安樹庭，秦文釗，顧恩國

（中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，湖北 武漢430074）

1 問題的提出

2013年1 月17日，習(xí)近平總書記作出厲行勤儉節(jié)約反對鋪張浪費的重要批示，1月20日，中共中央辦公廳發(fā)出《印發(fā)習(xí)近平同志關(guān)于厲行勤儉節(jié)約反對鋪張浪費重要批示的通知》，該批示引起了強烈的反響［1-2］.

高校學(xué)生食堂是為學(xué)生提供就餐飲食及服務(wù)的場所.高校學(xué)生人數(shù)眾多，每天前來就餐的學(xué)生人數(shù)處于動態(tài)變化之中，在不確定具體的就餐人數(shù)的情況下，如何供應(yīng)每天的飯菜數(shù)量，以達到利潤最大化和浪費最小化的雙贏，是一個值得研究的問題.然而，目前少見研究高校學(xué)生食堂利潤最大化和浪費最小化的雙贏問題，目前關(guān)于高校學(xué)生食堂的研究大都集中在如下幾個方面：一是研究學(xué)生食堂飲食衛(wèi)生的安全管理問題［3-4］；二是利用結(jié)構(gòu)方程模型及多元統(tǒng)計的方法確定學(xué)生對食堂的滿意度問題［5-6］；三是模擬學(xué)生就餐的動態(tài)過程，分析評價學(xué)生食堂排隊與滯留狀況的原因，進而給相關(guān)部門提供決策建議［7］.

通過分析食堂的就餐人數(shù)變化規(guī)律和食堂飯量供應(yīng)規(guī)律，在保證安全、價格合理的前提下，以利潤最大化和浪費最小化為目標，建立多目標優(yōu)化模型，通過考察模型的特點，利用計算機進行模擬，確定供應(yīng)調(diào)整系數(shù)的最優(yōu)取值，進而為食堂管理者提供參考.

2 模型的建立

假設(shè)學(xué)校開設(shè)2個食堂，分別記作i＝1，2，學(xué)生可以自主選擇是否在食堂就餐以及在哪個食堂就餐；xi（t）表示t時刻（該時刻間隔為一天或者一餐，后文計算機模擬中具體說明）在食堂i就餐的學(xué)生人數(shù)；x3（t）表示在t時刻不在食堂就餐的學(xué)生人數(shù)；N表示學(xué)生總?cè)藬?shù)；gi（t）表示t時刻食堂i的供應(yīng)量

（單位：份），每份滿足且僅滿足1名學(xué)生的就餐需求；p表示每個時刻的人均消費額（單位：元）.

2.1 就餐人數(shù)和供應(yīng)量變化規(guī)律的差分方程 為了敘述方便，引進虛擬食堂3，認為不在食堂1，2就餐的學(xué)生均在食堂3就餐.鑒于學(xué)生在選擇具體的就餐地點具有一定的自主性和隨機性，引入就餐轉(zhuǎn)移率的概念，用aij（t）（i，j＝1，2，3）表示t時刻在食堂i就餐，t＋1時刻在食堂j就餐的學(xué)生人數(shù)比例，則食堂的就餐人數(shù)的變化規(guī)律可用如下差分方程系統(tǒng)表示：

顯然有

記

則（1）式等價于

且稱A（t）為就餐轉(zhuǎn)移率矩陣.

由于每次就餐的學(xué)生人數(shù)不確定，若食堂總是維持不變的供應(yīng)量，則極容易造成資源浪費或者短缺，因此食堂每次的供應(yīng)量應(yīng)該有所調(diào)整.假設(shè)食堂按照類似文獻［8］中的自適應(yīng)方案調(diào)整其供應(yīng)量，t＋1時刻的供應(yīng)量取決于t時刻的供應(yīng)是否平衡，如果供大于求，則減少供應(yīng)；如果供小于求，則增加供應(yīng).因此t＋1時刻的供應(yīng)量與t時刻的供應(yīng)量和需求量之間存在如下關(guān)系：

其中αi＞0為食堂i的供應(yīng)調(diào)整系數(shù).

2.2 食堂的利潤函數(shù)與剩余函數(shù) 食堂每個時刻的利潤等于該時刻的收入與成本的差值.收入指飯菜收入與就餐人數(shù)和人均消費額有關(guān)；成本包括固定成本和可變成本，固定成本包括場地租賃費和器材固有損耗費等，可變成本指食堂的供應(yīng)成本等.每個食堂的成本與各自的供應(yīng)量和總供應(yīng)量有關(guān)，假設(shè)供應(yīng)成本滿足庫布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)［9］，則t時刻食堂i的成本

其中cfi是固定成本，ci＞0反應(yīng)食堂i的經(jīng)營管理水平.

所以t時刻食堂i的利潤

當供大于求時，才會出現(xiàn)剩余，因此t時刻食堂i的剩余

其中Ⅰ為示性函數(shù)，Ⅰ｛gi（t）-xi（t）≥0｝的定義如下：

2.3 模型的確定 在保證安全、價格合理的條件下，食堂應(yīng)追求利潤最大化和剩余最小化.考慮一個時間段T（一個月或者一個學(xué)期等）內(nèi)的總利潤和總剩余，得到如下多目標優(yōu)化模型：

在模型（10）式中，目標函數(shù)一H1（i）表示在T時間段中食堂i的總利潤；目標函數(shù)二H2（i）表示在T時間段中食堂i的總剩余.

3 模型的分析

3.1 模型的分析 通過分析模型（10）式不難發(fā)現(xiàn)，該模型有6類共計17個參數(shù)，包括參數(shù)p，cfi，ci，αi，N及變參數(shù)aij，對于任意時刻t，如果能夠確定這17個參數(shù)取值，則很容易確定目標函數(shù)一和目標函數(shù)二的取值.

由于就餐轉(zhuǎn)移率是隨機變化的，所以該模型沒有理論上的數(shù)值最優(yōu)解.為了確定最優(yōu)供應(yīng)調(diào)整系數(shù)，先利用計算機模擬研究利潤和剩余和就餐轉(zhuǎn)移矩陣的關(guān)系.進一步根據(jù)他們的關(guān)系確定最優(yōu)供應(yīng)調(diào)整系數(shù).

3.2 矩陣A（x）進一步分析及初值的確定 雖然學(xué)生們的就餐選擇具有隨機性和主觀性，但是結(jié)合實際，我們還是可以得到如下幾個事實：

1）絕大部分學(xué)生就餐具有局部固定性：即習(xí)慣了某一個食堂的口味之后，除特殊情況下，不會更改就餐選擇；

2）雖然學(xué)生自主選擇是否在食堂就餐，但在食堂就餐的學(xué)生人數(shù)仍占學(xué)生總?cè)藬?shù)的絕大部分；3）對于大部分學(xué)生而言，當在某一個食堂就餐一段時間后，為了換個口味，會偶爾選擇更換食堂.基于上述事實，根據(jù)在中南民族大學(xué)某學(xué)院小范圍進行的就餐轉(zhuǎn)移選擇調(diào)查，我們做出如下規(guī)定：

1）對在1，2食堂就餐的學(xué)生，選擇在固定食堂就餐的學(xué)生比例服從［0.9，1］的均勻分布，即a11，a22∽U（0.9，1）；選擇轉(zhuǎn)移就餐地點的學(xué)生比例服從［0，1-aii］的隨機分布，且滿足

2）由于學(xué)生食堂在價格和衛(wèi)生安全上的優(yōu)勢，很少有學(xué)生常年不在學(xué)生食堂就餐，通常而言，是因為一些特殊原因才偶爾選擇不在食堂就餐，因此假設(shè)不在食堂就餐的學(xué)生人數(shù)服從［0.4，0.6］的均勻分布，即a33∽U（0.4，0.6）；選擇轉(zhuǎn)移就餐地點，前往食堂就餐的學(xué)生人數(shù)比例服從［0，1-a33］的隨機分布，且滿足

3）假設(shè)初始時刻在食堂1，2就餐的人數(shù)為0.9N，且在兩個食堂就餐人數(shù)相同，即

4）假設(shè)初試時刻食堂1，2的供應(yīng)量等于需求量，即

4 計算機模擬

4.1 就餐轉(zhuǎn)移率矩陣A（t）對利潤和剩余的影響 為了確定在學(xué)生就餐人數(shù)不確定的情況下，食堂的利潤與供應(yīng)量是否能夠達到穩(wěn)定狀態(tài)或者維持在一個固定的水平，用計算機模擬就餐轉(zhuǎn)移率對利潤和剩余的影響，計算步驟如下：

step1：確定時間間隔t和時間段T，給參數(shù)P，cfi，αi，ci，N賦值；

step2：利用計算機求解模型（10），得到食堂1，2在時間段T內(nèi)的總利潤和總剩余；

step3：重復(fù)模擬10 000次，觀察10 000次模擬條件下總利潤和總剩余的變化規(guī)律.

取時間間隔t＝1天，時間段T＝30（天），人均消費額P＝10元／天，固定成本cfi＝50 000元，調(diào)整系數(shù)α1＝α2＝2，可變成本c1＝c2＝1.5，人數(shù)N＝20 000人.

利用MATLAB進行仿真模擬，得到10 000次模擬下兩個食堂的總利潤和總剩余的變化規(guī)律如圖1所示（由于數(shù)值過于密集，為了便于觀看分析，圖中僅給出了前100次的數(shù)據(jù)散點圖）.

圖1 計算機模擬下兩個食堂的月利潤和月剩余散點圖

從圖1可以明顯看出，盡管轉(zhuǎn)移率矩陣每次的取值不同，但是對結(jié)果的整體影響并不大，為了進一步觀察模擬結(jié)果，我們重復(fù)上述模擬步驟10次，得到數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 10次模擬下兩個食堂的利潤和剩余數(shù)據(jù)

從上表可以清晰看出，由于隨機模擬存在誤差，所以每次所得到的月均利潤和月均剩余會有所差異，但是均值非常接近，方差也非常小.食堂的月均利潤為200萬元左右，我們在成本中只計算了食堂的固定成本和基于供應(yīng)量的可變成本，尚未包括員工的工資、納稅的費用及煤、電等費用，除去這些費用，剩下的利潤也是比較符合實際情況的.該結(jié)果說明在我們的分析假設(shè)下，就餐轉(zhuǎn)移率矩陣對最終的月平均利潤和月平均剩余影響不大，說明食堂的月均利潤和月均剩余可以維持在一個比較穩(wěn)定的水平.

4.2 供應(yīng)調(diào)整系數(shù)αi對總利潤和總剩余的影響 在4.1中通過計算機仿真，證明了就餐轉(zhuǎn)移率矩陣對月均利潤和月均剩余的影響不大.在此基礎(chǔ)上，為了給管理者提供決策建議，考慮供應(yīng)調(diào)整系數(shù)對總利潤和總剩余的影響.采用如下思路進行計算機模擬：

step1：確定參數(shù)P，cfi，ci，N，T的取值；

step2：令系數(shù)向量α1＝α2＝α，α＝0∶0.1∶2.4.

step3：利用計算機求解模型（10）式，觀察食堂的月均利潤和月均剩余在不同的調(diào)整系數(shù)下的變化規(guī)律，從而確定最優(yōu)調(diào)整系數(shù).

取時間間隔t＝1天，時間段T＝30（天），人均消費額P＝10元／天，固定成本p＝20 000元，經(jīng)營管理水平c1＝c2＝1.5，人數(shù)N＝20 000人.

利用計算機進行模擬，得到25組不同的調(diào)整系數(shù)值下兩個食堂的利潤和剩余量如表2所示.

表2 不同供應(yīng)調(diào)整系數(shù)下兩個食堂的利潤和剩余數(shù)據(jù)表

從表2可以發(fā)現(xiàn)，隨著供應(yīng)調(diào)整系數(shù)的增大，兩個食堂的利潤剛開始不會發(fā)生明顯的變化，但是剩余量則會越來越多，顯然不滿足剩余最小化的要求.

4.3 最優(yōu)供應(yīng)調(diào)整系數(shù)的確定 由于需要同時兼顧利潤最大化和剩余最小化兩個方面的要求，為了確定最優(yōu)供應(yīng)調(diào)整系數(shù)，不能但看某一項指標的取值，為此，引入供應(yīng)調(diào)整系數(shù)適應(yīng)指標

其中Rα，Lα表示供應(yīng)調(diào)整系數(shù)為α?xí)r兩個食堂的平均剩余和利潤.

顯然，該指標越小，供應(yīng)調(diào)整系數(shù)越優(yōu).同時需要注意到，當α≤1.8時，總有一個食堂的剩余量為0，即總有一個食堂處于供不應(yīng)求的狀態(tài).在實際中這種情況是不合理的，長期供不應(yīng)求容易降低學(xué)生們的就餐滿意度，也不符合食堂服務(wù)學(xué)生的宗旨.因此僅考慮兩個食堂平均剩余均大于0的情形，例如根據(jù)表2的模擬結(jié)果，可取調(diào)整系數(shù)α1＝α2＝1.9.

考慮到僅僅依靠一次模擬確定最優(yōu)供應(yīng)調(diào)整系數(shù)具有一定的誤差，重復(fù)進行4.2中的計算機模擬20次，得到每一次模擬條件下的最優(yōu)供應(yīng)調(diào)整系數(shù)如表3所示.

表3 20次重復(fù)模擬下的最優(yōu)供應(yīng)調(diào)整系數(shù)

從表3可以看出，最優(yōu)供應(yīng)調(diào)整系數(shù)總是處于區(qū)間［1.5，2.0］之中，因此認為當供應(yīng)調(diào)整系數(shù)αi屬于區(qū)間［1.5，2.0］時，學(xué)生食堂按照（5）式來調(diào)整自己的供應(yīng)量，可以達到利潤最大化和剩余最小化的雙贏目標.

5 結(jié)語

提出的是具有公共顧客的兩個學(xué)生食堂的利潤與剩余的問題.建立隨機動態(tài)規(guī)劃模型，通過分析模型的特點，利用計算機仿真，得到食堂就餐人數(shù)的局部轉(zhuǎn)移對利潤和總剩余的影響并不大的結(jié)論，進一步根據(jù)計算機模擬確定供應(yīng)調(diào)整系數(shù)的最優(yōu)取值范圍，對高校學(xué)生食堂管理決策者而言具有實用的參考價值.

［1］民政部辦公廳.民政部辦公廳關(guān)于貫徹落實習(xí)近平總書記厲行勤儉節(jié)約、反對鋪張浪費重要批示的通知［EB／OL］.http：／／www.mca.gov.cn／article／zwgk／tzl／201301／20130100411302.shtml，2013-4-13.

［2］新華網(wǎng).習(xí)近平總書記厲行勤儉節(jié)約、反對鋪張浪費重要批示引起強烈反響［EB／OL］.http：／／news.xinhuanet.com／politics／2013-01-29／c＿114545327.htm，2013-4-13.

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