●張明遠(yuǎn) 薛豐滿 張 博 (隴西縣第二中學(xué) 甘肅隴西 748100)

選好問題 多元表征 變式拓展 提升能力

●張明遠(yuǎn) 薛豐滿 張 博 (隴西縣第二中學(xué) 甘肅隴西 748100)

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō)過：“掌握數(shù)學(xué)意味著善于解題.”善于解題是數(shù)學(xué)教師必需的基本功，也是數(shù)學(xué)教學(xué)追求的重要目標(biāo)，更是高三師生共同追求的最高愿望.波利亞也說(shuō)過：“選擇一個(gè)有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生深入發(fā)掘題目的各個(gè)側(cè)面，使學(xué)生通過這道題目，就如同通過一道大門而進(jìn)入一個(gè)嶄新的天地.”這樣的問題能讓各類學(xué)生有工作可干，擴(kuò)大了課堂上數(shù)學(xué)活動(dòng)的參與面;對(duì)問題深入研究，將問題多元表征，會(huì)有效地?cái)U(kuò)大知識(shí)的聯(lián)系面;嘗試對(duì)問題一題多解，體驗(yàn)一題多解成功的愉悅.

教師應(yīng)有意對(duì)問題進(jìn)行變式拓展，引導(dǎo)學(xué)生探究、認(rèn)識(shí)問題本質(zhì)，在探究中體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法的普適面;應(yīng)恰當(dāng)?shù)?、不露痕跡地幫助學(xué)生，順應(yīng)學(xué)生的“原生態(tài)”的思路，對(duì)問題多角度思考，廣泛聯(lián)系，并進(jìn)行類比、拓展、延伸;應(yīng)有意給學(xué)生時(shí)間和機(jī)會(huì)，讓學(xué)生嘗試、交流、展示，是提高解題能力的有效途徑.

圖1

例1如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，延長(zhǎng) BA至點(diǎn) E，使 AE=1，聯(lián)結(jié) EC，ED，則 sin∠CED= ( )

(2012年四川省數(shù)學(xué)高考理科試題)

問題呈現(xiàn)后，讓學(xué)生閱讀題目，獨(dú)立思考，理解題意，審條件、審結(jié)論;廣泛聯(lián)系，由已知看可知，由未知看需知，尋求已知和未知之間的聯(lián)系.教師要忍得住不講，在巡視中發(fā)現(xiàn)學(xué)生的不同想法和解法，讓不同層次的學(xué)生說(shuō)自己的思路和展示自己的解法.筆者在課堂中發(fā)現(xiàn)了學(xué)生們不同的解法，分別展示如下：

生4：(向量的坐標(biāo)法)分別以AB，AD所在直線為x軸、y軸，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則 A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，E( －1，0)，從而

生5：(解析法)同生4的解法建立坐標(biāo)系，∠CED可以看成是直線EC到直線ED的角，則由到角公式得

學(xué)生們展示了7種不同的解法，讓師生深感驚訝和滿足，筆者引領(lǐng)其他學(xué)生欣賞和領(lǐng)略了這7種解法的解題過程，體驗(yàn)了解析法、向量法、三角法與方程思想的數(shù)學(xué)魅力.接著，趁熱打鐵，筆者設(shè)計(jì)了以下2個(gè)變式讓學(xué)生思考，通過類比、思考，上述方法仍然適用.

變式1將正方形ABCD改為矩形，且AB=a，BC=b，AE=c，求 sin∠CED.

變式2將正方形ABCD改為平行四邊形，且AB=a，BC=b，∠BAD=θ，AE=c，求 sin∠CED.

筆者適時(shí)拋出如下問題，讓學(xué)生體驗(yàn)解題成功的快樂.

生2：(坐標(biāo)法)分別以AB，AD所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，依題意可設(shè)A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，E(1，2)，從而

圖2

圖3

在教師的啟發(fā)下，課后一名學(xué)生對(duì)例1進(jìn)行了一般化的研究，現(xiàn)將結(jié)果展示如下：

拓展1將2個(gè)全等的四邊形(正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形等)拼在一起，聯(lián)結(jié)原來(lái)四邊形的對(duì)角線和拼接后四邊形的對(duì)角線，求它們之間夾角的正弦值.

(1)2個(gè)四邊形為全等的正方形.

如圖3，正方形ABCD，ADFE拼成矩形BCFE，求正方形對(duì)角線DE和拼接成的矩形對(duì)角線CE的夾角.

特別地，當(dāng)a=b，即2個(gè)四邊形為全等的正方形時(shí)，即為拓展1的情形(1).

圖4

圖5

拓展2將2個(gè)不全等的四邊形(正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形等)拼在一起，聯(lián)結(jié)原來(lái)四邊形的對(duì)角線和拼接后四邊形的對(duì)角線，求它們之間夾角的正弦值.

(1)2個(gè)四邊形為不全等的長(zhǎng)方形.

設(shè)AB=a，BC=b，AE=c，則

特別地，當(dāng)a=b=c，即2個(gè)四邊形為全等的正方形時(shí)，即為拓展1的情形(1);當(dāng)a=c，即2個(gè)四邊形為全等的正方形時(shí)，即為拓展1的情形(2).

(2)2個(gè)四邊形為不全等的平行四邊形.

針對(duì)復(fù)習(xí)內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，選好題目，關(guān)注每個(gè)學(xué)生的發(fā)展，使得課堂不僅僅是培養(yǎng)尖子生的學(xué)堂，更是大多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、體驗(yàn)成功的樂園.這一切源于教師的精心選題，擴(kuò)大了學(xué)生在課堂上數(shù)學(xué)活動(dòng)的參與面、動(dòng)手面;也源于教師忍住不講，有意讓學(xué)生展示、交流，將體驗(yàn)成功的機(jī)會(huì)還給學(xué)生，使他們真正成為解題的主人、解題的實(shí)踐者、享受解題成功的愉悅者.學(xué)生不再是課堂上的看客，不再是教師表演“絕技”時(shí)的欣賞者;陸游說(shuō)得好：“紙上得來(lái)終覺淺，絕知此事要躬行.”經(jīng)教師的啟發(fā)、引導(dǎo)，對(duì)問題多元表征，擴(kuò)大了知識(shí)的聯(lián)系;引領(lǐng)學(xué)生對(duì)問題變式拓展，深入探究，對(duì)結(jié)果進(jìn)行恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)評(píng)，不僅實(shí)現(xiàn)了回顧反思，而且達(dá)到激發(fā)興趣之目的.在教育教學(xué)實(shí)踐中，體驗(yàn)了“如果教師用和學(xué)生的知識(shí)相稱的題目來(lái)激起他們的好奇心，并用一些激勵(lì)性的問題去幫助他們解答題目，那么他就能培養(yǎng)學(xué)生對(duì)獨(dú)立思考的興趣，并交給他們某些方法”的重要意義.

(本文為甘肅省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“師生活動(dòng)中生成性教育資源開發(fā)和運(yùn)用的研究”成果之一，項(xiàng)目編號(hào)：2012(GSG591).)