王樹范+溫泳

摘 要：本文分析了《結(jié)構(gòu)動力學》課程的特點，提出了利用結(jié)構(gòu)對稱性求多自由度結(jié)構(gòu)自振頻率及其相應的主振型的方法。

關鍵詞：結(jié)構(gòu)動力學 ；結(jié)構(gòu)對稱性；自振頻率；主振型

中圖分類號：TU311 文獻標識碼：A

一、概述

《結(jié)構(gòu)動力學》是一門技術性很強的專業(yè)基礎課，涉及到的研究領域很多，同時具有鮮明的工程與應用背景，絕大多數(shù)學生對這門課有一個共同的感覺：公式多而冗長，計算難而復雜，求解繁瑣而難以掌握，涉及面廣而不易理解，針對上述問題，利用結(jié)構(gòu)自身的特點，使多自由度結(jié)構(gòu)的自振頻率的計算得到簡化。

二、用柔度系數(shù)表示的多自由度結(jié)構(gòu)的自振頻率

對多自由度結(jié)構(gòu)進行振動分析，關鍵在于求解出其自振頻率及其相應的主振型?，F(xiàn)以柔度法為例，給出n個自由度結(jié)構(gòu)自振頻率和主振型的求解過程。

1振動微分方程的建立

圖1（a）所示為n個自由度結(jié)構(gòu)，在自由振動的任一時刻t，質(zhì)量造詞的位移為造詞，作用在該質(zhì)量上的慣性力為，則可建立n個方程

（1）

這里是結(jié)構(gòu)的柔度系數(shù)，即單位力作用時質(zhì)點i的位移（參見圖1（b））。

2微分方程的解及頻率

設解的形式為

并將其帶入（1）式中，便可得到一個由小到大排列的n個自振頻率ω1，ω2，…，ωn。

當時，求出兩個頻率分別為

（2）

三、利用對稱性計算多自由度結(jié)構(gòu)的自振頻率

當一個結(jié)構(gòu)對稱，質(zhì)量分布也是對稱的結(jié)構(gòu)，那么它的主振型要么是正對稱的，要么是反對稱的，我們可以利用這一點，取半邊結(jié)構(gòu)來計算，這樣可以使計算簡化。下面舉例說明。

例：試求圖2（a）所示三跨梁的自振頻率。已知

；

；

；

。

解：該題如果按照三個自由度結(jié)構(gòu)去考慮，計算量非常大，容易出錯。如果注意到結(jié)構(gòu)自身的特征，利用對稱性會使計算量大大減少。

考慮結(jié)構(gòu)自身的特點，其振型可分為對稱振動和反對稱振動。

反對稱振動的半結(jié)構(gòu)如圖2（b）所示，該結(jié)構(gòu)為單自由度結(jié)構(gòu)，可通過求柔度系數(shù)的方法求頻率。

；

對稱振動的半結(jié)構(gòu)如圖2（c）所示，該結(jié)構(gòu)為兩個自由度結(jié)構(gòu)，也可通過求柔度系數(shù)的方法求頻率。

，

，

代入（2）式可求出兩個頻率分別為：和。

綜合反對稱的頻率可得原結(jié)構(gòu)的三個頻率分別為

；

；

。

結(jié) 語

本文針對學生在求解多自由度結(jié)構(gòu)自振頻率時存在的困難，根據(jù)自己在教學實踐中的探索，提出了自己的一點看法。實踐證明學生掌握了這種方法后會使計算變簡單。在學習中要多做練習，同時，一道題要注意采用多種方法來解。

參考文獻

[1]包世華.結(jié)構(gòu)力學[M].武漢理工大學出版社，2007，167-174.

[2]劉晶波，杜修力.結(jié)構(gòu)動力學[M].工業(yè)機械出版社，2011，91-108.

[3]杜方江.結(jié)構(gòu)動力學在建筑結(jié)構(gòu)中的抗震分析[J].科技資訊，2009，N031，69.endprint

摘 要：本文分析了《結(jié)構(gòu)動力學》課程的特點，提出了利用結(jié)構(gòu)對稱性求多自由度結(jié)構(gòu)自振頻率及其相應的主振型的方法。

關鍵詞：結(jié)構(gòu)動力學 ；結(jié)構(gòu)對稱性；自振頻率；主振型

中圖分類號：TU311 文獻標識碼：A

一、概述

《結(jié)構(gòu)動力學》是一門技術性很強的專業(yè)基礎課，涉及到的研究領域很多，同時具有鮮明的工程與應用背景，絕大多數(shù)學生對這門課有一個共同的感覺：公式多而冗長，計算難而復雜，求解繁瑣而難以掌握，涉及面廣而不易理解，針對上述問題，利用結(jié)構(gòu)自身的特點，使多自由度結(jié)構(gòu)的自振頻率的計算得到簡化。

二、用柔度系數(shù)表示的多自由度結(jié)構(gòu)的自振頻率

對多自由度結(jié)構(gòu)進行振動分析，關鍵在于求解出其自振頻率及其相應的主振型。現(xiàn)以柔度法為例，給出n個自由度結(jié)構(gòu)自振頻率和主振型的求解過程。

1振動微分方程的建立

圖1（a）所示為n個自由度結(jié)構(gòu)，在自由振動的任一時刻t，質(zhì)量造詞的位移為造詞，作用在該質(zhì)量上的慣性力為，則可建立n個方程

（1）

這里是結(jié)構(gòu)的柔度系數(shù)，即單位力作用時質(zhì)點i的位移（參見圖1（b））。

2微分方程的解及頻率

設解的形式為

并將其帶入（1）式中，便可得到一個由小到大排列的n個自振頻率ω1，ω2，…，ωn。

當時，求出兩個頻率分別為

（2）

三、利用對稱性計算多自由度結(jié)構(gòu)的自振頻率

當一個結(jié)構(gòu)對稱，質(zhì)量分布也是對稱的結(jié)構(gòu)，那么它的主振型要么是正對稱的，要么是反對稱的，我們可以利用這一點，取半邊結(jié)構(gòu)來計算，這樣可以使計算簡化。下面舉例說明。

例：試求圖2（a）所示三跨梁的自振頻率。已知

；

；

；

。

解：該題如果按照三個自由度結(jié)構(gòu)去考慮，計算量非常大，容易出錯。如果注意到結(jié)構(gòu)自身的特征，利用對稱性會使計算量大大減少。

考慮結(jié)構(gòu)自身的特點，其振型可分為對稱振動和反對稱振動。

反對稱振動的半結(jié)構(gòu)如圖2（b）所示，該結(jié)構(gòu)為單自由度結(jié)構(gòu)，可通過求柔度系數(shù)的方法求頻率。

；

對稱振動的半結(jié)構(gòu)如圖2（c）所示，該結(jié)構(gòu)為兩個自由度結(jié)構(gòu)，也可通過求柔度系數(shù)的方法求頻率。

，

，

代入（2）式可求出兩個頻率分別為：和。

綜合反對稱的頻率可得原結(jié)構(gòu)的三個頻率分別為

；

；

。

結(jié) 語

本文針對學生在求解多自由度結(jié)構(gòu)自振頻率時存在的困難，根據(jù)自己在教學實踐中的探索，提出了自己的一點看法。實踐證明學生掌握了這種方法后會使計算變簡單。在學習中要多做練習，同時，一道題要注意采用多種方法來解。

參考文獻

[1]包世華.結(jié)構(gòu)力學[M].武漢理工大學出版社，2007，167-174.

[2]劉晶波，杜修力.結(jié)構(gòu)動力學[M].工業(yè)機械出版社，2011，91-108.

[3]杜方江.結(jié)構(gòu)動力學在建筑結(jié)構(gòu)中的抗震分析[J].科技資訊，2009，N031，69.endprint

摘 要：本文分析了《結(jié)構(gòu)動力學》課程的特點，提出了利用結(jié)構(gòu)對稱性求多自由度結(jié)構(gòu)自振頻率及其相應的主振型的方法。

關鍵詞：結(jié)構(gòu)動力學 ；結(jié)構(gòu)對稱性；自振頻率；主振型

中圖分類號：TU311 文獻標識碼：A

一、概述

《結(jié)構(gòu)動力學》是一門技術性很強的專業(yè)基礎課，涉及到的研究領域很多，同時具有鮮明的工程與應用背景，絕大多數(shù)學生對這門課有一個共同的感覺：公式多而冗長，計算難而復雜，求解繁瑣而難以掌握，涉及面廣而不易理解，針對上述問題，利用結(jié)構(gòu)自身的特點，使多自由度結(jié)構(gòu)的自振頻率的計算得到簡化。

二、用柔度系數(shù)表示的多自由度結(jié)構(gòu)的自振頻率

對多自由度結(jié)構(gòu)進行振動分析，關鍵在于求解出其自振頻率及其相應的主振型?，F(xiàn)以柔度法為例，給出n個自由度結(jié)構(gòu)自振頻率和主振型的求解過程。

1振動微分方程的建立

圖1（a）所示為n個自由度結(jié)構(gòu)，在自由振動的任一時刻t，質(zhì)量造詞的位移為造詞，作用在該質(zhì)量上的慣性力為，則可建立n個方程

（1）

這里是結(jié)構(gòu)的柔度系數(shù)，即單位力作用時質(zhì)點i的位移（參見圖1（b））。

2微分方程的解及頻率

設解的形式為

并將其帶入（1）式中，便可得到一個由小到大排列的n個自振頻率ω1，ω2，…，ωn。

當時，求出兩個頻率分別為

（2）

三、利用對稱性計算多自由度結(jié)構(gòu)的自振頻率

當一個結(jié)構(gòu)對稱，質(zhì)量分布也是對稱的結(jié)構(gòu)，那么它的主振型要么是正對稱的，要么是反對稱的，我們可以利用這一點，取半邊結(jié)構(gòu)來計算，這樣可以使計算簡化。下面舉例說明。

例：試求圖2（a）所示三跨梁的自振頻率。已知

；

；

；

。

解：該題如果按照三個自由度結(jié)構(gòu)去考慮，計算量非常大，容易出錯。如果注意到結(jié)構(gòu)自身的特征，利用對稱性會使計算量大大減少。

考慮結(jié)構(gòu)自身的特點，其振型可分為對稱振動和反對稱振動。

反對稱振動的半結(jié)構(gòu)如圖2（b）所示，該結(jié)構(gòu)為單自由度結(jié)構(gòu)，可通過求柔度系數(shù)的方法求頻率。

；

對稱振動的半結(jié)構(gòu)如圖2（c）所示，該結(jié)構(gòu)為兩個自由度結(jié)構(gòu)，也可通過求柔度系數(shù)的方法求頻率。

，

，

代入（2）式可求出兩個頻率分別為：和。

綜合反對稱的頻率可得原結(jié)構(gòu)的三個頻率分別為

；

；

。

結(jié) 語

本文針對學生在求解多自由度結(jié)構(gòu)自振頻率時存在的困難，根據(jù)自己在教學實踐中的探索，提出了自己的一點看法。實踐證明學生掌握了這種方法后會使計算變簡單。在學習中要多做練習，同時，一道題要注意采用多種方法來解。

參考文獻

[1]包世華.結(jié)構(gòu)力學[M].武漢理工大學出版社，2007，167-174.

[2]劉晶波，杜修力.結(jié)構(gòu)動力學[M].工業(yè)機械出版社，2011，91-108.

[3]杜方江.結(jié)構(gòu)動力學在建筑結(jié)構(gòu)中的抗震分析[J].科技資訊，2009，N031，69.endprint