(安徽省馬鞍山市新市初級(jí)中學(xué),安徽 馬鞍山 243141)
數(shù)學(xué)是解決物理問題的重要工具,安徽省物理《考試大綱》要求考生具有“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題”的能力.運(yùn)用數(shù)學(xué)方法,就是要把客觀事物的狀態(tài)、關(guān)系和過程用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來,并進(jìn)行推導(dǎo)、演算和分析,以形成對(duì)問題的判斷、解釋和預(yù)測(cè).常用的數(shù)學(xué)方法有極值法、幾何法、圖像法、數(shù)學(xué)歸納推理法等.
比例法就是用比例式來解物理題的方法,依據(jù)物理定律用比例式建立起未知量和已知量之間的關(guān)系,進(jìn)而求出未知量.
例1(2012年安徽):某同學(xué)家的電子式電能表上個(gè)月月初、月末的表盤如圖1所示.表盤上“1600imp/kW·h”表示每用電1kW·h指示燈閃爍1600次.根據(jù)表盤上的信息,回答下列問題:
圖1
(1)該同學(xué)家上個(gè)月共用電多少kw·h?
(2)該同學(xué)家同時(shí)使用的用電器總功率不得超過多少?
(3)若只讓一個(gè)標(biāo)有“220V 484W”的電熱器工作3min,觀察到電能表的指示燈閃爍了32次,則該同學(xué)家的實(shí)際電壓是多大?(設(shè)電熱器的電阻不變)
例2(2012年安徽):在如圖2所示的電路中,電阻R1和R2串聯(lián)接在AB兩端,電壓表并連接在R1兩端.已知R1=10Ω,R2=20Ω,電壓表示數(shù)為2.5V,則AB兩端的電壓U為多大?
圖2
解析:已知兩電阻串聯(lián),用電壓表測(cè)R1兩端的電壓,根據(jù)歐姆定律求出電路中的電流,根據(jù)電阻的串聯(lián)和歐姆定律求出電源的電壓.
三角函數(shù)在初中物理學(xué)中用得不多,高中用得就比較普遍了.其解答流程大致是:審讀題意→列出三角函數(shù)式→進(jìn)行三角變換→解決實(shí)際問題.
圖3
例3(2013年安徽):如圖3所示,AB兩地相距4km,MN是與AB連線平行的一條小河的河岸,AB到河岸的垂直距離為3km,小軍要從A處走到河岸取水然后送到B處,他先沿垂直于河岸的方向到D點(diǎn)取水然后再沿DB到B處.若小軍的速度大小恒為5km/h,不考慮取水停留的時(shí)間.
(1)求小軍完成這次取水和送水任務(wù)所需要的總時(shí)間.
(2)為了找到一條最短路線(即從A到河岸和從河岸到B的總路程最短),可以將MN看成一個(gè)平面鏡,從A點(diǎn)作出一條光線經(jīng)MN反射后恰能通過B點(diǎn),請(qǐng)你證明入射點(diǎn)O即為最短路線的取水點(diǎn).
解析:利用平面鏡成像的特點(diǎn):像與物關(guān)于平面鏡對(duì)稱,作出發(fā)光點(diǎn)A的像點(diǎn)A′,根據(jù)反射光線反向延長(zhǎng)通過像點(diǎn),可以由像點(diǎn)和B點(diǎn)確定反射光線所在的直線,兩點(diǎn)之間直線距離最短.本題利用平面鏡成像的特點(diǎn),并結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí),解決實(shí)際問題(取水路線最短),綜合性較強(qiáng).
本文僅就(2)問作答,如圖4所示,作出發(fā)光點(diǎn)A關(guān)于平面鏡的對(duì)稱點(diǎn),即為像點(diǎn)A′,連接A′、B點(diǎn)交平面鏡于點(diǎn)O,沿OB畫出反射光線,連接AO畫出入射光線,圖中O就是入射點(diǎn).
由圖4可知,兩點(diǎn)之間線段最短,即此時(shí)A′B之間的距離(A′O+OB)最短.根據(jù)平面鏡成像的特點(diǎn)可知,此時(shí)AD=A′D,且Rt△ADO與Rt△A′DO有一條公共邊DO,故可知Rt△ADO≌Rt△A′DO,即AO=A′O,故AO+OB=A′O+OB,即此時(shí)O點(diǎn)是最短路線的取水點(diǎn).
圖4
在物理中常采用圖像把物理量之間的關(guān)系表示出來,如“物態(tài)變化”一章中采用溫度-時(shí)間圖像表達(dá)物態(tài)變化中晶體的熔化、液體的沸騰的特點(diǎn).圖像法具有直觀、形象、簡(jiǎn)捷和概括力強(qiáng)的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn),它能將物理情景、物理過程、物理狀態(tài)以直觀的方式呈現(xiàn)在我們面前.
用圖像法解題的一般步驟是:
(1)看清圖像中橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)所表示的物理量;
(2)弄清坐標(biāo)上的分度值;
(3)明確圖像所表達(dá)的物理意義,利用圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)、斜率、截距交點(diǎn)和圖像與坐標(biāo)所包圍的面積等,進(jìn)行分析、推理、判斷和計(jì)算;
(4)根據(jù)圖像進(jìn)行數(shù)據(jù)計(jì)算或者做判斷性結(jié)論.
圖5
例4(2008年安徽):小燈泡L的額定電壓為6V,小明通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得其電流隨電壓變化的曲線如圖5,由圖5可知當(dāng)L正常發(fā)光時(shí),通過其燈絲的電流是A,通過調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器,使小燈泡兩端的電壓為3V,則此時(shí)小燈泡消耗的實(shí)際功率為W.
解析:我們按上述步驟先觀察橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別表示電壓和電流,第二步是觀察分度值看清題目的要求.要看到電壓的分度值是一大格表示1V,電流的分度值是一格表示0.1A.從圖5可以看出,當(dāng)小燈泡兩端電壓為6V時(shí),縱坐標(biāo)為通過它的電流,是0.6A;電壓為3V時(shí),縱坐標(biāo)表示電流為0.5A,所以小燈泡的實(shí)際功率為P=UI=3V×0.5A=1.5W.
在物理中有許多問題若單純用物理的方法去解,往往會(huì)使得解題進(jìn)入死胡同,但如果能巧妙地借助于一些數(shù)學(xué)思想,往往可得到事半功倍的效果.
圖6
例5(2014年安徽):凸透鏡的成像規(guī)律可以通過畫光路圖去理解.在光路圖中凸透鏡用圖6表示,O點(diǎn)為光心,F(xiàn)為焦點(diǎn).圖6中A′B′是物體AB經(jīng)透鏡所成的像.
(1)請(qǐng)畫出圖7中兩條入射光線的出射光線,完成成像光路圖;
圖7
解析:2014年的壓軸題是要求考生利用幾何知識(shí)證明光學(xué)問題,該題對(duì)于大部分考生來說是陌生的,如果考生具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)幾何功底,利用兩次三角形相似來進(jìn)行推導(dǎo),可以很容易地得出結(jié)論.
圖8
要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)在初中物理學(xué)習(xí)中的作用,促進(jìn)學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、掌握,提高運(yùn)用數(shù)學(xué)解決物理問題的能力.
參考文獻(xiàn):
成惠才.例析數(shù)學(xué)在物理中的應(yīng)用[J].中學(xué)物理(初中版),1997,(4).