沈 穎

(重慶科技學(xué)院機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，重慶 401331)

0 前言

在大口徑非球面鏡類大型光學(xué)器件拋光加工過(guò)程中，計(jì)算機(jī)控制應(yīng)力盤拋光技術(shù)顯示了其巨大的優(yōu)越性［1］。為了匹配鏡面各處不同曲率，應(yīng)力盤可連續(xù)進(jìn)行彎曲控制。根據(jù)應(yīng)力盤在鏡面上的位置和角度不同，控制系統(tǒng)能將應(yīng)力盤面形變成相應(yīng)的離軸非球面形狀。由于應(yīng)力盤曲率大小跟其在非球面鏡上的位置和方向有關(guān)，因此當(dāng)應(yīng)力盤在鏡面上移動(dòng)和旋轉(zhuǎn)時(shí)，采用傳統(tǒng)加工技術(shù)的大型拋光盤面形無(wú)法與理想非球面鏡面形保持一致。相對(duì)于傳統(tǒng)拋光方法，采用計(jì)算機(jī)控制應(yīng)力盤拋光技術(shù)的能動(dòng)應(yīng)力盤拋光能夠大大提高產(chǎn)品加工效率和成品率，可保證非球面鏡表面光滑度和邊緣完整性［2］。

但由于應(yīng)力盤模型的不確定性和高度非線性，特別是對(duì)大離軸非球面鏡在光學(xué)拋光加工中的高性能要求，在控制過(guò)程中還面臨許多難題需要解決。在計(jì)算機(jī)控制拋光加工過(guò)程中，建立精確的應(yīng)力盤表面模型并用于其面形控制是整個(gè)控制過(guò)程中的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

為實(shí)現(xiàn)應(yīng)力盤拋光計(jì)算機(jī)控制，本次研究重點(diǎn)討論應(yīng)力盤面形建模問(wèn)題。首先，提出一種用于應(yīng)力盤拋光加工計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，討論面形控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及面形數(shù)據(jù)測(cè)量方法;其次，建立基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)力盤面形模型，利用該模型能精確地反映在驅(qū)動(dòng)力輸入信號(hào)作用下應(yīng)力盤的動(dòng)態(tài)變形過(guò)程。在應(yīng)力盤建模過(guò)程中，通過(guò)改變彎矩電機(jī)產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)力大小來(lái)連續(xù)改變應(yīng)力盤面形，采集建模所需要的數(shù)據(jù)集，并進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型能精確擬合應(yīng)力盤面形，相對(duì)于采用傳統(tǒng)Zernike多項(xiàng)式面形表示法［3－4］，本模型更加準(zhǔn)確有效。

1 應(yīng)力盤面形測(cè)量及控制

1.1 應(yīng)力盤面形控制

在大口徑非球面光學(xué)鏡應(yīng)力盤拋光加工中，應(yīng)力盤是一塊直徑60 cm的鋁制圓盤，背面放置有一組力矩電機(jī)，12個(gè)電機(jī)產(chǎn)生的力矩作用于圓盤，從而用于控制拋光壓力及壓力分布，拋光面覆蓋有一層瀝青。應(yīng)力盤俯視圖見圖1。

圖1 應(yīng)力盤俯視圖

應(yīng)力盤在一組對(duì)稱分布于應(yīng)力盤上力矩電機(jī)產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)力作用下能夠連續(xù)地進(jìn)行變形。當(dāng)應(yīng)力盤在鏡面上移動(dòng)和旋轉(zhuǎn)時(shí)，力矩電機(jī)在計(jì)算機(jī)程序控制下根據(jù)需要改變驅(qū)動(dòng)力矩，從而改變應(yīng)力盤面形，使其能很好地?cái)M合鏡面各處面形［5］。應(yīng)力盤面形控制系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)如圖2所示。控制器的任務(wù)是輸出適當(dāng)?shù)尿?qū)動(dòng)力控制信號(hào)，通過(guò)控制彎矩電機(jī)，就能夠始終保證應(yīng)力盤面形與理想鏡面面形保持一致，從而使得實(shí)際應(yīng)力盤面形能精確跟蹤給定的理想面形。同時(shí)當(dāng)應(yīng)力盤覆蓋到鏡面邊緣時(shí)，可根據(jù)面形誤差和平衡力大小，利用力矩電機(jī)改變驅(qū)動(dòng)力，從而在加工過(guò)程中保證鏡面邊緣的完整性。

圖2 應(yīng)力盤面形控制系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)圖

1.2 面形位移測(cè)量方法

為了測(cè)量應(yīng)力盤表面位移，使用由60個(gè)均勻分布的位移傳感器構(gòu)成的位移測(cè)量平臺(tái)。應(yīng)力盤放置于一組位移傳感器陣列上，通過(guò)傳感器測(cè)量應(yīng)力盤變形，從而用于應(yīng)力盤面形測(cè)試和校準(zhǔn)，傳感器對(duì)稱均勻地分布在一組同心圓上。由此可以用來(lái)測(cè)量應(yīng)力盤表面的任何變化，通過(guò)對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行插值處理，反映應(yīng)力盤面形變化。應(yīng)力盤表面位移傳感器位置分布如圖3所示。

圖3 應(yīng)力盤表面位移傳感器位置分布圖

2 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)力盤建模

應(yīng)力盤面形控制過(guò)程中，建立起反映驅(qū)動(dòng)力和應(yīng)力盤面形變化關(guān)系的精確模型至關(guān)重要，用傳統(tǒng)方式描述應(yīng)力盤面形變化相當(dāng)困難。由于在環(huán)形區(qū)域內(nèi)應(yīng)力盤是連續(xù)平滑地變化的，因此可以用一組獨(dú)立的基函數(shù)對(duì)面形進(jìn)行描述。在光學(xué)加工領(lǐng)域，常常采用Zernike多項(xiàng)式來(lái)描述鏡面形狀，首先將測(cè)量到的面形數(shù)據(jù)投影到單位圓，然后選擇基函數(shù)，而多項(xiàng)式系數(shù)通常采用正交最小二乘算法或經(jīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練得到。為了提高應(yīng)力盤面形建模效率和準(zhǔn)確性，在此提出一種直接從面形測(cè)量數(shù)據(jù)建立應(yīng)力盤面形的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。

RBF徑向基函數(shù)方法［6］是在高維空間進(jìn)行插值的一種技術(shù)，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種前饋反向傳播網(wǎng)絡(luò)，包含一個(gè)由非線性神經(jīng)元組成的單隱層，及一個(gè)線性輸出層。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)如圖4所示。理論上 ，RBF網(wǎng)絡(luò)能逼近任意連續(xù)非線性函數(shù)，Xu等人就利用RBF網(wǎng)絡(luò)作為萬(wàn)能函數(shù)逼近器問(wèn)題進(jìn)行了相關(guān)理論研究，并獲得了一系列研究成果［7］。

給定N組輸入輸出對(duì)P(x，y)及相應(yīng)的模型誤差ε ＞ 0，則存在一個(gè)RBF網(wǎng)絡(luò)模型f(c，σ，w，P)，當(dāng)最優(yōu)化隱單元數(shù)s和參數(shù)組(c，σ，w)時(shí)，則誤差函數(shù) E= ‖y-f‖ 滿足不等式 E(c，σ，w，P) ＜ ε。

圖4 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)

對(duì)于應(yīng)力盤面形模型，輸入變量是由電機(jī)產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)力F，輸出變量是應(yīng)力盤表面位移D，則可建立應(yīng)力盤面形RBF網(wǎng)絡(luò)模型:

此處徑向基函數(shù)Φi定義為:

其中:wij是輸出層權(quán)值;ci是第i個(gè)徑向基單元中心值;σi代表單元寬度，反映了在輸入空間域的作用范圍。

可以采用不同方法確定中心向量，常用的包括K－均值算法、Kohonen自組織映射算法［8］、模糊聚類算法等。在本文中徑向基單元數(shù)量根據(jù)驅(qū)動(dòng)力數(shù)量選擇，為提高RBF網(wǎng)絡(luò)模型逼近精度，所有網(wǎng)絡(luò)參數(shù)ci、σi、wij通過(guò) BP算法進(jìn)行訓(xùn)練，且訓(xùn)練誤差函數(shù)采用公式:

其中:dj是第j個(gè)期望輸出;Dj是第j個(gè)實(shí)際輸出。則參數(shù)學(xué)習(xí)算法如下:

其中:i=1，2，… s;j=1，2，… n;k=1，2，… m;β為學(xué)習(xí)速率;γ為動(dòng)量速率;k為迭代次數(shù)，ej=Dj-dj。為加快BP算法收斂速度，提高其學(xué)習(xí)效率，在此采用了自適應(yīng)整定算法自動(dòng)調(diào)整學(xué)習(xí)速率β和動(dòng)量速率γ，從而獲得最優(yōu)RBF網(wǎng)絡(luò)模型參數(shù)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的有效性，進(jìn)行了各種MATLAB［10］仿真實(shí)驗(yàn)。通過(guò)采集由12個(gè)電機(jī)產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)力和對(duì)應(yīng)由60個(gè)位移傳感器測(cè)量到的應(yīng)力盤面形變化量組成的輸入輸出數(shù)據(jù)集進(jìn)行仿真。在這些數(shù)據(jù)集中，包括輪流由每個(gè)電機(jī)產(chǎn)生1～3個(gè)單位驅(qū)動(dòng)力而其余電機(jī)不產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)力所得到的面形位移測(cè)量數(shù)據(jù)，以及12個(gè)電機(jī)同時(shí)產(chǎn)生一個(gè)單位驅(qū)動(dòng)力所得到的面形位移測(cè)量數(shù)據(jù)。

在RBF網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練中，驅(qū)動(dòng)力數(shù)據(jù)作為輸入樣本，由微位移傳感器陣列測(cè)量得到的原始數(shù)據(jù)作為輸出樣本，利用100組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)RBF網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行訓(xùn)練，另外采用了20組原始數(shù)據(jù)對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行測(cè)試。

圖5 應(yīng)力盤面形圖1

經(jīng)過(guò)訓(xùn)練就得到基于RBF網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)力盤面形模型，圖5顯示了在2號(hào)電機(jī)產(chǎn)生一個(gè)單位驅(qū)動(dòng)力作用下由經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后的RBF網(wǎng)絡(luò)模型產(chǎn)生的應(yīng)力盤面形仿真圖，而用對(duì)應(yīng)的應(yīng)力盤面形測(cè)量數(shù)據(jù)來(lái)測(cè)試模型精度，則模型預(yù)測(cè)的均方誤差小于10－2μm。圖6顯示了殘余擬合誤差分布圖，對(duì)于其他幾種面形，所得模型精度相類似。

圖6 殘余誤差分布圖

圖7(a)和(b)分別顯示了1號(hào)電機(jī)和4號(hào)電機(jī)產(chǎn)生一個(gè)單位驅(qū)動(dòng)力時(shí)的應(yīng)力盤面形圖。由圖可知，由1號(hào)電機(jī)驅(qū)動(dòng)力引起的面形變化與由4號(hào)電機(jī)驅(qū)動(dòng)力引起的面形變化方向幾乎相反，而1號(hào)電機(jī)和4號(hào)電機(jī)在位置上相差90o。由RBF網(wǎng)絡(luò)模型獲得的不同面形說(shuō)明，不同電機(jī)驅(qū)動(dòng)力對(duì)應(yīng)力盤面形變化產(chǎn)生的影響是不同的，從而有助于深入研究電機(jī)驅(qū)動(dòng)力與面形變化之間的內(nèi)在關(guān)系。

圖7 應(yīng)力盤面形圖2

圖8 應(yīng)力盤面形圖3

圖8顯示了12個(gè)電機(jī)同時(shí)產(chǎn)生一個(gè)單位驅(qū)動(dòng)力時(shí)的面形。在12個(gè)均勻分布驅(qū)動(dòng)力作用下應(yīng)力盤變成一個(gè)拋物面。仿真實(shí)驗(yàn)顯示，本文提出的應(yīng)力盤面形RBF網(wǎng)絡(luò)模型能夠精確有效地反映應(yīng)力盤面形及其變化，通過(guò)RBF網(wǎng)絡(luò)模型能夠建立起電機(jī)驅(qū)動(dòng)力和應(yīng)力盤面形變化之間的關(guān)系，從而有助于應(yīng)力盤控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。

4 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種應(yīng)力盤控制系統(tǒng)，并建立了描述應(yīng)力盤面形的基于RBF網(wǎng)絡(luò)的多輸入多輸出模型，相對(duì)于傳統(tǒng)的Zernike多項(xiàng)式模型，RBF網(wǎng)絡(luò)模型簡(jiǎn)單、有效，更加容易實(shí)現(xiàn)。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，本文提出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型不僅能夠精確反映應(yīng)力盤面形，而且能夠反映不同電機(jī)驅(qū)動(dòng)力對(duì)面形變化的影響。對(duì)于應(yīng)力盤控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，研究在不同驅(qū)動(dòng)力組合情況下應(yīng)力盤面形動(dòng)態(tài)變化與驅(qū)動(dòng)力間耦合關(guān)系，是今后進(jìn)一步要做的工作重點(diǎn)。

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