李正義+仲偉俊

摘要：研究了由一個供應商和一個零售商組成的簡單供應鏈庫存補給問題。供應商通過船舶運輸分銷產(chǎn)品，考慮港口允許到港貨物在港口免費存放一段時間，針對整數(shù)比率庫存補給策略，建立了一個具有非線性目標函數(shù)和整數(shù)比率約束的優(yōu)化模型，同時求解此模型的松弛問題，并利用松弛問題的最優(yōu)解構(gòu)造整數(shù)比率的補貨策略。算例分析表明，免費儲存期對零售商的訂貨周期影響較大，同時利用免費儲存期可以很明顯地減少整個系統(tǒng)的庫存補給費用。

關(guān)鍵詞：兩級串聯(lián)系統(tǒng)；供應鏈；免費儲存期；整數(shù)比率策略

中圖分類號：F272；F274文獻標識碼：A文章編號：1001-8409（2014）07-0040-04

Inventory Replenishment Policies for Two

Stage Serial Systems with Free Storage Periods

LI Zhengyi, ZHONG Weijun

(School of Economics and Management, Southeast University, Nanjing 211189)

Abstract： This paper studied the inventory replenishment policies for a supply chain with one supplier and one retailer. Itconsidered that the supplier produced the product, and then transported the product to the retailer by ship. Since the port allowed goods free stay for a period of time, It made use of the free storage period when placed an order. It considered stationary and integerratio policies, and formulated the problem as a mathematical model with nonlinear objective function and integerratio constraints. It presented an algorithm to solve the corresponding relaxed problem, and then used the optimal solution of the relaxation problem to build an integerratio policy. The computational results showed that the free storage period has more impacts on the ordering policies of the retailer, and can reduce the inventory replenishment related costs mostly.

Key words： two stage serial systems; supply chain; free storage periods; integerratio policies

1引言

在當今競爭激烈的市場上，庫存優(yōu)化對于提高供應鏈服務滿意度和減少供應鏈運營成本方面起著重要的作用［2,7,9,10］?？紤]由一個供應商和一個零售商組成的簡單供應鏈兩級庫存補給問題。供應商生產(chǎn)一種產(chǎn)品，通過船舶運輸，經(jīng)由港口分銷給零售商?，F(xiàn)實中，許多海運港口都會提供一個類似的服務，即允許貨物在港口免費停留一段時間。以集裝箱運輸為例，國內(nèi)的南京港、深圳港、上海港等，根據(jù)集裝箱的大小和港口繁忙程度，通常提供7~14天的免堆期，即貨柜可以免費在港口的停留時間，而香港的港口通常會允許到港集裝箱在港口免費停留至少3天。國外很多港口也提供類似的服務，如印度的Jawaharial Nehru港口允許集裝箱碼頭為進口的集裝箱提供3天的免費停留時間，為出口的集裝箱提供7天的免費停留時間；而散貨碼頭為進口的貨物提供12天的免費停留時間，為出口的貨物提供15天停留時間［1］。除了港口以外，航空港和多式聯(lián)運模式中的中轉(zhuǎn)站也允許貨物免費停留一段時間。因此，在庫存補給的過程中，應充分利用這段免費儲存期以減少整個供應鏈系統(tǒng)的庫存補給相關(guān)費用。

目前，在分銷網(wǎng)絡(luò)中，考慮免費儲存期對庫存管理影響的文獻很少。Ochtman等［3］研究多式聯(lián)運模式中的中轉(zhuǎn)站為中轉(zhuǎn)貨物提供的免費儲存期對分銷策略的影響。在中轉(zhuǎn)站免費儲存期內(nèi)的庫存，被稱為浮動庫存。對于一個概念模型，定性地分析四種不同的分銷策略，結(jié)果表明流動庫存可以減少庫存儲存費用和縮短補貨提前期，也可參考文獻Dekker等［4］。Pourakbar等［5］通過建立了數(shù)學模型研究流動庫存在快速消費品供應鏈中對庫存補貨策略的影響。建立了個模型分別對從工廠到貨運站的集裝箱提前運輸時間和管道中與貨運站中集裝箱的總數(shù)量進行優(yōu)化，最后通過比較得到基于流動庫存的分銷策略優(yōu)于其他的分銷策略。

考慮一個集中式管理的兩級串聯(lián)系統(tǒng)庫存補貨問題，包括一個供應商和一個零售商，且零售商需求確定。供應商生產(chǎn)產(chǎn)品后，首先儲存在倉庫中，然后利用船舶運輸，通過港口分銷給零售商。與陸上運輸相比，水上運輸不能夠直接把貨物運送到目的地。也就是說，貨物不能直接運送到零售商處，而是先把貨物運輸?shù)搅闶凵趟诟劭?，然后再把貨物從港口運送給零售商。在此過程中，由于港口允許到港貨物免費存放一段時間，所以零售商庫存補給時，應充分利用這段免費儲存期，以減少整個系統(tǒng)的庫存補給相關(guān)費用。

為了研究港口提供的免費儲存期對于整個系統(tǒng)庫存策略的影響，考慮在每一個補貨周期內(nèi)，零售商在開始的一段時間內(nèi)是庫存持有費用為零。在整數(shù)比率庫存補給策略下，建立了一個具有非線性目標函數(shù)和整數(shù)比率約束的優(yōu)化模型，同時求解此模型的松弛問題，即松弛整數(shù)比率約束，并利用松弛問題的最優(yōu)解構(gòu)造整數(shù)比率補貨策略。算例分析表明，在庫存補給過程中，利用港口提供的免費儲存期可以很大程度地減少整個系統(tǒng)的庫存補給相關(guān)費用。

2模型建立

考慮供應商只生產(chǎn)和配送一種產(chǎn)品，產(chǎn)品生產(chǎn)后儲存在供應商的倉庫中。零售商從倉庫補給庫存，而倉庫從工廠補給庫存。假設(shè)訂單的交付是瞬間完成的，即訂單的提前期為零，以及在庫存補給過程中不允許缺貨。對零售商而言，在每個訂貨周期剛開始的t時間內(nèi)，庫存持有費用是免費的。為了建立模型，引入以下符號：

K0表示倉庫的固定的訂貨成本；h0表示倉庫的單位時間單位商品的庫存持有成本；K表示零售商的固定的訂貨成本；h表示零售商的單位時間單位商品的庫存持有成本；λ表示零售商的單位時間的需求率；t表示港口為到港貨物提供的免費儲存時間。

為了建立模型和表達方便，假設(shè)倉庫的庫存持有成本低于零售商的庫存持有成本［6,8］，即h0≤h。事實上，所建立的模型很容易推廣到h0>h的情形。這里忽略了購買產(chǎn)品所需要的費用，其實購買產(chǎn)品所需要的費用可以看作為固定訂貨費用的一部分。

實際中，為了應用方便，通常以倉庫的訂貨周期和零售商的訂貨周期作為決策變量，分別表示為T0和T。同時考慮倉庫的訂貨周期和零售商的訂貨周期為基本訂貨周期的整數(shù)倍，即T0,T∈{TL,2TL,3TL,…}，這里用TL表示基本訂貨周期，可以為一天、一星期、一月等。

目標是決定倉庫和零售商的庫存補給策略，即最優(yōu)的訂貨周期，以最小化整個系統(tǒng)的平均訂貨和庫存持有費用。由上面分析可知，該問題可以看作確定性兩級無限期串聯(lián)系統(tǒng)的庫存補給問題，則倉庫和零售商的最優(yōu)訂貨周期滿足條件［2,10］：T0=nT，這里T0和T分別為倉庫和零售商最優(yōu)訂貨周期，n為一個正整數(shù)，滿足這個條件的庫存補給策略稱為整數(shù)比率庫存補給策略。因此，針對于整數(shù)比率庫存補給策略，具有免費儲存期的一個供應商和一個零售商系統(tǒng)的庫存補給問題可以表示為：

minK0T0+12λh0［max(T0,T)－T］+KT+ 12λh(T－t)+(T－t)+T（1）

s.t.T0=nT,T0,T∈{TL,2TL,3TL,…},n∈Z+

這里式（1）的目標函數(shù)前兩項分別表示倉庫的平均訂貨固定費用和平均庫存持有費用，后兩項分別表示零售商的平均訂貨固定費用和平均庫存持有費用。注意不失一般性，假設(shè) TL=1。

由于整數(shù)比率約束條件，直接對式（1）進行求解比較困難。因此，首先求解式（1）對應的松弛問題，即去掉整數(shù)比率約束條件，然后根據(jù)松弛問題的解構(gòu)造滿足整數(shù)比率約束的解。式（1）對應的松弛問題表示如下：

minT0>0,T>0K0T0+12λh0［max(T0,T)－T］+KT+ 12λh(T－t)+(T－t)+T （2）

通過觀察可知，由于免費儲存期內(nèi)的庫存持有費用為零，所以在免費儲存期內(nèi)應盡可能多地持有庫存，也就是說盡可能多地利用港口提供的免費儲存期t。因此，可以得到下面的引理。

引理 1：設(shè)T為式（1）中零售商的最優(yōu)訂貨周期，則T≥t。

證明：利用反證法證明。假設(shè)T

①如果T

②如果T≤T0

因此 KT+12λh0［max(T0,T)－T］>Kt+12λh0［max(T0,t)－t］。

由于其他的相關(guān)費用是不變的，令T=t給出一個更好的解。這與T是最優(yōu)解矛盾。證畢。

根據(jù)引理1，松弛問題式（2）可以重寫為：

minT0>0,T>0K0T0+12λh0［max(T0,T)－T］+KT+ 12λh(T－t)2T(3)

s.t. T≥t

顯然，松弛問題式（3）是一個含有非線性目標函數(shù)和線性約束條件的凸優(yōu)化模型，下面將研究如何求解松弛問題式（3）的最優(yōu)解以及其最優(yōu)解滿足的性質(zhì)。

3模型求解

定理1：設(shè)T′0和T′為式（3）的最優(yōu)解。

① 最優(yōu)解T′0和T′滿足：T′0≥T′。

②如果2K0λh0>λht2+2Kλ(h－h(huán)0)，則T′0=2K0λh0，T′=λht2+2Kλ(h－h(huán)0)；否則有T′0=T′=λht2+2K+2K0λh。

證明：顯然，式（3）是一個凸優(yōu)化問題。下面分情形對定理進行證明：

①假設(shè)T′0K0T′，取T′0=T′，在其他的費用不變的情形下，可以得到更好的目標函數(shù)值，這與T′0

②假設(shè)T′0>T′，只需求解優(yōu)化問題： minT>0KT+12λh(T－t)2T+12λh0(T0－T)。

由一階導數(shù)條件可知：－KT2+12λh1－t2T2－12λh0=0，則有T′=λht2+2Kλ(h－h(huán)0)。

同理有T′0=2K0λh0。如果2K0λh0>λht2+2Kλ(h－h(huán)0)，則T′0=2K0λh0>T′=λht2+2Kλ(h－h(huán)0)。

③假設(shè)T′0=T′，只需求解優(yōu)化問題：minT>0K0T+KT+12λh(T－t)2T。由一階導數(shù)條件可知，－K+K0T2+12λh1－t2T2=0，則有T′0=T′=λht2+2K+2K0λh。證畢。

根據(jù)定理1可知，求解式（3）最優(yōu)解算法的詳細步驟如下：

步驟一，首先判斷不等式2K0λh0>λht2+2Kλ(h－h(huán)0)是否成立。

步驟二，如果不等式成立，則T′0=2K0λh0，T′=λht2+2Kλ(h－h(huán)0)；如果不等式不成立，則T′0=T′=λht2+2K+2K0λh。

下面研究如何構(gòu)造整數(shù)比率庫存補給策略。首先令C(x,y)表示式(1)在解(x,y)下的目標函數(shù)值， 0和分別表示所構(gòu)造的整數(shù)比率庫存補給策略。這里用x」表示小于x的最大整數(shù)，用「x表示大于x的最小的整數(shù)。根據(jù)式（3）的最優(yōu)解T′0和T′，構(gòu)造滿足整數(shù)比率庫存補給策略算法的詳細步驟如下：

步驟一，討論T′0和T′的關(guān)系，分別進行構(gòu)造0和。

(a)當T′0>T′時，如果=［T′］，則0=T′」×T′0T′」或者0=T′」×「T′0T′；如果=「T′，則0=「T′×T′0T′」或者0=「T′×「T′0T′。

(b)當T′0=T′時，0==T′」或者0==「T′。

步驟二，選擇最小C(0,)對應的0和，即為所構(gòu)造的滿足整數(shù)比率的庫存補給策略。

很顯然，所構(gòu)造的0和滿足式（1）所有的約束條件，即0和均為整數(shù)，而且0是的整數(shù)倍。由于式(1)的目標函數(shù)為T0和T的凸函數(shù)， 因此0和為式（1）的最優(yōu)解。

4數(shù)值計算

4.1參數(shù)取值

所有參數(shù)的取值按如下方式隨機產(chǎn)生。K0和K在區(qū)間［1000,1500］內(nèi)隨機產(chǎn)生,h0在區(qū)間［1,5］內(nèi)隨機產(chǎn)生,h在區(qū)間［5,10］內(nèi)隨機產(chǎn)生,λ在區(qū)間［50,100］內(nèi)隨機產(chǎn)生。免費儲存期t=1，2，3，4，5。在數(shù)值計算時，對于不同t的取值，隨機產(chǎn)生50個不同的算例，共隨機產(chǎn)生250個不同算例，然后報告平均的計算結(jié)果。

4.2計算結(jié)果

圖1給出了倉庫的最優(yōu)訂貨周期0和零售商的最優(yōu)訂貨周期隨t的變化結(jié)果。由圖1可知，倉庫和零售商的最優(yōu)訂貨周期均隨著免費儲存期的增加而增加，同時從圖1還可以看出免費儲存期對于零售商訂貨周期的影響要大于對倉庫訂貨周期的影響。

圖2給出了整個系統(tǒng)庫存補給相關(guān)費用隨免費儲存期的變化關(guān)系。 Δ(%)表示整個系統(tǒng)庫存補給相關(guān)費用的減少比例，即Δ=((C0－C(0,))/C0)×100，其中C0表示不考慮免費儲存期時，整個系統(tǒng)庫存補給相關(guān)費用，計算方法可參考文獻［10］。

由圖2可以看出，隨著免費儲存期t的增加，整個系統(tǒng)庫存補給相關(guān)費用的減少比例也增加，也就是說，免費儲存期t越大，整個系統(tǒng)的庫存補給相關(guān)費用減少越多。同時還得到最大費用減少比例為7110%，最小費用減少比例為2794%，平均的費用減少比例為5351%。因此可以得到，在庫存補給過程中，利用免費儲存期可以很明顯地減少整個系統(tǒng)庫存補給相關(guān)費用。

最后，研究參數(shù)取值變化對整個系統(tǒng)庫存補給相關(guān)費用減少比例的影響。在模型式(1)中，分別用γ1h0，γ1h，γ2K0，γ2K替換h0，h，K0，K，這里γ1為庫存持有費用系數(shù)，γ2為固定訂貨費用系數(shù)。不失一般性，令免費儲存期t=4。圖3和圖4給出了整個系統(tǒng)庫存補給相關(guān)費用隨庫存持有費用系數(shù)和固定訂貨費用系數(shù)的變化關(guān)系。由圖3可以看出，隨著庫存持有費用系數(shù)的增加，整個系統(tǒng)庫存補給相關(guān)費用減少比例也增加。這就是說，在其他費用都不變的情形下，對于庫存持有費用高的產(chǎn)品，利用免費儲存期可以更多地減少整個系統(tǒng)庫存補給相關(guān)費用。由圖4可以看出，隨著固定訂貨費用系數(shù)的增加，整個系統(tǒng)庫存補給相關(guān)費用減少比例降低。這就是說，在其他費用都不變的情形下，對于固定訂貨費用高的產(chǎn)品，利用免費儲存期減少整個系統(tǒng)庫存補給相關(guān)費用較少。總之，對于庫

存持有費用高，且固定訂貨費用低的產(chǎn)品，利用港口提供的免費儲存期，可以更多地減少整個系統(tǒng)庫存補給相關(guān)費用；而對于庫存持有費用低，且固定訂貨費用高的產(chǎn)品，港口提供的免費儲存期對于減少整個系統(tǒng)地庫存補給費用相對較少。

5結(jié)束語

研究由一個供應商和一個零售商組成的兩級串聯(lián)系統(tǒng)庫存補給問題?？紤]供應商通過港口補給零售商。由于港口提供允許到港貨物免費停留一段時間的服務，與傳統(tǒng)的庫存補給問題不同，考慮零售商在每個庫存補給周期內(nèi)的庫存持有費用在剛開始的一段時間內(nèi)是免費的。針對靜態(tài)的整數(shù)比率庫存補給策略，建立了一個具有非線性目標函數(shù)和整數(shù)比率約束條件的優(yōu)化模型，同時求解對應的松弛問題，并構(gòu)造了滿足整數(shù)比率的策略。算例分析表明，免費儲存期對于零售商訂貨周期的影響較大；而對于供應商倉庫的訂貨周期影響較?。辉趲齑嫜a給過程中，利用免費儲存期可以很明顯地減少整個系統(tǒng)庫存補給相關(guān)費用。同時算例分析還得到，對于高庫存持有費用，低固定訂貨費用的產(chǎn)品，免費儲存期對于減少整個系統(tǒng)庫存補給相關(guān)費用更為明顯。在將來的研究工作中，基于Roundy［6］中的研究思路，考慮將所研究的問題擴展至一個供應商和多個零售商組成的供應鏈網(wǎng)絡(luò)，這是一個值得進一步研究的問題。

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［10］趙曉波，黃四民.庫存管理［M］.北京:清華大學出版社，2008.

(責任編輯：李映果)

存持有費用高，且固定訂貨費用低的產(chǎn)品，利用港口提供的免費儲存期，可以更多地減少整個系統(tǒng)庫存補給相關(guān)費用；而對于庫存持有費用低，且固定訂貨費用高的產(chǎn)品，港口提供的免費儲存期對于減少整個系統(tǒng)地庫存補給費用相對較少。

5結(jié)束語

研究由一個供應商和一個零售商組成的兩級串聯(lián)系統(tǒng)庫存補給問題。考慮供應商通過港口補給零售商。由于港口提供允許到港貨物免費停留一段時間的服務，與傳統(tǒng)的庫存補給問題不同，考慮零售商在每個庫存補給周期內(nèi)的庫存持有費用在剛開始的一段時間內(nèi)是免費的。針對靜態(tài)的整數(shù)比率庫存補給策略，建立了一個具有非線性目標函數(shù)和整數(shù)比率約束條件的優(yōu)化模型，同時求解對應的松弛問題，并構(gòu)造了滿足整數(shù)比率的策略。算例分析表明，免費儲存期對于零售商訂貨周期的影響較大；而對于供應商倉庫的訂貨周期影響較??；在庫存補給過程中，利用免費儲存期可以很明顯地減少整個系統(tǒng)庫存補給相關(guān)費用。同時算例分析還得到，對于高庫存持有費用，低固定訂貨費用的產(chǎn)品，免費儲存期對于減少整個系統(tǒng)庫存補給相關(guān)費用更為明顯。在將來的研究工作中，基于Roundy［6］中的研究思路，考慮將所研究的問題擴展至一個供應商和多個零售商組成的供應鏈網(wǎng)絡(luò)，這是一個值得進一步研究的問題。

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(責任編輯：李映果)

存持有費用高，且固定訂貨費用低的產(chǎn)品，利用港口提供的免費儲存期，可以更多地減少整個系統(tǒng)庫存補給相關(guān)費用；而對于庫存持有費用低，且固定訂貨費用高的產(chǎn)品，港口提供的免費儲存期對于減少整個系統(tǒng)地庫存補給費用相對較少。

5結(jié)束語

研究由一個供應商和一個零售商組成的兩級串聯(lián)系統(tǒng)庫存補給問題?？紤]供應商通過港口補給零售商。由于港口提供允許到港貨物免費停留一段時間的服務，與傳統(tǒng)的庫存補給問題不同，考慮零售商在每個庫存補給周期內(nèi)的庫存持有費用在剛開始的一段時間內(nèi)是免費的。針對靜態(tài)的整數(shù)比率庫存補給策略，建立了一個具有非線性目標函數(shù)和整數(shù)比率約束條件的優(yōu)化模型，同時求解對應的松弛問題，并構(gòu)造了滿足整數(shù)比率的策略。算例分析表明，免費儲存期對于零售商訂貨周期的影響較大；而對于供應商倉庫的訂貨周期影響較小；在庫存補給過程中，利用免費儲存期可以很明顯地減少整個系統(tǒng)庫存補給相關(guān)費用。同時算例分析還得到，對于高庫存持有費用，低固定訂貨費用的產(chǎn)品，免費儲存期對于減少整個系統(tǒng)庫存補給相關(guān)費用更為明顯。在將來的研究工作中，基于Roundy［6］中的研究思路，考慮將所研究的問題擴展至一個供應商和多個零售商組成的供應鏈網(wǎng)絡(luò)，這是一個值得進一步研究的問題。

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(責任編輯：李映果)