馮必鳴，聶萬勝，李 柯

（裝備學(xué)院，北京 101416）

0 引言

國外曾經(jīng)提出名為“上帝之仗”的動(dòng)能對(duì)地打擊方案，假想動(dòng)能彈頭離軌再入大氣層，對(duì)地面目標(biāo)實(shí)施精確垂直動(dòng)能打擊［1］。然而，尋找一組最優(yōu)的初始參數(shù)既能保證動(dòng)能彈在攻角和過載限制下高速精確垂直命中目標(biāo)，又能使離軌制動(dòng)燃料消耗量最小是實(shí)現(xiàn)該方案的關(guān)鍵。

目前，對(duì)彈藥最佳初始參數(shù)的研究主要采用兩種方法:搜索法和計(jì)算法。國內(nèi)學(xué)者大多根據(jù)制導(dǎo)彈藥不同的初始參數(shù)組合方案，采用搜索法尋找最佳初始條件或者是彈藥投放區(qū)域［2－6］，但是采用該類方法計(jì)算時(shí)，如果沒有較好的搜索方式，搜索策略近乎于窮舉;而計(jì)算法是將尋優(yōu)過程描述成最優(yōu)控制模型［7］，利用最優(yōu)控制理論的相關(guān)算法計(jì)算出滿足某項(xiàng)指標(biāo)最優(yōu)的控制量變化情況，主要有間接法和直接法?；赑ontryagin極大值原理的間接法是根據(jù)某項(xiàng)性能指標(biāo)最優(yōu)，推導(dǎo)出制導(dǎo)律的解析解;直接法［10－12］是將連續(xù)的最優(yōu)控制問題離散并參數(shù)化，針對(duì)某項(xiàng)指標(biāo)最優(yōu)得到離散的最優(yōu)控制律，而在制導(dǎo)控制規(guī)律已經(jīng)確定的條件下，計(jì)算滿足各項(xiàng)條件的最優(yōu)初始參數(shù)研究還較少。

文中采用直接法的離散思想，根據(jù)制導(dǎo)律和動(dòng)能彈飛行狀態(tài)參數(shù)之間的代數(shù)關(guān)系，將原來帶控制量的微分方程組轉(zhuǎn)化成為由動(dòng)能彈狀態(tài)參數(shù)表示的微分方程組，并通過離散過程將該方程組轉(zhuǎn)化成為由一系列狀態(tài)參數(shù)表示的代數(shù)方程組，通過序列二次規(guī)劃法求解非線性規(guī)劃問題進(jìn)而得到最優(yōu)初始參數(shù)。

1 參數(shù)優(yōu)化計(jì)算方法

1.1 縱平面終端傾角約束制導(dǎo)方程

根據(jù)圖1所示位置關(guān)系和文獻(xiàn)［13］可知，動(dòng)能彈縱向平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為:

圖1 彈目坐標(biāo)系

在簡(jiǎn)化模型中:gxh= －ghsinθ，gyh= －ghcosθ;x為彈目距離;y為動(dòng)能彈飛行高度;θ為彈道傾角（θ＜0）;V為彈體飛行速度。而縱向平面內(nèi)的傾角約束制導(dǎo)律為:

1.2 狀態(tài)參數(shù)表示的制導(dǎo)方程

文中在進(jìn)行初始參數(shù)優(yōu)化時(shí)，考慮將帶有控制量并滿足導(dǎo)引律的運(yùn)動(dòng)方程組轉(zhuǎn)化成為用狀態(tài)參數(shù)表示的運(yùn)動(dòng)方程，并將微分方程組離散，轉(zhuǎn)化成為由狀態(tài)參數(shù)表示的一系列代數(shù)方程組，通過求解非線性規(guī)劃問題得到最優(yōu)初始參數(shù)。

根據(jù)視線坐標(biāo)系和目標(biāo)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可得:

因此可以將縱向平面內(nèi)的導(dǎo)引方程轉(zhuǎn)變?yōu)槿缦滦问?

其中，ρ（）y = ρ0e－（）y/H，海平面大氣密度 ρ0=1.226 kg/m3，參考高度 H=7254.24 m，重力加速度 gh=9.81 m/s2，動(dòng)能彈氣動(dòng)參考面積 S=0.102 m2。

又由Cx（）α=C0x+Cαxα2，可以得到:

至此，可以將原來帶控制量α的微分方程組變?yōu)橛?個(gè)狀態(tài)參數(shù)［x，y，V，θ］表示的微分方程組:

優(yōu)化指標(biāo):

滿足微分方程組約束.:

滿足不等式約束:

邊界條件:

1.3 微分方程組離散

現(xiàn)將連續(xù)的微分方程組按照Radau偽譜法的思想進(jìn)行離散化處理，參考文獻(xiàn)［15］所描述的離散過程，可以得到以下轉(zhuǎn)換關(guān)系:

將上面帶微分方程組約束的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變成為用以下形式代數(shù)方程組表示的參數(shù)優(yōu)化問題。

指標(biāo)函數(shù):

等式約束:

微分方程組轉(zhuǎn)化的代數(shù)方程組:

其中 i=1，……，Nk。

邊界條件轉(zhuǎn)化的代數(shù)方程組:

不等式約束:

攻角和過載限制轉(zhuǎn)化的不等式約束:

邊界條件轉(zhuǎn)化的不等式約束:

上述過程將滿足制導(dǎo)控制律的微分方程組最優(yōu)初始參數(shù)問題轉(zhuǎn)化為由非線性代數(shù)方程組表示的參數(shù)優(yōu)化問題，利用序列二次規(guī)劃法（SQP）可求解出最優(yōu)初始參數(shù)。

2 仿真研究

2.1 最小再入角研究

根據(jù)國外提出的“上帝之仗”動(dòng)能打擊假想，過大的再入角會(huì)造成離軌制動(dòng)時(shí)較大的燃料損耗，因而通過研究滿足終端命中條件的最小再入角，為開展方案可行性論證提供理論支持。文中以某型制導(dǎo)動(dòng)能彈氣動(dòng)性能為例［14］，研究不同速度下的最小再入角問題，該優(yōu)化問題可以描述為:

在初始傾角和目標(biāo)距離不確定的情況下，針對(duì)100 kg 載 荷以 8 000 m/s、7 000 m/s、6 000 m/s、5 000 m/s、4 000 m/s 5種不同速度再入，研究不同再入速度下滿足終端打擊條件的最小再入角，計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 不同速度對(duì)應(yīng)的最小再入角對(duì)比

從表1所示結(jié)果可知，再入速度越高，最小再入角越小，目標(biāo)距離更遠(yuǎn)，但是在最小再入角情況下，命中速度均不高，略大于2 000 m/s。為了說明該方法的可行性，文中選擇中等再入速度5 000 m/s，采用蒙特卡洛打靶法尋找滿足命中條件的最小再入角，計(jì)算結(jié)果如圖2和圖3所示。

從圖2不難發(fā)現(xiàn)，速度5 000 m/s的最小再入角約為 －32.6°，與文中所用方法計(jì)算得到的最小再入角差別僅有0.1°，而目標(biāo)距離之間的差別也小于500m。并且從圖3所示命中速度分布情況可知，打靶法得到的最小再入角和相應(yīng)目標(biāo)距離對(duì)應(yīng)的命中速度也接近2 000 m/s。

以再入速度5000 m/s，再入角 －32.7°，目標(biāo)距離117 km為例，按照式（1）和式（2）描述的制導(dǎo)方程計(jì)算得到動(dòng)能彈參數(shù)變化情況如圖4～圖6所示。從圖中所示的飛行彈道、相對(duì)距離、飛行速度、彈道傾角以及攻角和過載變化情況不難發(fā)現(xiàn)，各項(xiàng)參數(shù)均滿足約束要求。通過上述研究結(jié)果可以證明，文中設(shè)計(jì)的參數(shù)優(yōu)化方法是可行的。

圖2 再入角與目標(biāo)距對(duì)應(yīng)關(guān)系

圖3 命中速度分布

圖4 飛行軌跡及相對(duì)距離

圖5 速度及傾角

圖6 攻角和過載

文中根據(jù)表1中所示再入速度和最小再入角的分布情況，通過擬合關(guān)系式（17）得到再入速度和最小再入角邊界的近似分布，如圖7所示。

圖7 擬合最小再入角邊界及可行區(qū)域

圖7中虛線右下方區(qū)域是彈頭再入過程中，滿足過載約束、攻角約束、命中速度、命中傾角和命中精度的可行區(qū)域。為了進(jìn)一步驗(yàn)證該曲線和可行區(qū)域的正確性，同時(shí)研究再入速度和再入傾角對(duì)動(dòng)能彈終端命中參數(shù)的影響，文中開展了以下研究。

2.2 再入速度與再入角影響

從表1可知，邊界點(diǎn)上的再入?yún)?shù)能夠保證各種約束下彈體命中目標(biāo)，但命中速度不高，而動(dòng)能彈的目的就是要最大限度的提高命中速度。因此，文中以7 000 m/s的再入速度，－23.8°的再入角為基本標(biāo)準(zhǔn)，依次研究再入角一定、再入速度變化和再入速度一定、再入角變化兩種情況下滿足最大命中速度的參數(shù)優(yōu)化問題。

通過計(jì)算得到不同情況下再入?yún)?shù)和命中參數(shù)如表2和表3所示。從表2中不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)再入速度7 000 m/s，再入角 －22.8°時(shí)，彈體獲得最大命中速度為1 940 m/s，而這一點(diǎn)正好位于圖7所示邊界曲線上方的不可行區(qū)。隨著再入角往邊界曲線的下方移動(dòng)，逐漸轉(zhuǎn)入可行區(qū)域，而且隨著再入角的下移，目標(biāo)距離縮短，命中速度逐漸提高。而從表3中所示參數(shù)的變化情況可知，當(dāng)再入速度6 500 m/s，再入角 －23.8°時(shí)，彈體能夠獲得的最大命中速度為1 920 m/s，該點(diǎn)正好位于圖7中邊界曲線左側(cè)的不可行區(qū)。隨著命中速度向邊界曲線的右側(cè)移動(dòng)，逐漸進(jìn)入可行區(qū)域，目標(biāo)距變化并不大，基本在（165±5）km范圍內(nèi)，但命中速度卻有明顯提高。

表2 不同再入角對(duì)應(yīng)的最大命中速度對(duì)比

表3 不同再入速度對(duì)應(yīng)的最大命中速度對(duì)比

3 結(jié)論

文中通過制導(dǎo)律與狀態(tài)參數(shù)之間的代數(shù)關(guān)系，將包含控制量的動(dòng)能彈微分方程組轉(zhuǎn)化為由狀態(tài)參數(shù)表示的代數(shù)方程組，利用序列二次規(guī)劃法求解最優(yōu)參數(shù)問題。全文研究結(jié)果證明了兩點(diǎn):

1）通過文中設(shè)計(jì)的計(jì)算方法獲得的再入速度和最小再入角邊界曲線及可行區(qū)域分布圖是可信的，也證明了文中采用的參數(shù)優(yōu)化方法是可行的;

2）明確了再入角和再入速度對(duì)命中速度的影響，與增加再入角來提高命中速度相比，增加再入速度不但能夠增加動(dòng)能彈的命中速度而且還能夠盡可能減小離軌制動(dòng)時(shí)的燃料消耗。

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