石萬凱， 劉 敬， 龔建春

(1.重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044； 2.攀枝花學院 機電工程學院，攀枝花 617000)

行星齒輪傳動系統(tǒng)具有體積小、傳動比大、承載能力強等優(yōu)點。同軸對轉傳動系統(tǒng)不僅擁有普通行星齒輪傳動的特點，還可以將單一輸入轉換成兩個輸出，實現減速增扭的作用。同時也可以滿足在工作中產生較小的不平衡力矩和較低的振動噪聲的要求。而行星齒輪系統(tǒng)的動力學分析對整個系統(tǒng)的振動噪聲控制有很大影響，是同軸對轉系統(tǒng)設計的主要內容之一。

20世紀70年代以來，國內外學者對行星齒輪機構動力學進行了許多理論與實驗研究。Hidaka等[1]運用理論與實驗相結合的方法，分析了行星齒輪傳動中齒輪的安裝與制造誤差對系統(tǒng)載荷分配的影響，同時也得到了浮動某一構件能夠改善系統(tǒng)的載荷分配。Kahraman等[2-3]用集中質量法建立了行星齒輪系統(tǒng)的非線性時變動態(tài)模型，在此模型中，考慮了銷軸孔的位置誤差與行星輪偏心誤差對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，又通過實驗模型驗證了不同誤差與行星輪個數對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。Lin等[4]建立了直齒行星齒輪傳動系統(tǒng)的扭轉—橫向耦合模型，分析了無阻尼振動下系統(tǒng)的三種振動模式：扭轉振動、橫向振動和行星輪振動。孫智民等[5]建立了封閉行星齒輪傳動系統(tǒng)的動力學模型，分析了差動級與封閉級的動載系數以及不同輸入轉速下太陽輪的浮動軌跡。陸俊華等[6]分析了不同裝配誤差與安裝誤差對2K-H型行星傳動系統(tǒng)均載特性的影響。秦大同等[7-8]基于Lagrange方程建立了盾構機多級行星齒輪傳動的動力學模型，分析該系統(tǒng)的模態(tài)特性、位移響應和加速度響應等。對于同軸對轉輪系功率流流向，石萬凱等[9-10]分析了由差動輪系和復合輪系組成的同軸對轉輪系的功率流。并確定了其不產生功率循環(huán)所需要滿足的條件。

1 齒輪傳動系統(tǒng)的動力學模型

由定軸輪系與差動輪系組成的同軸對轉傳動系統(tǒng)如圖1所示，定軸輪系由太陽輪Zs1、行星輪Zpi(i=1,2,…,N)和內齒圈Zr1組成，差動輪系由太陽輪Zs2、行星輪Zmj(j=1,2,…,M)、內齒圈Zr2以及行星架C組成，其中內齒圈是雙齒圈且采用相同的幾何參數。輸入扭矩通過太陽輪分流傳遞給定軸輪系機構與差動輪系機構，并通過內齒圈和行星架C分別形成輸出A和B。

圖1 同軸對轉傳動系統(tǒng)簡圖

基于集中質量參數法建立同軸對轉傳動系統(tǒng)的動力學模型，模型中考慮各個齒輪副的時變嚙合剛度、嚙合阻尼和嚙合誤差的影響。圖2(a)為固定坐標系下定軸輪系的動力學模型，其中Kspi、Cspi、espi分別為太陽輪Zs1與行星輪Zpi的嚙合剛度、嚙合阻尼和嚙合誤差，Krpi、Crpi、erpi分別為內齒圈Zr1與行星輪Zpi的嚙合剛度、嚙合阻尼和嚙合誤差；圖2(b)是差動輪系以行星架轉速ωc為動坐標的動力學模型，其中Ksmj、Csmj、esmj分別為太陽輪Zs2與行星輪Zr2的嚙合剛度、嚙合阻尼和嚙合誤差，Krmj、Crmj、ermj分別為內齒圈Zr2與行星輪Zmj的嚙合剛度、嚙合阻尼和嚙合誤差。在圖(2)中，k1為太陽輪Zs1、Zs2之間的耦合扭轉剛度，k2為內齒圈Zr1、Zr2之間的耦合扭轉剛度，kC為行星架的扭轉剛度，kr1、kr2分別為內齒圈Zr1、Zr2的支撐剛度，kp1、kp2分別為行星輪Zpi、Zmj的支撐剛度，行星輪支撐剛度的計算按Montestruc[11]提供的方法進行計算。

圖2 同軸對轉系統(tǒng)動力學模型

同軸對轉傳動系統(tǒng)共有(13+3N+3M)個自由度，其廣義坐標如下：

X=(xs1,Hs1,Vs1,xpi,εpi,ηpi,xr1,Hr1,Vr1,xs2,Hs2,Vs2,xmj,εmj,ηmj,xr2,Hr2,Vr2,xc)T
(i=1,2,…,N;j=1,2,…,M)

(1)

式中：xs1，xpi，xr1，xs2，xmj和xr2分別為齒輪Zs1，Zpi，Zr1，Zs2，Zmj和Zr2沿嚙合線的微位移，Hxy和Vxy(x=s,r;y=1,2)為齒輪xy中心的橫向和縱向微位移，εpi和ηpi為行星輪Zpi中心的徑向和切向微位移，εmj和ηmj為行星輪Zmj在動坐標系下質心的徑向和切向微位移，xC為行星架C在其半徑rC上的切向微位移。

2 同軸對轉系統(tǒng)的動力學平衡方程

設δs1pi和δr1pi為定軸輪系第i個行星輪與太陽輪和內齒圈沿嚙合線的等效微位移，δs2mj和δr2mj為差動輪系第j個行星輪與太陽輪和內齒圈沿嚙合線的等效微位移，則：

(2)

式中，φi=2π(i-1)/N為定軸輪系第i個行星輪相對于第一個行星輪的位置角，φj=2π(j-1)/M為差動輪系第j個行星輪相對于第一個行星輪的位置角；espi和erpi分別為定軸輪系行星輪與太陽輪和內齒圈的等效嚙合誤差，esmj和ermj分別為差動輪系行星輪與太陽輪和內齒圈的等效嚙合誤差；α1和α2分別為定軸輪系行星輪與太陽輪和內齒圈的嚙合角，α3和α4分別為差動輪系行星輪與太陽輪和內齒圈的嚙合角。

根據式(2)中的微小位移量，乘以嚙合剛度可以得到每對齒輪副之間的嚙合力。令Fs1pi和Fr1pi為定軸輪系行星輪與太陽輪和內齒圈的嚙合力，Fs2mj和Fr2mj為差動輪系行星輪與太陽輪和內齒圈的嚙合力，則各個齒輪副沿嚙合線方向的嚙合力為：

(3)

同理可以得到齒輪副的嚙合阻尼力，令Ds2pi和Dr2pi為定軸輪系行星輪與太陽輪和內齒圈的嚙合阻尼力，Ds2mj和Dr2mj為差動輪系行星輪與太陽輪和內齒圈的嚙合阻尼力，則各個齒輪副沿嚙合線方向的嚙合阻尼力為：

(4)

根據Lagrange方程推導出同軸對轉系統(tǒng)各個自由度的振動微分方程：

定軸輪系太陽輪平衡方程：

定軸輪系行星輪平衡方程：

(5b)

定軸輪系內齒圈平衡方程：

(5c)

差動輪系太陽輪平衡方程：

(5d)

差動輪系行星輪平衡方程：

(5e)

差動輪系內齒圈平衡方程：

(5f)

差動輪系行星架平衡方程：

(5g)

式中M和m分別為各個構件的等效質量和平移質量，且M=J/r2，J為構件的轉動慣量，對于齒輪，r是其基圓半徑rb，對于行星架，r是其當量基圓半徑rbc。T1為同軸對轉系統(tǒng)輸入扭矩，T2為差動輪系內齒圈Zr2的輸出扭矩，T3為差動輪系行星架C輸出扭矩。

將方程(5a)～(5g)整理成如下的矩陣形式：

(6)

式中：M，X為廣義質量矩陣，廣義坐標位移列陣;C，F為阻尼矩陣，外載荷列陣;K(t)為時變剛度矩陣。

3 系統(tǒng)的激勵與功率流

3.1 綜合嚙合誤差激勵

齒輪的制造誤差和安裝誤差是齒輪傳動系統(tǒng)產生振動的主要因素。誤差可以用隨齒輪嚙合周期變化的正弦函數來描述，并且認為行星架安裝和制造偏心誤差都包含在太陽輪和齒圈的偏心誤差中，只用考慮齒輪偏心誤差的影響即可[5]。

將定軸輪系偏心誤差與齒頻誤差等效到齒輪副嚙合線上，則:

(7)

式中，Es1pi和Er1pi分別表示行星輪與太陽輪和內齒圈嚙合的齒頻誤差，其初相位分別為βs1pi和βr1pi；Es1，Epi和Er1分別表示太陽輪、行星輪和內齒圈的偏心誤差，其初相位分別為βs1，βpi和βr2；ω1表示定軸輪系的嚙合齒頻，ωs1，ωpi和ωr1分別表示太陽輪、行星輪和內齒圈的角速度。

將差動輪系偏心誤差與齒頻誤差等效到齒輪副嚙合線上，則:

(8)

式中，Es2mj和Er2mj分別表示行星輪與太陽輪和內齒圈嚙合的齒頻誤差，其初相位分別為βs2mj和βr2mj；Es2，Emj和Er2分別表示太陽輪、行星輪和內齒圈的偏心誤差，其初相位分別為βs2，βmj和βr2；ω2表示差動輪系的嚙合齒頻，ωs2C，ωmjC和ωr2C分別表示太陽輪、行星輪和內齒圈相對行星架的角速度。

3.2 時變嚙合剛度激勵

本文齒輪時變嚙合剛度的計算按Maatar等[11]推導的公式進行計算，則:

(9)

式中，τ=t/Tm，t為時間，Tm為嚙合周期；b齒寬，ε為直齒輪副重合度，k0為靜載荷下單位齒寬平均嚙合剛度，且:

Ak=sin(2πkε)/(π·ε·k)
Bk=(1-cos(2πkε)/(π·ε·k)

3.3 功率流分析

對于圖1所示的同軸對轉傳動系統(tǒng)，通過合理的齒數配比可以滿足ω2=-ω2的設計要求，同時在給定的輸入功率條件下，此傳動系統(tǒng)可能存在功率循環(huán)的問題，影響傳動的效率。同軸對轉傳動系統(tǒng)不存在功率循環(huán)且定軸輪系也傳遞功率的條件是[9]：

(10)

式中：i為設計傳動比，且i=ωs1/ωr1。

對于此同軸對轉傳動系統(tǒng)，還需滿足|T2|?|T3|，可以得到：

(11)

式中：P1為定軸輪系分流的功率，P2為差動輪系分流的功率，P為同軸對轉系統(tǒng)輸入功率。

4 系統(tǒng)微分方程求解及動態(tài)特性分析

對于微分方程組，得到其解析解是非常困難的，一般采用數值分析方法進行求解，本文采用4階Runge-Kutta法來獲得方程(6)的數值解。對某一同軸對轉系統(tǒng)運用上述方法進行數值計算，其主要參數如下，兩級太陽輪與行星輪精度等級為5級，內齒圈為6級。定軸輪系：Zs1=22，Zpi=44，Zr1=110，模數m1=1.75，齒寬b1=20 mm，行星輪個數N=3；差動輪系：Zs2=55，Zmj=27，Zr2=110，模數m2=1.75，齒寬b2=30 mm，行星輪個數M=3；系統(tǒng)輸入轉速n=10 000 r/min，輸入功率P=300 kW，各齒輪的偏心誤差為10 μm，齒頻誤差為5 μm。

4.1 同軸對轉系統(tǒng)各構件振動響應

由于定軸輪系與差動輪系中的各個行星輪只存在空間位置差，并且在本文中各個行星輪綜合誤差取相同值，所以在每一級中只對其中一個行星輪進行振動分析。各級太陽輪和行星輪的振動位移時域曲線如圖3、圖4和圖5 所示。各個齒輪的振動位移曲線都是關于y=0軸對稱，并且呈現出低頻周期性波動；由于差動輪系承擔了5/6的輸入扭矩，且嚙合頻率更高，其扭轉振動幅值高于定軸輪系；同時也可以看出，差動輪系太陽輪采用了浮動裝置，橫向和縱向的振動位移相對于其扭轉振動來說，振動位移曲線更加的平滑。

圖3 定軸輪系位移動態(tài)響應曲線

系統(tǒng)部分構件速度動態(tài)響應如圖6和圖7所示。

由圖6、 7可知，定軸級與差動級的太陽輪和行星輪沿嚙合線的振動速度響應規(guī)律相同，總是關于y=0對稱，并且不具有周期性，兩級太陽輪的輸入轉速相等，但外部激勵不同，速度響應曲線相似，幅值不等，定軸級太陽輪振動速度幅值約為1.4 m/s，差動級約為3.8 m/s。同時，行星架的扭轉振動呈現出周期性，但振動速度幅值較小，約為0.8 m/s，主要是因為行星架轉動慣量較大。

圖4 差動輪系太陽輪位移動態(tài)響應曲線

圖5 差動輪系行星輪位移動態(tài)響應曲線

圖6 定軸輪系扭轉速度動態(tài)響應曲線

圖7 差動輪系扭轉速度動態(tài)響應曲線

4.2 系統(tǒng)的均載特性

行星齒輪傳動由于受各個齒輪偏心誤差與齒頻誤差的影響，每個行星輪承擔的載荷并不相等，通常用均載系數來表示，同時構件是否浮動也對載荷分配有影響。均載系數越大，行星齒輪系統(tǒng)的載荷分配越不均勻。將式(6)中得到的位移響應代到式(3)中，得到彈性嚙合力Fs1pi，Fr1pi，Fs2mj和Fr2mj。令bspik1和bspik2分別為定軸輪系的在一個嚙頻周期內外嚙合與內嚙合的均載系數，bsmjk1和brmjk2分別為差動輪系的在一個嚙頻周期內外嚙合與內嚙合的均載系數，則

(12)

式中：k1=1,2,…,n1；k2=1,2,…,n2，n1和n2分別為同軸對轉輪系定軸級與差動級的嚙頻周期數。

由于定軸級或差動級中行星輪的內嚙合與外嚙合均載系數基本相等，因此本文中只比較定軸級和差動級行星輪與太陽輪嚙合的均載系數。由圖8和圖9可知，兩級均載系數呈現周期性波動，且定軸級的波動幅值大于差動級。定軸級的均載系數約為1.02，差動級的均載系數約為1.01，差動級比定軸級載荷分配更均勻。同時可以看出，在每對齒輪副偏心誤差和齒頻誤差取相等的條件下，定軸輪系比差動輪系的載荷分配更加敏感。

圖8 定軸輪系外嚙合各行星輪的均載系數

圖9 差動輪系外嚙合各行星輪的均載系數

5 結 論

(1) 基于Lagrange方程采用集中參數法建立了同軸對轉傳動系統(tǒng)的動力學方程，考慮了誤差激勵、剛度激勵和功率流對系統(tǒng)的影響，運用數值分析方法求解了同軸對轉傳動系統(tǒng)各個構件的動態(tài)響應。

(2) 同軸對轉系統(tǒng)各個構件的動態(tài)響應規(guī)律相似，但幅值大小不等。差動輪系各個構件沿嚙合線的位移響應和速度響應幅值都要高于定軸輪系，這是因為差動輪系嚙合齒頻高，且分流了更多的功率。

(3) 定軸輪系的均載系數高于差動輪系，載荷分配更加不均勻。在相等的誤差激勵下，定軸輪系與差動輪系相比，誤差的敏感性更高。

參 考 文 獻

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