王佳秋， 王 葳， 鄧 慧， 馬松林

(1.黑龍江科技大學(xué)理學(xué)院，哈爾濱150027； 2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院，哈爾濱150001)

1 引 言

2 道路基礎(chǔ)描述

2.1 道路等級(jí)介紹

道路的形式化表達(dá)是分析和研究的基礎(chǔ)，道路描述或者用時(shí)域的統(tǒng)計(jì)數(shù)字特征——道路不平順均值、方差、時(shí)域或時(shí)差域的更高階統(tǒng)計(jì)量(高階矩)描述，或者用頻域的Fourier頻譜、PSD函數(shù)、譜矩來描述.在我國道路功率頻譜密度(PSD)函數(shù)由冪律函數(shù)形式給出[1],將功率頻譜密度PSD描述轉(zhuǎn)換成有理函數(shù)形式.定理指出只要平穩(wěn)序列的譜密度是有理函數(shù)形式，則它一定是一個(gè)ARMA或AR時(shí)間序列模型，這為應(yīng)用時(shí)序方法建立道路模型奠定了理論基礎(chǔ).

有理函數(shù)功率譜參數(shù)估計(jì)不平路面度功率譜的有理函數(shù)形式之一為[2]

(2-1)

式中A為常數(shù)(1/m)；Q為常數(shù)(m)；σ為空間頻率(c/m).

文獻(xiàn)中僅給出了瀝青、水泥及粗糙路面的A,Q數(shù)值，而未給出通用的將路面分為五級(jí)的數(shù)值.1987年Robson等人提出了路面不平度功率譜的一種冪函數(shù)公式，該式可轉(zhuǎn)變成如下形式：

(2-2)

式中Csp為路面不平度系數(shù)(m2/c/m)，σ1為空間頻率下限(值為0.1c/m)，σ2為空間頻率上限(值為2c/m).式(2-1)中的A及Q是常數(shù)，式(2-2)中的Csp由實(shí)驗(yàn)測(cè)得.而兩式描述的是同一隨機(jī)過程，因此式(2-1)中的常數(shù)可由給定的式(2-2)通過非線性參數(shù)估計(jì)的方法確定，其模型為

(2-3)

式中c1,c2為常數(shù)，m為所取空間頻率σ的個(gè)數(shù).

公式(2-3)構(gòu)成典型的非線性約束最優(yōu)化問題，一些通用軟件可用于該問題的求解，優(yōu)化結(jié)果列于表2-1中.

表 2-1 參數(shù)估計(jì)值

上述主要將功率頻譜密度描述轉(zhuǎn)換成有理函數(shù)形式，介紹關(guān)于道路級(jí)別的評(píng)定方法.這里只介紹了五個(gè)級(jí)別路面的相關(guān)數(shù)值，為后文給出一維路面高度數(shù)據(jù)并且評(píng)定其路面等級(jí)提供參考.

3 非標(biāo)準(zhǔn)道路時(shí)序模型

已知測(cè)量道路數(shù)據(jù)序列即道路樣本{xi}且足夠長,建立模型的過程如下：

3.1 對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)序列進(jìn)行預(yù)處理

包括剔除異常值，數(shù)據(jù)平滑化，非平穩(wěn)序列經(jīng)一次或多次差商(差分)后的平穩(wěn)化，非零均值序列的零均值化等.

抽取某醫(yī)院在接收的患有2型糖尿病的晚期非小細(xì)胞肺癌的患者，共136例，且所選的所有患者均符合國際通用的糖尿病和非小細(xì)胞肺癌的診斷標(biāo)準(zhǔn)，將這些患者平均且隨機(jī)的分為兩組，即對(duì)照組和試驗(yàn)組，每組68例。其中，試驗(yàn)組患者包括男性病患34例，女性患者 34 例，年齡38～74 歲，平均(54.8±12.4)歲；對(duì)照組包括男性患者33例，女性患者35例，年齡39～76歲，平均(55.3±13.1)歲。對(duì)兩組的一般資料統(tǒng)計(jì)學(xué)處理，結(jié)果發(fā)現(xiàn)差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＞0.05），具有可比性。

3.2 模型識(shí)別和定階

3.3 確定模型參數(shù)和檢驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦m用性

對(duì)AR模型前已確定階次,故容易得到模型參數(shù)的估計(jì)值.常用的估計(jì)模型參數(shù)的方法有矩方法、最小二乘法和極大似然法.當(dāng)樣本滿足正態(tài)分布且足夠長時(shí)，采用最小二乘法估計(jì)參數(shù)可得到與采用極大似然法基本一致的結(jié)果，最小二乘法就是使得殘差平方和達(dá)到最小條件下所得到的對(duì)未知參數(shù)的估計(jì)值.由于時(shí)序模型的譜密度僅依賴于有限參數(shù)——自回歸系數(shù)、滑動(dòng)平均系數(shù)及輸入白噪聲的方差，因此可以通過對(duì)時(shí)序模型的譜估計(jì)轉(zhuǎn)化得到對(duì)模型參數(shù)的估計(jì)，而其中參數(shù)化的譜估計(jì)以最大熵譜估計(jì)方法為代表，與AR模型的線性自回歸不同，ARMA模型的回歸是非線性的，不能用最小二乘法估計(jì)出模型的參數(shù)，而需用非線性最小二乘法——泰勒級(jí)數(shù)展開線性化或廣義最小二乘法，其計(jì)算過程復(fù)雜、計(jì)算量很大.常用矩方法估計(jì)ARMA模型參數(shù)，也可用二級(jí)最小二乘法估計(jì)模型參數(shù)，即首先導(dǎo)出一足夠高階的AR模型，然后利用AR模型估計(jì)ARMA模型的輸入輸出互相關(guān)特性并進(jìn)而確定其參數(shù).

進(jìn)行模型適用性檢驗(yàn)，時(shí)序方法中發(fā)展了一系列的準(zhǔn)則以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪m用性，這些準(zhǔn)則主要有：白噪聲檢驗(yàn)準(zhǔn)則，殘差平方和檢驗(yàn)準(zhǔn)則.適用性檢驗(yàn)對(duì)于時(shí)序模型而言，實(shí)質(zhì)上就是模型定階，尤其對(duì)ARMA模型，可以稱這些準(zhǔn)則為定階準(zhǔn)則.如果模型通過了適用性檢驗(yàn)則模型是正確的，且具有所需的模擬精度，該模型能被外推用于道路數(shù)據(jù)庫模型中.

4 道路平整度實(shí)例分析

4.1 數(shù)據(jù)的采集

本文所用到的數(shù)據(jù)是由道路綜合檢測(cè)車對(duì)實(shí)際路段測(cè)得.該設(shè)備是由哈爾濱工業(yè)大學(xué)交通學(xué)院侯相深，馬松林，王華等人自行開發(fā)設(shè)計(jì)，是采用電腦自動(dòng)化檢測(cè)技術(shù)、以測(cè)距傳感器和定位傳感器為工具的多點(diǎn)車轍測(cè)量儀，可通過USB接口的傳輸線將采集的數(shù)據(jù)存入在檢測(cè)車上的便攜式處理器，進(jìn)行數(shù)據(jù)處理.檢測(cè)車由16個(gè)傳感器組成，可以同時(shí)測(cè)量一個(gè)行車道斷面的16個(gè)點(diǎn)，并且可以連續(xù)密集的采集路面表面的數(shù)據(jù).經(jīng)室內(nèi)標(biāo)定，該儀器的測(cè)量相對(duì)誤差均在1%以下，如表4-1所示，完全可以滿足工程要求[3].

表 4-1 標(biāo)定的相對(duì)誤差(%)

本文所采用的數(shù)據(jù)是道路綜合所得，橫向一共有16個(gè)測(cè)點(diǎn)，每點(diǎn)間隔0.2米，截取其中50米路段的數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)際建模.采集的車轍數(shù)據(jù)經(jīng)去除抖動(dòng)處理后，本文只研究一維數(shù)據(jù)，一共250個(gè)數(shù)據(jù).見表4-2.

表4-2 路面高度數(shù)據(jù)(mm)

圖1 路面高程度 圖2 零均值化序列的自相關(guān)函數(shù)

4.2 數(shù)據(jù)的處理

由于時(shí)間序列模型建立在嚴(yán)密的統(tǒng)計(jì)學(xué)理論基礎(chǔ)之上，因此對(duì)樣本的容量、樣本的性質(zhì)有一定的要求.首先，它要求樣本容量最好要50個(gè)以上只有這樣才使得后模型診斷與檢驗(yàn)有意義；其次，它要求樣本時(shí)間序列必須是一個(gè)平穩(wěn)過程.

選擇的樣本Xt除了滿足上述兩個(gè)條件以外還要要滿足使用近期的數(shù)據(jù)這樣對(duì)以后路面研究的實(shí)用性更強(qiáng).本文的樣本選取長度為50米.由于檢測(cè)車每隔0.2米一測(cè)，所以一共250個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，顯然，該序列為隨機(jī)時(shí)間序列，其容量滿足條件要求.用Matlab軟件畫出該序列的趨勢(shì)圖，如圖1所示.通過對(duì)時(shí)序圖的趨勢(shì)觀察，發(fā)現(xiàn)該時(shí)間序列不滿足平穩(wěn)性的條件，由此可見該隨機(jī)過程為非平穩(wěn)的時(shí)間序列.

4.3 平穩(wěn)性的檢驗(yàn)

由時(shí)間序列圖可以看出有明顯的趨勢(shì)性，需要將時(shí)間序列平穩(wěn)化.在前面已經(jīng)給出了平穩(wěn)化的方法中較有效地方法是采用差分法，若一次差分后序列還不滿足平穩(wěn)性條件，可以進(jìn)行二次差分，直到得到的序列是平穩(wěn)的時(shí)間序列為止.

首先進(jìn)行一步差分，其差分的格式為

ΔXk=Xk+1-Xk,k=1,2,…,95.

記

Yk=ΔXk,k=1,2,…,95,

可得一次差分后的時(shí)間序列.再對(duì)一階差分后的數(shù)據(jù)進(jìn)行零均值化.

采用自相關(guān)系數(shù)圖檢驗(yàn)法[4].如果差分后所得的平穩(wěn)時(shí)間序列為白噪聲時(shí)間序列，那么該序列的自相關(guān)系數(shù)將近似服從均值為零,所以可給出置信度為95%的置信區(qū)間.若在該區(qū)間內(nèi)則說明樣本間存在相關(guān)性，即可得出該序列并非白噪聲序列.

樣本自協(xié)方差函數(shù)為

樣本自相關(guān)函數(shù)

表4-3 零均值化后的自相關(guān)系數(shù)

可利用計(jì)算出的數(shù)據(jù)畫出差分前后的自相關(guān)函數(shù)圖檢驗(yàn)序列的平穩(wěn)性.如圖2.

5 道路平整模型分析

5.1 模型的識(shí)別和估計(jì)

對(duì)模型的識(shí)別，我們一般通過考察平穩(wěn)時(shí)間序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)來進(jìn)行模型的選擇.通常根據(jù)差分后自相關(guān)函數(shù)圖，很難確定自相關(guān)系數(shù)的趨勢(shì)，為此還需進(jìn)一步觀察樣本偏相關(guān)系數(shù)的性態(tài).利用Matlab軟件求出差分后樣本偏相關(guān)系數(shù)的數(shù)據(jù)如表5-1所示.

表5-1 零均值化后的偏相關(guān)系數(shù)

一般而言，如果自相關(guān)系數(shù)表現(xiàn)出拖尾而偏自相關(guān)系數(shù)表現(xiàn)出p階截尾，則選擇AR(p)模型;如果自相關(guān)系數(shù)表現(xiàn)出q階截尾而偏自相關(guān)系數(shù)表現(xiàn)出拖尾，則選擇MA(q)模型;如果自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)均表現(xiàn)出拖尾，則選擇ARMA(p,q)模型.所謂偏相關(guān)函數(shù)φkk截尾，指

即φkk在k等于p時(shí)不為0，在p以后都等于0，圖像像截?cái)嗔宋舶鸵粯樱椅舶徒財(cái)嘣趉=p的地方.

我們?cè)儆肁IC和BIC準(zhǔn)則來確定模型的階數(shù)[5],其中

當(dāng)樣本長度為N，p,q達(dá)到某一對(duì)數(shù)值時(shí)，AIC達(dá)到最小，此時(shí)的p,q為最佳的模型階數(shù).

本文應(yīng)用EVIEWS軟件運(yùn)行，可以得出ARMA(2,0)即AR(2)的AIC值最小，所以該模型為最佳擬合模型.

自相關(guān)圖像是拖尾的，偏相關(guān)圖像是結(jié)尾的，所以應(yīng)該用AR(P)模型.p由偏相關(guān)函數(shù)來確定，

YT=φ1YT-1+φ2YT-2+εT.

通過EVIEWS軟件進(jìn)行極大似然估計(jì)估計(jì)模型參數(shù)，求得

φ1=0.434968，φ2=-0.221342，

計(jì)算可得最終線型模型為

YT=0.434968YT-1-0.221342YT-2+εT.

回代YT=ΔXT=XT+1-XT得到原時(shí)間序列的的線型為

XT+1-XT=0.434968(XT-XT-1)-0.221342(XT-1-XT-2)+εT.

整理得

XT+1=1.434968XT-0.656310XT-1+0.221342XT-2+εT.

5.2 模型的殘差檢驗(yàn)

參數(shù)估計(jì)后，我們對(duì)模型的殘差序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，若殘差序列不是白噪聲序列，需要進(jìn)一步改進(jìn)模型；如果殘差序列的樣本自相關(guān)系數(shù)都落入隨機(jī)區(qū)間內(nèi)，即沒有任何自相關(guān)個(gè)別的在統(tǒng)計(jì)上顯著，那么可以說殘差序列是純隨機(jī)的[6].對(duì)AR2進(jìn)行檢驗(yàn)得到圖3，可以看出殘差序列的樣本自相關(guān)系偏相關(guān)系數(shù)數(shù)都落在正負(fù)0.2隨機(jī)區(qū)間內(nèi)，因此該模型是合適的.

圖3 殘差分析

5.3 預(yù)測(cè)、檢驗(yàn)和評(píng)價(jià)

以251個(gè)數(shù)據(jù)的最后三個(gè)數(shù)據(jù)-13.07,-10.4,-7.87為初始數(shù)據(jù)帶入模型

XT+1=1.434968XT-0.656310XT-1+0.221342XT-2+εT.

對(duì)后三個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行外推，外推數(shù)據(jù)如下表并且列出了真實(shí)值，計(jì)算出絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差.結(jié)果見表5-2.

表5-2 外推結(jié)果

從模型的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)可得出最大相對(duì)誤差為0.9956%，最大絕對(duì)誤差為0.134.本文參考數(shù)據(jù)是道路實(shí)測(cè)路面高度，經(jīng)過計(jì)算得出該數(shù)據(jù)為非標(biāo)準(zhǔn)道路路面數(shù)據(jù)，模型的預(yù)測(cè)精度比較高.

[參 考 文 獻(xiàn)]

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[2] 謝偉東,王磊.隨機(jī)信號(hào)在路面不平度仿真中的應(yīng)用[J].振動(dòng)測(cè)試與診斷,2005,25(2):126-130.

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