楊尚俊

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230039)

低階對稱雙隨機矩陣逆特征值問題的通解

楊尚俊

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230039)

對給定的實或復(fù)n－重Λ={λ1，…，λn}，決定是否存在以Λ為譜的非負(隨機)矩陣的問題稱為非負(隨機)矩陣逆特征值問題，這一直是非負矩陣理論中尚未完全解決的一個研究熱點.作者曾對n∈{2，3，4，5}，研究n階雙隨機矩陣逆特征值問題有解的充分條件并給出相應(yīng)解的公式.最近，又對任意正整數(shù)n，先給出行和為常數(shù)的對稱矩陣的逆特征值問題的充要條件和解的公式，后給出對稱隨機矩陣逆特征值問題有解的兩種充分條件和解的公式.論文在提出任意階對稱隨機矩陣逆特征值問題通解的概念和3階對稱隨機矩陣逆特征值問題完全通解的概念之后，首先給出3階對稱隨機矩陣逆特征值問題存在完全通解的充要條件和完全通解的公式;其次給出3階對稱隨機矩陣逆特征值問題存在通解的充要條件和通解的公式;最后給出4階對稱隨機矩陣逆特征值問題有解的幾種充分條件和相應(yīng)解的公式.

逆特征值問題的通解;對稱雙隨機矩陣逆特征值問題;特殊正交矩陣

對給定的實或復(fù)n－重Λ={λ1，…，λn}，決定是否存在以Λ為譜的非負(隨機)矩陣的問題稱為非負(隨機)矩陣逆特征值問題.由于非負矩陣(隨機)逆特征值問題具有深遠理論興趣和廣泛應(yīng)用價值，它一直是矩陣論研究的一個熱門課題［1－12］，并遠未得到滿意解決.文［11］對n∈{2，3，4，5}研究n階雙隨機矩陣逆特征值問題有解的充分條件并給出相應(yīng)解的公式.文［12］對任意正整數(shù)n先給出行和為常數(shù)的對稱矩陣的逆特征值問題的充要條件和解的公式，后給出對稱隨機矩陣逆特征值問題有解的兩種充分條件和解的公式.論文提出任意階對稱隨機矩陣逆特征值問題通解的概念和3階對稱隨機矩陣逆特征值問題完全通解的概念.

1 預(yù)備知識

沿用文［12］的定義.如果n階對稱矩陣A的n個特征值依次是λ1，…，λn，則稱A以給定的實n－重Λ=(λ1，λ2，…，λn)(n＞1)為譜;有一列是的n階正交矩陣S稱為是一個n階特殊正交矩陣;同階方陣A，B稱為是置換相似的，如果存在置換矩陣H使得B=HAH*.

定理1［12］對稱方陣A以Λ=(λ1，λ2，…，λn)(n＞1，λ1≥λ2≥…≥λn)為譜并且行和全為λk(k∈ {1，…，n})的充分必要條件是存在n階特殊正交矩陣Sn=(ξ1，ξ2，…，ξn)，un(列分塊形式)使得

從而ξ1，…，ξn是A的正交標準特征向量組，上式稱為由n階特殊正交矩陣Sn決定的A的譜分解式［12］.

定理2任何3階對稱矩陣都置換相似于下列矩陣簇

中的某個矩陣，其中

2 3階對稱隨機矩陣逆特征值問題的通解和完全通解

命題1存在以Λ=(1=λ1，λ2)為譜的2階對稱隨機矩陣的充要條件是1≥λ2≥-1.當上述條件滿足時，對稱隨機矩陣逆特征值問題有唯一解

證明必要性由隨機矩陣的譜半徑是1直接推出.充分性顯然，因以Λ為譜的矩陣(3)在條件1≥ λ2≥-1下是對稱隨機矩陣.下證解的唯一性.若A是以Λ為譜的對稱隨機矩陣，則是A的對應(yīng)特征值1的單位特征向量，對應(yīng)特征值λ2的單位特征向量是與u2正交的單位向量:，從而.所以，矩陣(3)在條件1≥λ2≥ -1下是唯一的以Λ為譜的對稱隨機矩陣.

引理1令

其中:S3(x)=(u3，ξ2(x)，ξ3(x))(列分塊形式)是由(2)式定義的特殊正交矩陣簇，則由(4)式定義的以Λ=(1=λ1，λ2，λ3)為譜、并且行和全為1對稱矩陣簇(定理1)滿足

證明因為

其中:α=2x2+2x+2＞0，x∈［0，1］.公式(5)給出

≥0，蘊含min{a11(x)，a22(x)，a33(x)}=a33(x)，0≤x≤1.當2+3λ2+λ3＞0時，有

當2+3λ2+λ3≤0時，有

因為1+2λ2≥1+2λ3，2+λ2+3λ3≥2+4λ3=2(1+2λ3)，所以

因為2+3λ2-5λ3≥2-2λ3≥2-3λ2+λ3蘊含a13(x)≥a23(x)，0≤x≤1.再注意到3α(a23(x)－a12(x))=3(1－x2)(λ2－λ3)≥0，有min{a12(x)，a13(x)，a23(x)}=a12(x)，0≤x≤1.當2－2λ3＞0時，有

當2-2λ3=0時，有

因為2+λ2-3λ3≥0，2-2λ3≥0，所以，

定義1 n階對稱隨機矩陣的集合Ω，稱為以已知實n重Λ=(1=λ1，λ2，…，λn)(1＞λ2≥…≥λn≥-1)為譜的n階對稱隨機矩陣逆特征值問題的通解，如果Ω的每個矩陣都是該逆特征值問題的解，并且該逆特征值問題的任何一個解都與Ω的某個矩陣置換相似.如果(4)(即(5))給出的以Λ=(1=λ1，λ2，λ3)(1≥λ2≥λ3≥-1)為譜的矩陣簇A(x)，0≤x≤1全是隨機矩陣，則稱它為以Λ為譜的3階對稱隨機矩陣逆特征值問題的完全通解.

注1由命題1知:存在以Λ=(1=λ1，λ2)為譜的2階對稱隨機矩陣逆特征值問題的通解的充要條件是1≥λ2≥-1，并且該通解是一元集顯而易見，3階對稱隨機矩陣逆特征值問題的完全通解A(x)的參數(shù)x定義在整個閉區(qū)間［0，1］上，而3階對稱隨機矩陣逆特征值問題的非完全通解A(x)的參數(shù)x則只能是定義在［0，1］的某個真子集上.

定理3存在以Λ=(1=λ1，λ2，λ3)(1≥λ2≥λ3≥-1)為譜的3階對稱隨機矩陣逆特征值問題的完全通解充要條件是

并且該通解由(5)給出.

證明按定理2，任何以Λ為譜的、行和全為1的任何3階對稱矩陣(包括任何對稱隨機矩陣在內(nèi))，必須置換相似于(5)(即(1))中的某個矩陣A(x)=S3(x)diag(1，λ2，λ3)ST3(x)，x∈［0，1］.按引理1，條件(6)是對每個x∈［0，1］，(5)(即(4))的矩陣A(x)都是非負矩陣，即都是對稱隨機矩陣的充要條件.這就證明，(6)是3階對稱隨機矩陣逆特征值問題有完全通解的充要條件并且通解由(5)給出.

如所周知，當且僅當二次多項式f(x)=ax2+bx+c，a≠0的判別式Δ=b2－4ac大于或等于0時，f(x)才有2實根x±=，并且當a＞0(a＜0)時，x在區(qū)間(－∞，x－］∪［x+，∞)(［x－，x+］)上有f(x)≥0.

不難看出:二次多項式3αa33(x)=(2+3λ2+λ3)x2+(2+4λ3)x+2+4λ3有2個不同實根

的充要條件是1+2λ3＜0＜1+2λ2，并且當2+3λ2+λ3＞0時，有u－＜0＜u+;二次多項式3αa12(x) =(2－2λ3)x2+(2－3λ2+λ3)x+2－3λ2+λ3有2不同實根

的充要條件是2－3λ2+λ3＜0＜2+λ2－3λ3，并且當2+3λ2+λ3＞0時，有v－＜0＜v+.

定理4以Λ=(1=λ1，λ2，λ3)(1≥λ2≥λ3≥-1)為譜的3階對稱隨機矩陣逆特征值問題存在通解的充要條件是

其通解A(x)=S3(x)diag(1，λ2，λ3)ST3(x)由(5)式給出，并且，A(x)的定義域是:當min{1+2λ3，2－3λ2+λ3}≥0時，x∈［0，1］;當1+2λ3≥0和2－3λ2+λ3＜0時，x∈［v+，1］;當1+2λ3＜0和2－3λ2+λ3≥0時，x∈［u+，1］;當1+2λ3＜0和2－3λ2+λ3＜0時，x∈［max{u+，v+}，1］.

證明設(shè)A(x)=(aij(x))=S3(x)diag(1，λ2，λ3)ST3(x)，0≤x≤1是以Λ為譜的并由特殊正交矩陣S3(x)決定的、行和全為1的3階對稱矩陣簇(5).對i，j∈{1，2，…，n};x∈［0，1］，以Nij(x)記aij(x)的非負區(qū)間，即滿足，aij(x)≥0當且僅當x∈Nij(x)，并令Nij=∪0≤x≤1Nij(x).由定理3知: A(x)是以Λ為譜的3階對稱隨機矩陣逆特征值問題解的充要條件是x∈Ω=∩1≤i，j≤3Nij.所以，3階對稱隨機矩陣逆特征值問題存在通解的充要條件是Ω≠?，并且當Ω≠?時其通解可由定義域為Ω的矩陣簇(5)給出.因為Nij(x)=Nji(x)，i，j∈{1，2，3}，x∈［0，1］;同時，由引理1的證明知N22(x)?N11(x)N33(x)?N11(x)，N12(x)?N23(x)?N13(x)，x∈［0，1］，所以，Ω=N33∩N12.

若條件(9)不成立，則2+4λ3≤2+λ2+3λ3＜0，在此情況下，如果2+3λ2+λ3＜0，那么按引理1，有3αa33(x)＜0對任意x∈［0，1］成立;如果2+3λ2+λ3＜0，那么3αa33(x)≤(2+3λ2+ λ3)x+(2+4λ3)x+2+4λ3=3(2+λ2+3λ3)＜0對任意x∈［0，1］成立.所以，(9)不成立將蘊含N33=?，從而Ω=?，得證條件(9)的必要性.

為證其充分性，只需證明:(9)蘊含Ω≠?即可.設(shè)(9)成立，則1+λ2+λ3≥0.按引理1，若1+2λ3≥0，則N33=［0，1］;若1+2λ3＜0，則1+2λ3＜0≤(2+λ2+3λ3)=1+2λ2，u－＜min {0，u+}從而N33=［0，1］∩(［－∞，u－］∪［u+，∞］)=［u+，1］;若2－3λ2+λ3≥0，則N12=［0，1］;若2－3λ2+λ3＜0，則λ2＞λ3;v－＜min{0，v+}，從而N12=［0，1］∩(［－∞，v－］∪［v+，∞］)=［v+，1］.為了完成本定理的證明，只需證明max{u+，v+}≤1(從而Ω=N33∩N12∈{［0，1］，［u+，1］，［v+， 1］，［max{u+，v+}}非空)即可.事實上，按(7)u+＞1等價于3λ2+λ3，但這是不可能的，因為在條件(9)下，這個不等式等價于下列矛盾式

但這是不可能的，因為，這個不等式等價于下列矛盾式

例1因Λ1=(1，0，－0.25)滿足定理3的條件(6)，故不存在以它為譜的3階對稱隨機矩陣逆特征值問題的完全通解A(x)，其中

是對稱矩陣，α=2(x2+x+1).

因Λ1滿足文［12］中定理3.1的條件，從而用該定理的方法可求得一個以Λ1譜的對稱隨機矩陣是

例2因Λ2=(1，0，－0.6)不滿足定理3的條件(6)，故不存在以它為譜的3階對稱隨機矩陣逆特征值問題的完全通解.但因Λ1滿足文［12］中定理3.1的條件，從而用該定理的方法可求得一個以Λ2譜的對稱正隨機矩陣是A*此外，Λ2滿足條件(6)，從而按定理4，存在以Λ2為譜的3階對稱隨機矩陣逆特征值問題的通解.

因1+2λ3＜0≤2+3λ2+λ3，0＜0＜u+==0.535 14＜1，故N33=［u+，1］;因2－3λ2+λ3＞0，故N12=［0，1］.從而，Ω=N33=［0.535 14，1］≠?.最后求得通解是

值得注意的是:由此通解公式也可推出A(1)=A*是以Λ2為譜的3階對稱隨機矩陣.

3 4階對稱隨機矩陣逆特征值問題的充分條件

文［12］給出下列幾個實質(zhì)不同的4階特殊正交矩陣

和含1個參數(shù)x的4階特殊正交矩陣簇

利用文［12］的定理5和4階特殊正交矩陣S*4可推出命題2.

命題2令Λ=(1=λ1，λ2，λ3，λ4)(1≥λ2≥λ3≥λ4≥-1).若

利用文［12］的定理3.2和4階特殊正交矩陣S4可推出命題3.

命題3令Λ=(1=λ1，λ2，λ3，λ4)(1≥λ2≥λ3≥λ4≥-1)，β=－1)/(n－1).若

則存在由特殊正交矩陣S4決定的，以Λ為譜的4階對稱隨機矩陣

命題4令Λ=(1=λ1，λ2，λ3，λ4)(1≥λ2≥λ3≥λ4≥-1).若

則存在由特殊正交矩陣S'4決定且以Λ為譜的4階對稱隨機矩陣

證明按定理1，A=S'4diag(1，λ2，λ3，λ4)(S'4)T以Λ為譜并且行和全為1.注意到1-λ2≥0，1+λ2-2λ4≥0，1+λ2+λ3≥1+λ2+λ4并且當λ4＜0時，1+λ2+λ4≥1+λ2+2λ4;當λ4≥0時，1+λ2+λ4≥0.因此，在條件(19)下，上面以Λ為譜的行和全為1的對稱矩陣A是非負矩陣，從而是對稱隨機矩陣.證畢.

定理5令Λ=(1=λ1，λ2，λ3，λ4)(1≥λ2≥λ3≥λ4≥-1).若

則存在由特殊正交矩陣S4(x)決定含1個參數(shù)x且以Λ為譜的4階對稱隨機矩陣簇

證明按定理1對稱矩陣簇(22)的每個矩陣都以Λ為譜并且行和全為1，故只需證明:在條件(19)下對稱矩陣簇(22)的每個矩陣都是非負矩陣(隨機矩陣)即可.把矩陣簇(22)改寫為

是由(2)定義的含參數(shù)x的特殊正交矩陣簇.在條件(21)下，A(x)第1行列的元素全大于等于0.令W(x)=(wij(x))，需要證明:在條件(21)下，對任意x∈［0，1］，i，j=1，…，n，都有wij(x)≥0.令α =2x2+2x+2，則對任意x≥0，都有α＞0.直接計算給出

因3α(w11(x)－w33(x))=(3－3x2)(λ3－λ4)≥0，3α(w22(x)－w33(x))=(6x+3)(λ3－λ4)≥0，故min{w11(x)，w22(x)，w33(x)}=w33(x)，0≤x≤1.在條件(21)下，有

又因3α(w13(x)－w12(x))=3(λ3－λ4)≥0，3α(w23(x)－w12(x))=3(λ3－λ4)(1－x2)≥0，故min{w12(x)，w13(x)，w23(x)}=w12(x)，0≤x≤1.在條件(21)下有

這就證明了:在條件(21)下在閉區(qū)間［0，1］上的單參數(shù)對稱隨機矩陣簇(22)的每個矩陣A(x)都以Λ為譜.證畢.

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(責(zé)任編輯 朱夜明)

On the inverse eigenvalue problem for symmetric doubly stochastic matrices of order two to four

YANG Shang－jun
(School of Mathematical Science，Anhui University，Hefei 230039，China)

Given an n－tupleΛof numbers，real or complex，the problem of deciding the existence of a nonnegative(stochastic)matrix with spectrumΛis called the nonnegative(stochastic)inverse eigenvalue problem.This problem has long time been one of the problems ofmain interest in the theory of matrices.Other reference gave the sufficient conditions for doubly stochastic inverse eigenvalue problem of order two to five to have a solution and the formulas of the corresponding solution，and firstly gave the sufficient conditions for constant row sums symmetric inverse eigenvalue problem(of any order)to have a solution and the formula of corresponding solution，and then gave the sufficient conditions for the symmetric stochastic inverse eigenvalue problem to have a solution and the corresponding solution.In this paper，after presenting the concept of general solution of an inverse eigenvalue problem(of any order)and the concept of totally general solution of a 3×3 symmetric doubly stochastic inverse eigenvalue problem，we firstly gave the sufficient and necessary conditions for a 3×3 symmetric doubly stochastic inverse eigenvalue problem to had the totally general solution with the formula of the totally general solution，secondly gave the sufficient and necessary conditions for a 3×3 symmetric doubly stochastic inverse eigenvalue problem to had thegeneral solution with the formula of the totally general solution，and finally gave several sufficient conditions for a 4×4 symmetric doubly stochastic inverse eigenvalue problem to had a solution with the formula of the general solution.

general solution of an inverse eigenvalue problem;symmetric doubly stochastic inverse eigenvalue problem;typical orthogonalmatrix

O151.2

A

1000－2162(2014)04－0001－08

10.3969/j.issn.1000－2162.2014.04.001

2014－01－02

安徽大學(xué)創(chuàng)新團隊基金資助項目(KJTD001B)

楊尚俊(1937—)，男，貴州貞豐人，安徽大學(xué)教授，碩士生導(dǎo)師.