王 迎

(黑龍江工業(yè)學(xué)院 機械工程系，黑龍江 雞西 158100)

信賴域-共軛梯度法在麥克斯韋方程參數(shù)識別中的應(yīng)用

王 迎

(黑龍江工業(yè)學(xué)院 機械工程系，黑龍江 雞西 158100)

針對麥克斯韋方程中的電導(dǎo)率參數(shù)識別問題，構(gòu)造出具有全局收斂性的正則化信賴域共軛梯度算法。此參數(shù)識別算法充分融合了最優(yōu)化領(lǐng)域的傳統(tǒng)優(yōu)化方法—共軛梯度法和新型優(yōu)化方法—信賴域方法以及正則化方法的優(yōu)點，使得這種算法具有較強的全局搜索能力，能夠很好地應(yīng)用于麥克斯韋方程的參數(shù)識別問題。

麥克斯韋方程；參數(shù)識別；正則化；信賴域法；共軛梯度法

0 引言

著名的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家麥克斯韋是在電學(xué)和光學(xué)方面有很大造詣的科學(xué)家，同時也是現(xiàn)代文明的推動者之一。他在總結(jié)了相關(guān)研究工作的基礎(chǔ)上，以數(shù)學(xué)手法表示出了電磁場理論，演變?yōu)楹髞淼柠溈怂鬼f方程組。麥克斯韋方程組實質(zhì)上是一組偏微分方程，之后一些科學(xué)家從這組基本的偏微分方程出發(fā)，逐步地發(fā)展演變出現(xiàn)代的電子與電力科學(xué)技術(shù)。麥克斯韋方程的參數(shù)識別問題實際上是一個反演問題。隨著科學(xué)技術(shù)日新月異的發(fā)展進步，數(shù)學(xué)物理反演問題的解決方法是近些年來逐步興起的一類解決幾乎遍布于各個科學(xué)領(lǐng)域的有效處理問題的方法。它的基本問題是研究各種物理現(xiàn)象的逆過程：首先將物理現(xiàn)象歸納成某種數(shù)學(xué)模型，然后用它來對物理過程本身或它的載體進行定量分析、過程控制、參數(shù)提取或者對實體進行重新設(shè)計和改造。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和研究范圍的擴大，數(shù)學(xué)物理反問題涉及的也不再僅僅是數(shù)學(xué)和物理中的反問題，它還涉及到地球物理學(xué)、材料科學(xué)、圖像圖形學(xué)、模式識別、遙感、石油勘探、工業(yè)控制、醫(yī)學(xué)、金融、經(jīng)濟乃至生命科學(xué)[1-2]。針對于麥克斯韋方程的反演問題，現(xiàn)今已經(jīng)產(chǎn)生很多的方法應(yīng)用于求解這類反問題，然而這些方法下的反演過程是相當(dāng)復(fù)雜的，須要做大量的計算，而且消耗大量的時間。多種情況下，對于這類的反演問題可以利用迭代法(牛頓迭代法)來解決，而利用牛頓迭代法存在的第一個困難就是我們建立的目標(biāo)函數(shù)在局部上會呈現(xiàn)極小化的變化趨勢(局部收斂性)。我們需要努力去尋找一種能夠有效克服目標(biāo)函數(shù)的局部收斂性并且能夠快速檢索到所解決的麥克斯韋方程反演問題在其整個定義區(qū)間內(nèi)的最優(yōu)解(全局最優(yōu)解)的方法。作為最優(yōu)化領(lǐng)域的新興方法之一的信賴域方法是一種全局收斂的數(shù)值方法。由此，本文將把信賴域方法引入應(yīng)用于麥克斯韋方程的參數(shù)識別問題中。

本文的總體思路是采用上述方法的有效結(jié)合來解決參數(shù)識別的問題，具體來說是將全局收斂的信賴域方法與求解大規(guī)模優(yōu)化問題的共軛梯度法有機結(jié)合，并引入正則化方法，最終給出了解決麥克斯韋方程中的電導(dǎo)率參數(shù)識別問題的全局收斂的數(shù)值方法。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 連續(xù)數(shù)學(xué)模型

二維區(qū)域(x，z)∈Ω=[0，l]×[0，h]上的麥克斯韋方程組的電導(dǎo)率參數(shù)識別問題模型為：

(1)

(2)

(3)

(4)

1.2 離散數(shù)學(xué)模型

對方程(1)～(4)進行差分離散，可以得到如下方程：

i=1,…,m-1,j=1,…,n-1

i=0,…,m

(5)

σT=(σ1,0，σ1,1,…,σ1,n-1,σ2,0,σ2,1,…,σ2,n-1,…σm-1,0,σm-1,1,…,σm-1,n-1),

這樣反演電導(dǎo)率σi,j的問題便轉(zhuǎn)化為求解如下泛函

(6)

的優(yōu)化問題。

利用正則化方法在(6)中引入x方向和z方向的二階光滑矩陣M1和M2，獲得用來代替J(σ)的光滑泛函Jα(σ)：

(7)

其中，α為正則化參數(shù)。

為了將要求解的二維麥克斯韋方程參數(shù)識別問題轉(zhuǎn)化為求解最優(yōu)化問題，我們求解滿足下式的最優(yōu)解σ*

Jα(σ*)=minJα(σ)

(8)

本文將把(8)式作為參數(shù)識別的一般框架，在此框架下討論麥克斯韋方程反演問題。

Jα(σ)的梯度為

(9)

其中，A′(σ)是A(σ)關(guān)于σ的Jacobi矩陣，即

Jα(σ)的海森矩陣為

(10)

目標(biāo)函數(shù)在某個點σk的二次模型為

(11)

于是，求解(11)的牛頓法為：

(12)

2 全局收斂的參數(shù)識別方法的構(gòu)造

作為最優(yōu)化領(lǐng)域一種新穎的研究方向，信賴域方法實質(zhì)上是一種用來求解反問題的正則化方法。假設(shè)y為K(x)的二次逼近模型，其基本思想是首先基于如下的最小二乘問題：

其次，在每次迭代的過程中求解下屬子問題：

其中，μk為信賴域半徑，grad(J)k和Hess(J)k分別表示泛函J在迭代點xk處的梯度和Hessian矩陣：

grad(J)(x)=K′(x)*(K(x)-yδ)，

Hess(J)(x)=K′(x)*K′(x)+K″(x)*(K(x)-yδ)。

多數(shù)情況下，Hess(J)(x)含有的二階項很難精確求得，即使可以求得也計算量巨大[4]。為了有效地克服這個困難，方便地分析問題，我們通常省略Hess(J)(x)的第二項。如果在算法中沒有利用海森矩陣中2Jα(σ)中的二階信息量A″(σ))，則對于大擾動的問題，很可能會導(dǎo)致相應(yīng)的算法達不到收斂，最終使得求解失敗。而在實際問題中，由于)通常難以計算或者或者需要花費巨大的計算量，并且利用整個2Jα(σ)的割線近似又不可取。故而，本文設(shè)法構(gòu)造A″(σ))的割線近似。

(13)

若要求Dk滿足擬牛頓條件，則得到Dk+1應(yīng)該滿足的校正公式：

(14)

其中，

這樣做的結(jié)果使得海森矩陣更容易趨于對稱正定，從理論上更適合于大擾動問題。這是由于隨著迭代位置的變化而變過程的進行，構(gòu)造出的對稱矩陣序列{Dk}不斷地修正的結(jié)果。

2.1 正則化-共軛梯度法

1)給定初始點σ0,D0為對應(yīng)階單位矩陣，及給定的精度ε>0，正則化參數(shù)α>0,k?0。

2)如果k=0，則dk=-Jα(σk)；否則，dk=-Jα(σk)+ξk-1dk-1，其中

3)采用精確線性搜索求步長ηk：

4)令σk+1=σk+ηkdk。

2.2 正則化-信賴域-共軛梯度法

1)令k=0，給出Bk和正則化參數(shù)α>0，給定的精度ε>0，D0為對應(yīng)階的單位矩陣。

4)如果k=0，則dk=-Jα(Bk)；否則，dk=-Jα(Bk)+ξk-1dk-1，其中

5)采用精確線性搜索求步長ηk：

6)令Bk+1=Bk+ηkdk，計算Bk+1。

8)若rkrmax，令α=α/2；否則，保持α不動。

9)若rk≤0，令Bk+1=Bk，Dk+1=Dk；否則，計算Dk+1，k?k+1，返回步驟2。

3 結(jié)論

由于科學(xué)工作者們?nèi)遮吷钊氲匮芯繀?shù)識別問題算法的相關(guān)知識，已經(jīng)產(chǎn)生了多種針對參數(shù)識別問題的算法，但是截至目前仍未有一種方法能絕對地優(yōu)于其他方法。從這點上來看，本文進行多種參數(shù)識別方法相結(jié)合的研究是頗有價值的。為了有效克服麥克斯韋方程反演過程中所固有的困難，本文提出了一種綜合共軛梯度法和信賴域法優(yōu)點的全局收斂的信賴域-共軛梯度算法。該算法不僅有效地解決了局部極小值問題，并且由于該方法本身所具有的一般性，使得它能進一步推廣到其他類型的參數(shù)識別問題研究之中，因而該方法具有廣泛的實用價值和應(yīng)用潛質(zhì)。

[1] 韓華,章梓茂,汪越勝.雙相介質(zhì)波動方程孔隙率反演的同倫方法[J].力學(xué)學(xué)報,2003,35(2):230-238.

[2] H W Engl,A Louis,W Rundell.Inverse problems in geophysical applications[M].SIAM,1997:210-214.

[3] 馮國峰.波動方程反問題的多尺度-信賴域反演方法[D]. 哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué),2006:15-17.

[4] 張新明,劉家琦,劉克安.一維雙相介質(zhì)孔隙率的小波多尺度反演[J].物理學(xué)報,2008,57(2):593-650.

2014-03-01

王迎(1984-)，女，黑龍江牡丹江人，黑龍江工業(yè)學(xué)院助教，碩士。研究方向：微分方程數(shù)值解。

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1008-4657(2014)02-0060-05

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