羅永峰 白 潔 賈寶榮 陳曉明

(1. 同濟大學建筑工程系，上海 20092； 2. 上海機械施工集團有限公司，上海)

1 引 言

對于傳統(tǒng)的鋼結構施工方法，采用分階段獨立建模法、狀態(tài)疊加法或生死單元法進行施工過程模擬分析就能得到較為準確的計算結果，其中分階段獨立建模法與狀態(tài)迭加法適用于非線性效應不明顯的結構，而生死單元法適用于非線性效應明顯的結構[1-3]。然而，隨著施工技術的進步，近年來出現(xiàn)一些創(chuàng)新的施工方法，如攀達穹頂法、折疊展開法、提升擴展法以及摩天輪的豎立旋轉法等[4,5]，這些施工方法的共同特點是在安裝構件的同時結構還產(chǎn)生大的剛體位移(可稱為“既生長又運動”的結構施工過程)。而現(xiàn)有施工模擬計算方法只能模擬單純增加構件而結構無剛體大位移的施工過程，無法將結構發(fā)生剛體位移前后的施工步關聯(lián)起來進行分析，也就無法考慮結構剛體位移前已產(chǎn)生的變形與應力對剛體位移后結構剛度矩陣的非線性影響，因而，難以得到準確的施工過程模擬計算結果。

豎立旋轉安裝法是用于摩天輪結構的一種創(chuàng)新施工方法，是一種在豎直平面內(nèi)通過旋轉完成摩天輪拼裝的施工方法，其主要施工技術包括：首先將輪緣分成均等的幾瓣，在連接轉動中心與輪緣的剛性輪輻輔助下安裝第一瓣輪緣，之后將安裝好的輪緣繞轉動中心向一側旋轉一定角度，接下來安裝下一瓣輪緣，然后將安裝好的兩瓣輪緣再向同側旋轉相同角度，再安裝后續(xù)輪緣，以此類推，完成整個摩天輪的安裝。施工過程如圖 1所示。

由于豎立旋轉安裝法具有結構同時產(chǎn)生剛體位移與變形的特點，現(xiàn)有的鋼結構施工過程模擬計算方法難以適用，為此，本文以北京摩天輪結構施工模擬分析為背景，研究豎立旋轉安裝法的精確數(shù)值模擬計算技術，推導結構旋轉后的位移向量、荷載向量和切線剛度矩陣的擴展與修正方法，提出結構有剛體大轉角位移的施工過程模擬計算方法，為該工程施工模擬提供理論依據(jù)和計算方法，為類似鋼結構施工提供參考資料與技術方法。

2 實現(xiàn)剛體旋轉的施工力學基本原理

根據(jù)非線性有限元基本原理，求解施工力學問題實質(zhì)就是求解以下方程組：

[K]{u}={F}

(1)

式中，[K]為結構剛度矩陣；{u}為位移向量；{F}為荷載向量。

假設在第n+1施工步時，結構在前面的n步已有施工變形且繞O′點產(chǎn)生剛體轉角位移θ(圖1)，則旋轉后結構的剛度矩陣、節(jié)點坐標以及荷載列陣都會發(fā)生變化，此時結構平衡方程為

[KR]{uR}={FR}

式中，[KR]為結構旋轉后的剛度矩陣；{uR}為位結構旋轉后的位移向量；{FR}為結構旋轉后的荷載向量。

結構旋轉后平衡方程中的各項，需要通過其變化量推導確定。

2.1 旋轉前后結構剛度矩陣的變化

根據(jù)矩陣位移法基本原理，結構的整體剛度矩陣是由整體坐標系下的單元剛度矩陣按照“對號入座”的方法組合形成的，而整體坐標系下的單元剛度矩陣是由局部坐標系下的單元剛度矩陣經(jīng)坐標轉換形成的。由結構力學可知，剛架單元的坐標轉換矩陣形式為[6]

(2)

(3)

結構旋轉后，各單元在其局部坐標系下的單元剛度矩陣不變，而其局部坐標系相對于整體坐標系的方向發(fā)生了變化。如圖 2所示，設結構中構件AB繞O′點發(fā)生逆時針剛體轉角位移θ，構件AB在旋轉前與整體坐標系的夾角為α。將構件AB與O′平移，令O′與整體坐標系原點O重合。則構件AB繞O′逆時針旋轉θ度相當于整體坐標系xoy繞原點O順時針旋轉θ度到x′oy′，則此時構件AB相對于整體坐標系的夾角為β=α+θ。

結構旋轉后，構件相對于整體坐標系的夾角由α變?yōu)棣?α+θ。因此，構件剛度矩陣的旋轉可以通過改變坐標轉換矩陣T中局部坐標系與整體坐標系的夾角實現(xiàn)，則此時剛架單元的坐標轉換矩陣變?yōu)?/p>

圖2 構件旋轉后與整體坐標系夾角示意圖Fig.2 Angle between member and global coordinates system after rotation

(4)

(5)

2.2 旋轉前后荷載列陣的變化

(6)

2.3 旋轉前后結構節(jié)點坐標的變化

在第n+1施工步發(fā)生剛體旋轉位移后，后續(xù)施工步產(chǎn)生的變形都是相對于結構旋轉后位形的變形。設結構初始節(jié)點坐標為{C0}，前n個施工步產(chǎn)生的累積位移為{un}，則n個施工步后的節(jié)點坐標為{Cn}={C0}+{un}。在第n+1施工步，結構旋轉后的節(jié)點坐標{CnR}需采用旋轉變換的方法推導。

如圖 3所示，A點為結構中任意一點，設A繞O′點產(chǎn)生順時針轉角θ到達A′點，由圖可知有如下向量關系：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

按上述方法計算結構旋轉后所有節(jié)點坐標，組裝起來即可得到旋轉后的節(jié)點坐標列向量{CnR}。

綜上所述，可以通過轉換剛度矩陣與荷載列陣得到旋轉后的結構剛度方程[KR]{uR}={FR}，但必須注意，求解此方程得到的位移是相對于旋轉后的結構位形{CnR}的。

3 采用ANSYS實現(xiàn)施工中剛體旋轉的基本原理

3.1 復原構件變形與應力的方法

ANSYS中的命令UPGEOM可將以前分析得到的位移累加到有限元模型上，并生成一個已變形的幾何模型，缺省時該命令作用在所有節(jié)點上，也可以選擇一組節(jié)點。若重復執(zhí)行該命令，則位移結果將累加，以改變節(jié)點坐標并生成新的有限元模型[7,8]。

ISWRITE命令可將計算得到的構件應力保存在文件中。ISFILE命令通過從應力文件中讀取應力數(shù)據(jù)給單元施加初應力。初應力荷載只能在第一個荷載步施加，且只能在求解層施加。初應力荷載的施加采用覆蓋的方式，即多次施加時后面的命令覆蓋前面命令的結果。

利用上述幾種命令，即可在新建模型中復原原模型的變形與應力，具體方法如下：

第一步，建立完整的結構有限元模型，施加邊界約束條件與荷載并進行求解，執(zhí)行ISWRITE命令生成初應力文件(.IST文件)與變形文件(RST文件)。

第二步，按照設計位形建立與上一步相同的有限元模型，執(zhí)行UPGEOM命令導入上一步計算得到的變形文件(.RST文件)以更新有限元模型。

第三步，施加邊界條件及荷載，執(zhí)行 ISFILE 命令從第一步計算生成的初應力文件(.IST文件)施加初應力荷載，進行計算。第三步計算得到的位移是在UPGEOM更新位形上產(chǎn)生的位移。

3.2 剛體旋轉后復原旋轉前構件變形與應力的方法

采用ANSYS計算得到的單元數(shù)據(jù)結果(如應力和應變)按照單元局部坐標系的方向保存在結果文件中，因此，無論構件位置發(fā)生什么變化，只要單元編號不變，單元坐標系從I節(jié)點到J節(jié)點的指向不變，則通過ISFILE命令輸入的單元坐標系下的初始應力荷載就不變。節(jié)點的計算結果(如位移)按照節(jié)點坐標系的方向保存在計算結果文件中。由于ANSYS缺省的節(jié)點坐標系方向平行于整體坐標系，則當構件發(fā)生旋轉后，單元坐標系的方向隨構件方向而轉動，但節(jié)點坐標系方向仍然與整體坐標系相同，導致節(jié)點坐標系與單元坐標系的相對方向發(fā)生變化。要保持單元坐標系與節(jié)點坐標系的相對方向不變，就需要對旋轉后構件的節(jié)點坐標系進行旋轉變換，使單元坐標系與節(jié)點坐標系的相對方向保持不變。在節(jié)點坐標系旋轉之后，再使用UPGEOM命令導入旋轉前計算得到的節(jié)點位移，則得到的構件旋轉后的位形與旋轉前的位形在單元坐標系下保持不變。

綜上所述，要想在構件發(fā)生剛體旋轉后復原其旋轉前的變形與應力，需要在旋轉節(jié)點坐標系的基礎上使用UPGEOM命令導入節(jié)點變位并使用ISFILE命令導入單元初始應力荷載，具體的計算步驟如下：

第一步，建立完整的結構有限元模型，施加邊界約束條件與荷載并進行求解，執(zhí)行ISWRITE命令生成初應力文件(.IST文件)與變形文件(.RST文件)。

第二步，建立旋轉后的結構有限元模型，須保證各單元的單元編號、單元兩端的節(jié)點編號、單元坐標系的I、J節(jié)點指向保持不變。

第三步，旋轉節(jié)點坐標系的方向使其與單元坐標系的相對方向與構件旋轉前保持不變。

第四步，執(zhí)行UPGEOM命令，更新有限元模型，以導入上一步計算結果的變形文件(.RST文件)。

第五步，施加旋轉后的邊界條件及荷載，執(zhí)行 ISFILE 命令從上一步計算生成的初應力文件(.IST文件)施加初應力荷載，進行計算。第五步計算得到的位移是在UPGEOM更新位形上發(fā)生的位移。

3.3 數(shù)值算例驗證

一懸臂鋼管，截面為φ 50×4.0，懸挑長度為2.5 m，懸臂端作用一豎直向下的集中荷載F=1 kN，不考慮結構自重。坐標原點位于懸臂梁固定端，X軸沿構件方向向右，Z軸豎直向上，計算簡圖如圖 4所示。假設其在變形后繞固定端發(fā)生90°逆時針轉角，其邊界與荷載同時發(fā)生旋轉，如圖5所示。

建立如圖 4所示的有限元模型并進行計算，得到彎矩M=2.49 kN·m，懸臂端的豎向位移uz=-163.85 mm。執(zhí)行ISWRITE命令，生成計算結果文件。

圖4 旋轉前簡圖Fig.4 Diagram before rotation

圖5 旋轉后簡圖Fig.5 Diagram after rotation

建立如圖5所示旋轉后的有限元模型，保證單元編號、單元兩端節(jié)點編號、單元局部坐標系的I、J節(jié)點指向保持不變。旋轉節(jié)點坐標系，將兩節(jié)點的坐標系逆時針旋轉90°，構件旋轉后的節(jié)點編號和節(jié)點坐標系的方向如圖 6所示。

圖6 節(jié)點坐標系旋轉后的方向Fig.6 Node coordinates direction after rotation

執(zhí)行UPGEOM命令，得到更新的有限元模型，且此時懸臂端節(jié)點2的坐標為x=163.85 mm，其值與原模型Z方向的變形uz=-163.85 mm相同。

施加旋轉后的固定邊界條件與懸臂端集中荷載F=1 kN，如圖5所示。執(zhí)行ISFILE 命令導入原模型計算得到的應力，并進行計算，得到旋轉后模型固定端彎矩為M=2.49 kN·m，與原模型計算結果M=2.49 kN·m相比誤差為0.00%，懸臂端位移為ux=0.228 mm，注意該位移是在原模型已有位移上又產(chǎn)生的位移，故與原模型位移uz=-163.85 mm相比誤差為0.14%。

由以上算例可知，本文數(shù)值計算方法有效，且誤差不超過1%。

4 基于分步建模的坐標旋轉法

分步建模法是按照施工步驟依次建立施工階段的計算模型，且后續(xù)施工步的模型是在上次施工步模型已有變形的基礎上建立的。不同于分階段獨立建模法，分步建模法可以考慮各個施工步間的互相影響以及變形累積；不同于生死單元法，分步建模法中未安裝的單元不會出現(xiàn)在模型中，不存在死單元漂移的影響，消除了未安裝單元與已安裝單元之間的相互影響。所以，分步建模法可以按照擬定施工方案邊建模邊求解，可真實、精確地再現(xiàn)整個施工過程，并可精確控制施工過程中的安裝位形。因此，若將分步建模法與坐標旋轉法結合，就可得到一種可準確模擬帶有剛體旋轉的“既生長又運動”的施工過程的計算方法，稱之為基于分步建模的坐標旋轉法，其計算步驟如下：

第一步，建立第一施工步的有限元模型，并加載求解，執(zhí)行ISWRITE命令。導出第一施工階段完成時已安裝構件的初應力文件(后綴為IST 的文件)和變形文件(后綴為RST 的文件)。

第二步，設此時第一施工步安裝的構件發(fā)生剛體旋轉。建立已安裝構件旋轉后的有限元模型，保持其節(jié)點編號、單元編號、單元I、J節(jié)點指向與第一步建立的模型相同，旋轉節(jié)點坐標系方向使之與單元坐標系的相對方向與旋轉前第一步模型中相同。

2.4 不同肥料增效劑對玉米農(nóng)藝性狀的影響 從表3可以看出，各處理穗長在16.70～18.45 cm，各處理間差異不顯著，但施肥處理穗長長于不施肥處理，施用增效劑的處理長于常規(guī)施肥的穗長，前3位的穗長處理⑨、處理⑩、處理⑥分別比常規(guī)處理增加0.87、0.85、0.82 cm。各處理穗粗在4.9～5.2 cm，各處理間差異不顯著，但多數(shù)施肥處理穗粗長于不施肥處理，前2位的穗粗處理⑨、處理⑩較不施肥處理分別增加0.3、0.3 cm。各處理突尖在0.9～2.0 cm，各處理間差異顯著或極顯著，但多數(shù)施肥處理突尖短于不施肥處理，前2位的突尖處理⑨、處理⑩較不施肥處理分別減少1.1、1.1 cm。

第三步，通過UPGEOM命令導入第一施工階段完成時已安裝構件的變形文件(RST文件)，修正有限元模型。

第四步，在第三步模型的基礎上按照新安裝構件的定位原則建立第二施工步新增安裝單元，形成本階段完整的有限元模型。

第五步，選擇第一施工步安裝的構件，執(zhí)行ISFILE命令導入第一施工步已產(chǎn)生的單元應力荷載。

第六步，選擇第一施工步安裝的構件，將第一施工步的荷載隨結構旋轉變換并施加在結構上，進行計算。

第七步，用第二施工步的荷載替代上一步的荷載，進行計算，執(zhí)行ISWRITE命令。

第八步，若后續(xù)施工步還有剛體旋轉位移，則重復上述計算過程；若后續(xù)施工步不再發(fā)生剛體旋轉，則繼續(xù)使用分步建模法完成計算即可。

5 數(shù)值算例驗證

本節(jié)以北京朝天輪的豎立旋轉法施工過程為例，驗證基于分步建模的坐標旋轉法以及與傳統(tǒng)分析方法計算結果的差別。北京朝天輪豎立旋轉法施工過程如圖 1所示，具體步驟為：①先安裝剛性輪輻RS1、RS2，然后安裝第1個1/8分段輪緣與輪輻索；②牽引輪緣順時針旋轉45°；③安裝剛性輪輻RS3，安裝第2個1/8分段輪緣與輪輻索；④牽引輪緣順時針旋轉45°；⑤依次進行，直到安裝剛性輪輻RS8，安裝第8個1/8分段輪緣與輪輻索，輪緣合攏，完成安裝。

限于篇幅，本文僅采用1.0自重+1.0預應力的荷載組合進行施工過程模擬計算，其中輪輻索的預應力為3 300 kN。根據(jù)文獻[9],在輪緣安裝階段，輪輻索應力為設計值的30%。

5.1 采用分階段獨立建模法計算

5.2 采用基于分步建模的坐標旋轉法計算

根據(jù)實際結構建立有限元模型，采用基于分步建模的坐標旋轉法的分析過程示意圖如圖 7所示，具體分析步驟如下：

圖7 計算過程示意圖Fig.7 Calculation process diagram

第一步，建立如圖7施工步1所示計算模型，加載預應力與自重進行計算，執(zhí)行ISWRITE命令，導出第一施工步完成時已安裝構件的初應力文件(FILE1.IST)和變形文件(FILE1.RST)。

第二步，建立如圖 7施工步2所示模型，其中新增節(jié)點的位置按照分步建模法中的設計位形定位準則確定。執(zhí)行UPGEOM命令導入第一步計算得到的節(jié)點位移(FILE1.RST)。執(zhí)行第一荷載步：選擇組件A執(zhí)行ISFILE命令，導入第一步計算得到的應力荷載(FILE1.IST)，施加第一步的荷載，并進行計算；執(zhí)行第二荷載步：施加組件B的輪輻索預應力和結構自重進行計算，執(zhí)行ISWRITE命令得到第二步的位移結果文件(FILE2.RST)與應力文件(FILE2.IST)。

第三步，建立如圖 7施工步3所示模型，其中新增節(jié)點的位置按照分步建模法中的設計位形定位準則確定。將輪盤單元的節(jié)點坐標系順時針旋轉45度，令節(jié)點坐標系與單元坐標系的相對方向與第一、二施工步相同，支座仍位于組件A、B之間。執(zhí)行UPGEOM命令導入第一、第二步計算得到的節(jié)點位移(FILE1.RST、FILE2.RST)。執(zhí)行第一荷載步：選擇組件A、B執(zhí)行ISFILE命令，導入第二步計算得到的應力荷載(FILE2.IST)，施加第二步的荷載，進行計算；執(zhí)行第二荷載步：施加組件C的輪輻索預應力和自重進行計算，執(zhí)行ISWRITE命令得到第三步的位移結果文件(FILE3.RST)與應力文件(FILE3.IST)。

第四步，建立如圖 7施工步4所示模型，其中新增節(jié)點的位置按照分步建模法中的設計位形定位準則確定。將輪盤單元的節(jié)點坐標系順時針旋轉90°，令節(jié)點坐標系與單元坐標系的相對方向與第一、二、三施工步相同，支座仍位于組件B、C之間。執(zhí)行UPGEOM命令導入第一、第二、第三步計算得到的節(jié)點位移(FILE1.RST、FILE2.RST、FILE3.RST)。執(zhí)行第一荷載步：選擇組件A、B、C執(zhí)行ISFILE命令，導入第三步計算得到的應力荷載(FILE3.IST)，施加第三步的荷載，進行計算。執(zhí)行第二荷載步：施加組件D的輪輻索預應力和結構自重進行計算，執(zhí)行ISWRITE命令得到第四步的位移結果文件(FILE4.RST)與應力文件(FILE4.IST)。

以此類推，分別進行施工步5到施工步8的計算，即可得安裝完畢的內(nèi)力與位移結果。

須注意，由于每一步計算得到的位移均是相對于該步UPGEOM更新節(jié)點坐標的，故每一步的實際位移應等于該步UPGEOM后的節(jié)點坐標減去UPGEOM前的節(jié)點坐標，再加上該步計算得到的節(jié)點位移。

5.3 計算結果對比

以安裝完畢后剛性輪輻與輪緣的8個公共點(圖8)相對于設計位形的位移和安裝完畢后48根輪輻索的軸力結果為例，對比分階段獨立建模法和基于分步建模的坐標旋轉法的計算結果，剛性輪輻與輪緣的8個公共節(jié)點的和位移USUM對比結果如圖 9所示，48根輪輻索的軸力對比結果如圖 10所示。

圖8 剛性輪輻與輪緣公共點編號圖Fig.8 Common nodes of rigid spoke and wheel

對比兩種計算方法得到的結果可發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：

(1) 采用分階段獨立建模法分析認為結構一次成型，由于摩天輪結構受力較為均勻對稱，故得到的各節(jié)點位移較為均勻，差異不大，且得到的節(jié)點位移和坐標旋轉法的計算結果相比偏??；

(2) 坐標旋轉法與分階段獨立建模法的位移結果在最初完成安裝的幾個節(jié)點處較為接近，而隨著施工步的進展，施工變形的累積，后續(xù)施工步完成安裝的節(jié)點的計算結果差異逐漸增大；

圖9 剛性輪輻與輪緣公共節(jié)點的和位移USUM計算結果對比Fig.9 Total displacement USUM comparison for the commonodes of rigid spoke and wheel

圖10 輪輻索軸力計算結果對比Fig.10 Spoke cable tensile force comparison

(4) 采用坐標旋轉法與分階段獨立建模法計算得到的所有輪輻索軸力的變化趨勢一致；

(5) 采用分階段獨立建模法認為輪輻索索力一次完成張拉，得到的輪輻索索力比坐標旋轉法得到的索力偏大；

(6) 坐標旋轉法由于可以考慮分批張拉的施工過程中后續(xù)張拉對前序已完成張拉的輪輻索軸力的影響，故得到的輪輻索索力比分階段獨立建模法得到的索力偏小。

5 結 論

對于帶有剛體旋轉位移的施工方法，本文以非線性有限元為理論依據(jù)，通過研究剛體大轉角位移前后結構位形與剛度矩陣的變化規(guī)律，推導出有限元模型在結構旋轉后的位移矩陣、荷載矩陣和切線剛度矩陣的擴展與修正方法，為模擬帶有大轉角位移的施工過程提供了理論依據(jù)。

以分步建模法為基礎，通過對有限元程序ANSYS計算功能的擴展，提出一種在現(xiàn)有有限元軟件基礎上實現(xiàn)模擬帶有剛體大轉角位移的施工過程的便捷有效的施工模擬計算方法——基于分步建模的坐標旋轉法，并通過算例驗證了其可行性。

通過懸臂梁旋轉計算結果說明，本文數(shù)值計算方法有效，且誤差不超過1%。

通過對北京朝天輪的豎立旋轉法施工過程模擬計算比較說明，采用基于分步建模的坐標旋轉法對于帶有剛體旋轉的施工過程有更好的適應性，可以更準確地反映施工過程中以及成型后結構的受力性能。

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