●任旭英 (杭州第九中學(xué) 浙江杭州 310020)

向量投影的拓展學(xué)習(xí)

●任旭英 (杭州第九中學(xué) 浙江杭州 310020)

平面向量在高考中的考查從粗淺轉(zhuǎn)向深入，向量投影的考查成為一個(gè)熱點(diǎn).如：

A.∠ABC=90° B∠BAC=90°

C.AB=AC D.AC=BC

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第7題)

首先回顧向量投影的概念和它的幾何性質(zhì)：若θ是a與b的夾角，則|b|cosθ叫做向量b在a方向的投影.當(dāng)b⊥a時(shí)，向量b在a方向的投影為0.當(dāng)b與a不垂直時(shí)，向量b在a方向的投影就是有向線段(如圖1和圖2)，圖1中的有向線段是正的，而圖 2 中的有向線段是負(fù)的.

圖1

圖2

對(duì)于非零向量 a=(x1，y1)與 b=(x2，y2)，利用 a·b=|a|·|b|cosθ和 a·b=x1x2+y1y2，向量b在a方向的投影可用下面的2個(gè)公式計(jì)算：

下面舉例說(shuō)明：

1 利用向量投影求三角形的高

利用投影來(lái)計(jì)算高線長(zhǎng)，比通過(guò)列方程求垂足坐標(biāo)的方法，步驟少，計(jì)算量少，可提高計(jì)算的準(zhǔn)確率，同時(shí)使學(xué)生更進(jìn)一步理解向量運(yùn)算.

2 利用向量投影推導(dǎo)點(diǎn)到線的距離公式

例3已知直線l的方程為Ax+By+C=0，點(diǎn)Q(x0，y0)，求點(diǎn)Q到直線l的距離.

利用投影公式計(jì)算距離，比教科書(shū)中構(gòu)造直角三角形利用勾股定理計(jì)算距離思路更清晰，計(jì)算量更少，可把繁瑣的計(jì)算推理轉(zhuǎn)化成巧妙的構(gòu)思計(jì)算，從而感受到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.

圖3

圖4

3 利用向量投影推導(dǎo)三角形面積公式

注以AB與AC為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形的面積為|x1y2－x2y1|.

如果用余弦定理和正弦定理來(lái)計(jì)算三角形的面積，估計(jì)很少有學(xué)生能給出答案.答案的簡(jiǎn)潔和對(duì)稱(chēng)，會(huì)給學(xué)生震撼和成就感.

4 利用向量投影解決解析幾何大題

例5已知曲線C是到點(diǎn)和到直線距離相等的點(diǎn)的軌跡.l是過(guò)點(diǎn)Q(－1，0)的直線，M是C上(不在l上)的動(dòng)點(diǎn)，A，B在l上，MA⊥l，MB⊥x軸(如圖5).

圖5

(1)求曲線C的方程;

(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

3(x1+x2)(x1－x2)－4(y1+y2)(y1－y2)=0.因?yàn)橹本€AB不過(guò)原點(diǎn)，所以x1+x2≠0.當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，直線AB的方程為x=0，與不過(guò)原點(diǎn)的條件不符，故x1－x2≠0，于是

上述2個(gè)題目在高考中，因其煩瑣的運(yùn)算，考生的得分很低.但利用向量的方法解決問(wèn)題時(shí)，學(xué)生解題的正確率與速度都大大地提高了.

向量投影的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生更好地用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題，也能從中感受到數(shù)學(xué)的魅力.本文從向量投影的角度來(lái)解決問(wèn)題，使學(xué)生能初步感受向量投影在求距離或求面積時(shí)的通用性和優(yōu)勢(shì).