算過程相似，這里不在贅述。

3 雙邊PWM調(diào)制模塊

3.1 調(diào)制模塊的數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證調(diào)制模塊的性能并確定模塊的參數(shù)，本文首先使用MATLAB進(jìn)行了數(shù)值仿真。圖4為構(gòu)建的調(diào)制模塊輸出頻譜仿真結(jié)果（輸入信號：6 kHz正弦波），由圖可見調(diào)制模塊產(chǎn)生的諧波失真和量化失真處在相同的水平上，不能被明顯區(qū)分開來，模塊的THD+N達(dá)到-90 dB。

圖4 調(diào)制模塊輸出頻譜仿真結(jié)果Fig.4 Spectrum of modulator’s simulation result

3.2 調(diào)制模塊的硬件實(shí)現(xiàn)

本文構(gòu)建的雙邊PWM調(diào)制立體聲音頻數(shù)字D類放大器調(diào)制模塊，使用Altera公司的Cyclone IV E（EP4CE30F23C6N）器件配合前端數(shù)字同軸接收模塊和后端低通濾波器模塊實(shí)現(xiàn)。前端模塊主要包含數(shù)字同軸接口以及解碼芯片（CS8416），解碼后的數(shù)據(jù)使用I2S串行音頻接口送至FPGA，F(xiàn)PGA在接受到數(shù)據(jù)后進(jìn)行音量控制、過采樣、調(diào)制以及DEPWM調(diào)制，將調(diào)制過后的PWM信號輸出至后端的模擬低通濾波器進(jìn)行低通濾波器，還原為輸入信號。模塊主要使用Verilog語言編寫，使用FPGA內(nèi)部的DSP硬核作為乘法器的實(shí)現(xiàn)資源，F(xiàn)PGA的通用I/O口作為串行音頻輸入口和PWM信號的輸出口。

該調(diào)制模塊能夠處理48 kHz采樣率的24位立體聲信號。調(diào)制模塊中音量控制能夠?qū)斎霐?shù)據(jù)的大小進(jìn)行調(diào)節(jié)，并能夠?qū)崿F(xiàn)防止輸入飽和的作用。過采樣部分實(shí)現(xiàn)了16倍過采樣，采用了4級半帶FIR濾波器的結(jié)構(gòu)。調(diào)制模塊的偽采樣部分采用如圖3所示的方法實(shí)現(xiàn)了雙邊偽采樣。噪聲整形部分使用兩個5階調(diào)制器來實(shí)現(xiàn)，量化精度為5位。PWM發(fā)生器部分使用計(jì)數(shù)器實(shí)現(xiàn)，工作于24.576 MHz時鐘頻率下，輸出PWM信號的脈沖重復(fù)頻率為384 kHz。

偽采樣部分中，由于牛頓-拉夫森迭代法涉及到較多的乘法操作，因此使用單個乘法器，按照高頻時鐘進(jìn)行分時計(jì)算，以降低邏輯資源的消耗。同時將迭代法的計(jì)算過程進(jìn)行化簡[6]，減少計(jì)算過程中重復(fù)的乘法運(yùn)算，降低邏輯資源的消耗。

3.3 調(diào)制模塊的性能測試

本文搭建了一個由PC機(jī)，數(shù)據(jù)采集卡以及該調(diào)制模塊組成的測試系統(tǒng)。使用PC端生成6 kHz的正弦波經(jīng)由數(shù)字同軸輸出，經(jīng)過調(diào)制模塊之后，使用高速數(shù)據(jù)采集卡對模擬低通濾波器的輸出進(jìn)行采樣，將得到的數(shù)據(jù)在MATLAB中進(jìn)行分析，得到模塊的性能指標(biāo)。

圖5所示的為對采集卡得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜分析得到的頻譜圖。由圖可知，調(diào)制模塊輸出的PWM波正確包含了輸入的正弦波（6 kHz）信息，達(dá)到了調(diào)制的目的。但是由于電路的開關(guān)瞬態(tài)效應(yīng)、FPGA的通用I/O口的電平轉(zhuǎn)換速度以及模擬低通濾波器的諧波失真等非理想因素，與圖4的仿真圖比較起來，包含了更多的噪聲和諧波失真。由圖5可以看出，調(diào)制模塊引入了2次和3次諧波失真，但其幅度均在-80 dB以下。從圖中也可以看出由于量化產(chǎn)生的噪聲被調(diào)制器推移至20 kHz以上，在音頻頻帶內(nèi)本底噪聲達(dá)到了-100 dB左右。調(diào)制模塊的THD+N在6 kHz達(dá)到了-80.5 dB，說明該雙邊PWM調(diào)制模塊能夠有效的抑制調(diào)制中產(chǎn)生的諧波，但是模擬濾波器明顯增加了二次和三次諧波，同時本地噪聲也有所增加。

圖5 模擬低通濾波器輸出頻譜Fig.5 Spectrum of LPF's output

4 結(jié) 論

文中實(shí)現(xiàn)了一種用于數(shù)字音頻D類放大器的雙邊PWM調(diào)制模塊，使用牛頓-拉夫森迭代法和多項(xiàng)式擬合法相結(jié)合的偽自然采樣算法，并通過兩個∑Δ調(diào)制器進(jìn)行噪聲整形，最終使用PWM發(fā)生器產(chǎn)生雙邊PWM信號。并基于FPGA構(gòu)建了一個立體聲24位數(shù)字音頻D類放大器調(diào)制模塊，實(shí)現(xiàn)了從數(shù)字同軸輸入至模擬低通濾波器輸出的功能。通過高速數(shù)據(jù)采集卡采集輸出，分析后得到調(diào)制模塊的THD+N@6 kHz達(dá)到-80 dB。證明了該雙邊PWM調(diào)制模塊的有效性，但PWM輸出端口的高低電平轉(zhuǎn)換特性以及模擬低通濾波器的濾波特性也同樣制約著數(shù)字D類放大器的性能。

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Double-edge PWM modulator for digital class-D amplifiers

SHI Long-fei， FAN Yang-yu， LV Guo-yun， YUAN Yong-jin， HUANG Bo-hua
（Northwestern Polytechnical University， Xi’an 710129， China）

This paper introduced a double-edge PWM modulator for digital class-D amplifiers，which used pseudo sampling algorithm to reduce the harmonic distortion，the pseudo sampling algorithm is based on Newton-Raphson method and polynomial approximation method.Although many works about single edge PWM modulation scheme have been done recently，but little work are reported on the design of the DEPWM based digital audio amplifier.In this paper we applied a double-edge PWM modulator for digital class-d amplifiers，using well known noise shaping technology and pseudo sampling algorithm.Also， a 24-bits stereo digital class-d amplifier’s modulation module was implemented based on FPGA.After testing， the THD+N@6 kHz of this module has reached-80.5 dB.

digital class-D amplifier； pseudo nature PWM modulation； double edge PWM modulation； Newton-Raphson method；FPGA

TN402

A

1674-6236（2014）15-0112-04

2013-10-27 稿件編號：201310207

陜西省科學(xué)技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目（2012K06-10）；華為公司創(chuàng)新研究計(jì)劃項(xiàng)目（YJCB2011062RE）

史龍飛（1989—），男，河南新鄭人，碩士。研究方向：物理電子學(xué)、高速數(shù)字信號處理。