李勇明,劉鵬

趙金洲,羅攀 (油氣藏地質(zhì)與開發(fā)工程國家重點實驗室(西南石油大學),四川成都610500)

基于有限元裂縫網(wǎng)絡(luò)的壓裂液濾失模擬

李勇明,劉鵬

趙金洲,羅攀 (油氣藏地質(zhì)與開發(fā)工程國家重點實驗室(西南石油大學),四川成都610500)

壓裂液濾失速度是水力壓裂設(shè)計分析中的重要參數(shù)之一,對于裂縫性儲層,它可以用裂縫型儲集層壓裂液濾失數(shù)學模型來計算,但是現(xiàn)有的壓裂液濾失數(shù)學模型并沒有考慮天然裂縫呈不規(guī)則網(wǎng)絡(luò)分布且形態(tài)復雜這些因素對濾失的影響。因此,在考慮這些因素的前提下,以壓裂液沿著天然裂縫向基質(zhì)滲濾為基礎(chǔ),建立了裂縫網(wǎng)絡(luò)的等效連續(xù)介質(zhì)濾失模型,運用有限元方法求得了數(shù)值解。新方法能模擬復雜裂縫形態(tài)對濾失過程中壓力分布的影響,克服了傳統(tǒng)方法不能模擬裂縫彎曲、相交、方位變化等對濾失影響的局限。

天然裂縫;壓裂液;裂縫網(wǎng)絡(luò);有限元;濾失模型

水力壓裂施工中,被泵入到地層中的壓裂液在裂縫與地層的壓力差作用下會向地層發(fā)生濾失,其濾失量的大小將直接影響壓裂液的效率、裂縫幾何尺寸和壓后支撐劑在裂縫中的分布。對此,許多學者也曾提出過相關(guān)的濾失模型[1,2]來研究壓裂液濾失,但將天然裂縫考慮進來的卻很少。天然裂縫的存在可導致液體濾失量成倍增加,難以形成嚴格意義上的濾餅區(qū),傳統(tǒng)的這些濾失模型就不適合用于天然裂縫較發(fā)育的地層濾失。針對天然裂縫的影響,李勇明等[3,4]建立了考慮裂縫型儲集層壓裂液濾失的數(shù)學模型,并給出了模型的解析解,但也未涉及到天然裂縫呈不規(guī)則網(wǎng)絡(luò)分布、形態(tài)復雜等因素的影響。為此,筆者通過引入裂縫滲透率張量表達式,然后運用有限元方法建立了考慮裂縫呈不規(guī)則網(wǎng)絡(luò)分布的等效連續(xù)介質(zhì)濾失模型,最后模擬裂縫形態(tài),分析了各種復雜的、不規(guī)則的呈網(wǎng)絡(luò)狀分布的裂縫對壓裂液濾失的影響,為天然裂縫較發(fā)育的裂縫型儲層進行壓裂設(shè)計與施工提供了一定的參考價值。

1 裂縫滲透率張量的引入

假設(shè)在地層中有一條天然裂縫,其縫寬為w,流體在其中流動時遵循達西定律。根據(jù)流體力學理論,通過間距為w的兩個單位高度的平行板間的流體平均流量與壓力梯度的關(guān)系為[5]:

式中:Q為流體流量,cm3/s;μ為流體黏度,m Pa·s;w為裂縫寬度,10-1mm;p為裂縫中流體壓力, 10-1MPa;l為裂縫長度,cm。

達西定律中流量與壓力梯度的關(guān)系可表示為:

式中:K為裂縫滲透率,D;A為橫截面積,cm2。

結(jié)合式(1)、(2),可得沿平行板方向的等效滲透率:

由于天然裂縫一般很窄,垂直于裂縫方向上的流動范圍十分有限;基質(zhì)滲透性決定了裂縫中垂直于壁面的滲流,因此可以認為垂直于裂縫壁面方向的等效滲透率就是基質(zhì)滲透率。即:

滲透率是一個二階張量,二維情形下共有4個分量,以矩陣的形式表示為:

式中:Kxx、Kxy、Kyx、Kyy為滲透率張量的4個分量,D。

當裂縫方向與壓力梯度方向之間的角度為θ時,滲透率張量可表示為:

由式(5)、(6)可見,不論θ取何值,滲透率二階張量中有一對分量是相等的,即Kxy=Kyx。此時滲流方向與壓力梯度方向也不一致,滲流速度按坐標軸分解為vx和vy,滲流速度分量不僅與該方向上的壓力梯度相關(guān),還與垂向上的壓力梯度相關(guān),即:

式中:vx、vy分別為沿著裂縫方向和垂直于裂縫壁面方向的滲流速度,cm/s。

2 裂縫網(wǎng)絡(luò)的等效連續(xù)介質(zhì)濾失模型

天然裂縫的存在極大地影響濾失狀況,尤其是當裂縫滲透率與基質(zhì)滲透率差別較大的時候。研究含裂縫與基質(zhì)的兩種介質(zhì)中工作液濾失或滲流是一個非常復雜的問題[6,7],尤其是需要考慮到天然裂縫的具體形態(tài)的時候。得益于有限元方法的出現(xiàn),現(xiàn)在已經(jīng)可以解決這一難題了。

前面給出了裂縫的等效滲透率,因此可以將含有裂縫的介質(zhì)看成是連續(xù)介質(zhì),只不過連續(xù)介質(zhì)的滲透率不是固定的,而是隨位置變化的,并且為各向異性的,可表示為張量形式。具體說來,等效連續(xù)介質(zhì)的滲透率主要分為2種:第1種是基質(zhì)滲透率,一般可認為基質(zhì)是各向同性的,其滲透率可以表示為Km,表示為張量的形式為:

第2種是裂縫滲透率,裂縫的滲透率張量為K(θ),它與裂縫的開度、裂縫與基質(zhì)的角度等相關(guān)。裂縫與基質(zhì)共同組成了滲流區(qū)域[8～10],因此,等效連續(xù)介質(zhì)濾失模型所要考慮的就是在不同位置取不同的滲透率張量進行計算。

已知連續(xù)介質(zhì)滲流的質(zhì)量守恒方程為:

式中:C為地層綜合壓縮系數(shù),MPa-1;t為濾失時間,s。

將式(7)、(8)代入式(11),可得連續(xù)介質(zhì)濾失模型:

即:

根據(jù)連續(xù)介質(zhì)的濾失模型方程 (12)與內(nèi)外都定壓的邊界條件,運用有限元理論可寫出方程的弱形式為:

式中:W(x,y)是有限元插值函數(shù);dΩ表示在整個濾失區(qū)域積分。

將上述弱表達式寫入COMSOL軟件,便能通過有限元方法求解網(wǎng)絡(luò)裂縫的等效連續(xù)介質(zhì)濾失模型方程。

3 天然裂縫形態(tài)對濾失的影響

3.1 裂縫方向

地層中天然裂縫方向與工作液流動壓力梯度方向 (即濾失方向)之間的夾角會直接影響到濾失速度的大小。根據(jù)式 (14)運用有限元方法得到了濾失區(qū)壓力分布的數(shù)值解,如圖1所示。

圖1 不同方向的天然裂縫對濾失區(qū)壓力分布的影響

圖1為模擬區(qū)域含3種不同方向天然裂縫,與壓力梯度方向分別為0°、-45°、90°,濾失時間均為3000s。從數(shù)值計算結(jié)果來看,裂縫方向?qū)V失存在著不同程度的影響,順著壓力梯度方向的裂縫能大量增加壓力傳播速度和濾失速度,而垂直于壓力梯度方向的裂縫幾乎沒有影響,角度在二者之間的裂縫的影響也介于二者之間。因此可以認為當油藏中順著壓力梯度方向的天然裂縫條數(shù)越多,工作液的濾失也越快。

3.2 裂縫密度

地層某一區(qū)域中天然裂縫條數(shù)分布越多,工作液流入該區(qū)域所需的阻力越小,工作液濾失量也就增大。利用式 (14)并結(jié)合有限元方法模擬了在3種不同裂縫密度條件下濾失區(qū)域的壓力分布等值線,結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同裂縫密度的天然裂縫對濾失區(qū)壓力分布的影響

圖2(a)為邊長5m的矩形,圖2(b)為邊長2m的矩形,圖2(c)為邊長1m的矩形,濾失時間均為3000s。由模擬結(jié)果可見,天然裂縫越密,從裂縫到油藏深部的壓力傳播越快,濾失速度也越快。由此可認為油藏巖石天然裂縫越發(fā)育,則工作液濾失速度越快。

3.3 裂縫寬度

式 (3)已經(jīng)給出順裂縫方向的裂縫滲透率與裂縫寬度的關(guān)系式,這里具體研究不同裂縫寬度對濾失的影響。表1是在給定的裂縫寬度下,由式(3)計算出的對應(yīng)等效滲透率。

由式(3)可知,裂縫滲透率與裂縫寬度的平方成正比,所以裂縫寬度對濾失速度有平方次數(shù)的影響,對濾失量則存在立方次數(shù)的影響,裂縫寬度對濾失的影響非常大。圖3分別模擬天然裂縫在給定的寬度、長度下運用有限元方法求解方程 (14)得到的濾失區(qū)壓力分布與濾失速度分布數(shù)值解。圖3(a)中上邊的裂縫寬度為0.01mm,中間裂縫寬度為0.005mm,最下邊裂縫寬度為0.001mm。由圖3可見,天然裂縫寬度還很大程度地影響了基質(zhì)中的壓力分布?？烧J為,油藏中存在較寬天然裂縫時,工作液濾失將顯著增加。

表1 不同寬度的裂縫對等效滲透率的影響

圖3 天然裂縫對濾失區(qū)壓力分布與濾失速度的影響

3.4 裂縫長度

圖3(b)中天然裂縫長度從上到下依次為8、6、4、2m。由模擬結(jié)果可見,天然裂縫長度對基質(zhì)的壓力分布影響較大,長裂縫附近基質(zhì)壓力等值線推進的速度更快。由此可預測長裂縫中的濾失速度更大。圖3(b)右邊區(qū)域是天然裂縫中的工作液濾失速度,長裂縫中的濾失速度明顯大于短裂縫的濾失速度,這是因為長裂縫需要向更多的基質(zhì)供液。另外裂縫口的濾失速度遠大于裂縫深部的濾失速度。

3.5 裂縫連通性

天然裂縫連通性對工作液濾失存在很大影響,在天然裂縫連通性較差的儲層中工作液濾失時,需要通過滲透率較低的基質(zhì),這相當于增加了工作液濾失的阻力,而在裂縫連通性好的儲層中的濾失阻力小,濾失明顯要快得多?？紤]同一區(qū)域中天然裂縫呈不同連通性條件下,運用有限元方法求解式 (14)得到該濾失區(qū)域壓力分布的數(shù)值解。

從圖4模擬結(jié)果可見,連通性好的儲層中壓力等值線推進速度大大高于連通性差的儲層,說明工作液在連通性好的裂縫中越容易流動,濾失量會相應(yīng)增大。

圖4 不同連通性的天然裂縫對濾失區(qū)壓力分布的影響

4 結(jié)論

1)引入裂縫的等效滲透率,將含有裂縫的介質(zhì)看成是連續(xù)介質(zhì)。連續(xù)介質(zhì)的滲透率不是固定的,而是隨位置變化的,并且為各向異性,可以張量的形式表示。

2)結(jié)合連續(xù)介質(zhì)滲流的質(zhì)量守恒方程和滲流速度表達式,可以得到裂縫網(wǎng)絡(luò)的等效連續(xù)介質(zhì)濾失模型。運用有限元方法可求得等效連續(xù)介質(zhì)濾失模型的濾失區(qū)壓力分布。

3)運用有限元軟件模擬了天然裂縫形態(tài),發(fā)現(xiàn)天然裂縫形態(tài)對濾失的影響很大。順著壓力梯度方向的天然裂縫條數(shù)越多,濾失越快,并且濾失速度與天然裂縫密度、寬度、長度和連通性呈正相關(guān)。

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[編輯] 黃鸝

TE357.12

A

1000-9752(2014)09-0132-05

2014-03-14

國家自然科學基金項目(51344005);國家科技重大專項(2011ZX05014-006)。

李勇明(1974-),男,1997年西南石油學院畢業(yè),博士,教授,現(xiàn)從事油氣開采和增產(chǎn)新技術(shù)的教學與科研工作。