周建偉

(蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇蘇州215006)

本文用射影幾何觀點(diǎn)討論二次曲線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的性質(zhì), 有關(guān)極點(diǎn), 極線, 共軛等概念可參閱射影幾何教材[1],[2]. 熟悉歐氏幾何的讀者可以嘗試用平面幾何的方法證明這些結(jié)論, 作進(jìn)一步的研究.

平面上二次曲線可以是橢圓, 雙曲線或拋物線, 把圓看成特殊的橢圓. 本文有些材料取自[2], 例如定理1,3, 為了完整寫出了它們的證明. 下面是焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的射影幾何定義.

定義如果過(guò)歐氏平面上點(diǎn)F的任意一對(duì)關(guān)于二次曲線共軛的直線都垂直,那么F叫做二次曲線的焦點(diǎn),F的極線是準(zhǔn)線.

可以證明這樣定義的焦點(diǎn)與通常的定義一樣, 且焦點(diǎn)總在對(duì)稱軸上. 下面利用這一射影幾何定義討論二次曲線有關(guān)焦點(diǎn)的性質(zhì).

定理1設(shè)F是二次曲線的一個(gè)焦點(diǎn),T是曲線上弦PQ端點(diǎn)處切線的交點(diǎn),PQ交F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線于R, 則TF與RF分別是∠PFQ的內(nèi)外角平分線.

證如圖1,ξ是F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線. 易知R的極線是TF, 因此直線FR與TF共軛. 由假設(shè)F是焦點(diǎn),FR與TF垂直.P,Q,S=FT×PQ,R是調(diào)和點(diǎn)列,FP,FQ,FS,FR是調(diào)和直線. 再由FR與FS垂直, 可知TF與RF是∠PFQ的內(nèi)外角平分線.

如圖2, 如果定理1中二次曲線是雙曲線,P,Q分別是雙曲線兩支上點(diǎn). 則RF1是∠PF1Q的內(nèi)角平分線, 而TF1是∠PF1Q的外角平分線.

圖1 圖2

利用定理1容易得到：

下面的引理在討論二次曲線焦點(diǎn)的性質(zhì)時(shí)常有用, 證明見(jiàn)[2] p.153例4.

引理2設(shè)三角形ABC的三邊分別與二次曲線切于D,E,F, 設(shè)P為直線EF上任一點(diǎn), 則直線BP與CP關(guān)于二次曲線共軛.

定理3如果三角形的三邊都與拋物線相切, 則三角形的三個(gè)頂點(diǎn)與焦點(diǎn)四點(diǎn)共圓.

圖3-1 圖3-2

證如圖3-1, 設(shè)拋物線上點(diǎn)A,B的切線交于C, 拋物線頂點(diǎn)D處的切線與CA,CB分別交于S,T;F是拋物線的焦點(diǎn). 先證明C,S,T,F四點(diǎn)共圓. 過(guò)F作CA的平行線與CA交于P∞,C∞是拋物線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn), 圖3-2畫(huà)出了無(wú)窮遠(yuǎn)直線. 由引理2,SF與FP∞共軛, 而F是焦點(diǎn),SF與FP∞垂直,SF與CA也垂直. 同理,TF與CB也垂直, 四點(diǎn)C,S,T,F共圓.

由證明可以得到拋物線焦點(diǎn)的作法:

設(shè)拋物線的任一切線η交拋物線的頂點(diǎn)處切線于S, 過(guò)S作η的垂線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)F就是焦點(diǎn).

從定理3的證明還可以得出拋物線焦點(diǎn)的光學(xué)性質(zhì)：

定理4設(shè)η是拋物線的任一切線, 直線ξ過(guò)η上切點(diǎn)A平行于拋物線的對(duì)稱軸,F是焦點(diǎn), 則AF,ξ與η的交角相等.

證如圖4, 設(shè)E是η與拋物線對(duì)稱軸DF的交點(diǎn),S是頂點(diǎn)D處切線與η的交點(diǎn). 由定理1,SF是∠AFE的角平分線; 從定理3的證明知道,FS垂直于η,所以∠EAF=∠AEF,EFA構(gòu)成等腰三角形, 這證明了拋物線焦點(diǎn)的光學(xué)性質(zhì).

圖4 圖5

定理5二次曲線的任一切線上切點(diǎn)及它與準(zhǔn)線的交點(diǎn)所成線段對(duì)焦點(diǎn)張成直角.

證如圖5,F1是焦點(diǎn), 二次曲線上點(diǎn)P處切線與F1對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線ξ1交于Q, 則Q與P,F1都共軛,Q的極線是PF1, 所以PF1與QF1共軛. 從焦點(diǎn)的定義可知,QF1與PF1垂直.

下面利用焦點(diǎn)的射影定義推出離心率的概念.

定理6二次曲線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比是一個(gè)常數(shù), 稱為二次曲線的離心率.

圖6

證如圖6, 設(shè)ξ是焦點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線.P是二次曲線上任一點(diǎn),B是ξ與過(guò)F的對(duì)稱軸的交點(diǎn),C是P向ξ作垂線的垂足,PC∥BF. 如圖6, 設(shè)A是BF與二次曲線的交點(diǎn),下證 |PF|∶|PC|=|AF|∶|AB|.

設(shè)P,A處切線交于D,AP與ξ交于E,EF交CP于G. 由定理1知道,DF與EF分別是∠PFA的內(nèi)外角平分線. 在ΔPFG中∠PFG=∠PGF, 從而|PG|=|PF|. 在ΔECG中,BF∥CG, 因此|CP|∶|PF|=|CP|∶|PG|=|BA|∶|AF|是常數(shù).

如果圖6中二次曲線是拋物線, 則B,F,A與拋物線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)是調(diào)和點(diǎn)列,BA=AF,拋物線的離心率等于1. 利用標(biāo)準(zhǔn)方程, 易知橢圓的離心率小于1,雙曲線的離心率大于1.利用定理6容易證明:

定理7橢圓上點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和是常數(shù); 雙曲線到兩焦點(diǎn)距離之差是常數(shù).

這樣, 上面定義的焦點(diǎn)與中學(xué)平面幾何定義的焦點(diǎn)是一致的.

定理8設(shè)F1,F2是橢圓的焦點(diǎn),ξ是橢圓過(guò)P的切線, 則F1P與F2P和ξ的夾角相等.

證可以用橢圓的離心率證明, 下面的證明可以給出更多的幾何信息.

圖7

如圖7, 過(guò)橢圓頂點(diǎn)A,B的切線交ξ于C,D. 由定理1,CF1,DF1與DF2,CF2分別是∠AF1P, ∠BF2P的角平分線. 記S=CF2×DF1,CF2,DF1,PS是ΔPF1F2的角平分線. 由引理2,CF1,DF1;CF2,DF2共軛且垂直, 四點(diǎn)C,F1,F2,D共圓,

∠CDF1=∠CF2F1=∠BDF2,

∠F1CP=∠DF2B=∠PF2D, ∠F2DP=∠AF1C=∠CF1P.

因此ΔCF1P與ΔF2DP相似, ∠CPF1=∠DPF2.

這也給出了橢圓焦點(diǎn)的作法：

設(shè)AB是橢圓的長(zhǎng)軸,橢圓的任一切線交A,B處切線于C,D, 以CD為直徑的圓與AB的交點(diǎn)F1,F2就是橢圓的焦點(diǎn).

定理9設(shè)ξ是雙曲線過(guò)P的切線, 則F1P與F2P和ξ的夾角相等,F1,F2是焦點(diǎn).

證如圖8, 設(shè)A,B是F1F2與雙曲線的交點(diǎn), 過(guò)B的切線與ξ交于C. 由定理1,

∠PF1C=∠CF1B, ∠PF2C=∠CF2B,

因此CP也是∠F1PF2的平分線.

定理8, 9分別是橢圓與雙曲線焦點(diǎn)的光學(xué)性質(zhì).

圖8 圖9

定理10如果拋物線的兩切線垂直, 那么兩切線上切點(diǎn)的連線通過(guò)焦點(diǎn), 且兩切線的交點(diǎn)位于準(zhǔn)線上.

證如圖9, 設(shè)AC,BC是拋物線互相垂直的切線,F是焦點(diǎn), 過(guò)拋物線的頂點(diǎn)D作DF的垂線交AC,BC于G,H. 從定理3的證明可知,HF⊥CB,GF⊥AC,CHFG是矩形. 由定理1,GF與HF分別是∠AFD,∠DFB的平分線, 這證明了A,F,B共線,也證明了C與F共軛. 所以C在準(zhǔn)線上,AB過(guò)焦點(diǎn).

也可以證明, 交點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上的兩切線垂直.

定理11拋物線的外切三角形的垂心在拋物線的準(zhǔn)線上.

證設(shè)ΔABC外切于拋物線. 如果∠BAC是直角,A也是ΔABC的垂心. 由定理10,A在準(zhǔn)線上. 設(shè)ξ,η是拋物線的兩條不垂直的定切線，由Steiner定理, 拋物線的其它切線與ξ,η的交點(diǎn)給出這兩直線間的射影映射ψ. 如果 另一切線交ξ,η于B,C, 則ψ(B)=C. 所有與ξ垂直的直線交于一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)P∞, 同理設(shè)Q∞是η的垂線的交點(diǎn). 由此可得線束P∞與Q∞間的射影映射φ, 它把過(guò)B的垂線變?yōu)檫^(guò)C的垂線,φ的對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)就是拋物線相應(yīng)外切三角形的垂心. 對(duì)于拋物線, 無(wú)窮遠(yuǎn)直線是切線, 易知它也是φ的不變直線,φ是透視, 因此它的對(duì)應(yīng)直線交點(diǎn)共線. 分別取垂直于ξ,η的切線, 這時(shí)對(duì)應(yīng)三角形的垂心在準(zhǔn)線上, 因此φ決定的直線就是準(zhǔn)線. 我們證明了拋物線的外切三角形的垂心在拋物線的準(zhǔn)線上.

以下是一些有關(guān)二次曲線焦點(diǎn)準(zhǔn)線的問(wèn)題, 讀者可以試著給出證明.

1. 圓錐曲線的準(zhǔn)線與一對(duì)不垂直的共軛直徑所成三角形的垂心是焦點(diǎn).

2. 設(shè)等邊ΔABC的三邊與拋物線相切, 三邊BC,CA,AB上切點(diǎn)分別是A′,B′,C′, 則AA′,BB′,CC′相交于拋物線的焦點(diǎn).

3. 證明圓錐曲線過(guò)焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)軌跡是同類型的圓錐曲線.

4. 設(shè)F,ξ,D分別是拋物線的焦點(diǎn), 準(zhǔn)線, 頂點(diǎn),P是拋物線上任意一點(diǎn),H是由P向ξ作垂線的交點(diǎn). 證明點(diǎn)X=HF×PD的軌跡是一個(gè)橢圓.

5. 設(shè)F是拋物線的焦點(diǎn),過(guò)拋物線上點(diǎn)A,B的切線交于C, 證明：ΔCAF與ΔBCF相似.由此可得已知拋物線的焦點(diǎn)及它的一條切線及切點(diǎn)作拋物線的其它切線切點(diǎn)的方法.

6. 設(shè)拋物線上弦PQ垂直于P處切線,T是P,Q處切線的交點(diǎn),F是焦點(diǎn), 過(guò)P垂直于PF的直線交TF于C. 證明:TF=FC,CQ⊥TC.

7. 設(shè)橢圓的直徑AB端點(diǎn)處切線與橢圓上點(diǎn)P的切線交于C,D;E是CF1,DF2的交點(diǎn),F1,F2是焦點(diǎn). 試證,ΔCPF1與ΔF2PD,ΔCED相似, ∠CED=∠CPF1是定角(與直徑AB的選取無(wú)關(guān)).

8. 設(shè)AA′是橢圓的長(zhǎng)軸,F1,F2是焦點(diǎn),P是橢圓上任意一點(diǎn),F1Y,F2Y′垂直于P處切線,Y,Y′是垂足. 證明:X=AY×A′Y′的軌跡是一個(gè)橢圓.

9. 設(shè)橢圓上點(diǎn)P與焦點(diǎn)F1,F2的連線交橢圓于另外兩點(diǎn)Q,R;Q,R處切線交于T, 證明：PT是∠QPR的平分線, 且PT垂直于P處切線.

10. 設(shè)F是拋物線的焦點(diǎn), 過(guò)準(zhǔn)線ξ上點(diǎn)D作拋物線的切線,切點(diǎn)分別是A,B. 證明：DA,DB分別是DF與ξ成兩角的平分線. 由此可以得到已知拋物線的焦點(diǎn)準(zhǔn)線作拋物線上點(diǎn)與切線的方法.

11. 設(shè)F,ξ是圓錐曲線的一對(duì)焦點(diǎn)準(zhǔn)線,T是曲線上點(diǎn)P,Q處切線的交點(diǎn), 這兩條切線分別交準(zhǔn)線于E,S. 證明：∠EFT=∠TFS.

12. 設(shè)橢圓上點(diǎn)P的切線與對(duì)稱軸F1F2交于T,PF1,PF2交橢圓于Q,R,QR交F1F2于S,F1,F2是焦點(diǎn). 試證:SF1=F2T.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] Busemann H, Kelly P。 射影幾何與射影度量[M]. 周紀(jì)安,等譯.天津：天津師大出版社, 1985.

[2] 周建偉, 高等幾何[M], 北京: 高等教育出版社, 2003.