郭林鋒 李秀君 趙雪美

(1.上海理工大學(xué)環(huán)境與建筑學(xué)院，上海 200093； 2.南京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210094)

·招標(biāo)投標(biāo)·

基于次低價(jià)中標(biāo)法的最優(yōu)投標(biāo)報(bào)價(jià)模型

郭林鋒1李秀君1趙雪美2

(1.上海理工大學(xué)環(huán)境與建筑學(xué)院，上海 200093； 2.南京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210094)

根據(jù)評(píng)標(biāo)采用次低價(jià)中標(biāo)原則，建立了使中標(biāo)概率最大的最優(yōu)投標(biāo)報(bào)價(jià)模型，結(jié)合Matlab軟件，給出了該模型的求解程序，并羅列出在不同的投標(biāo)單位數(shù)目下，最優(yōu)投標(biāo)報(bào)價(jià)與招標(biāo)控制價(jià)的關(guān)系式，結(jié)果表明所建立的模型能較大幅度地提高中標(biāo)率。

投標(biāo)報(bào)價(jià)，次低價(jià)中標(biāo)，最優(yōu)，中標(biāo)率

隨著我國建設(shè)項(xiàng)目投資的不斷擴(kuò)大，建設(shè)工程招標(biāo)制度使用的范圍越來越廣，招標(biāo)已成為我國建設(shè)工程施工發(fā)包的主要形式。除法律規(guī)定的特殊工程外，絕大多數(shù)建設(shè)工程都要通過招標(biāo)選擇施工單位。建設(shè)工程施工投標(biāo)對(duì)施工企業(yè)的經(jīng)營(yíng)起著重要的作用，企業(yè)是否能夠投標(biāo)成功已經(jīng)成為企業(yè)生存和發(fā)展的重要條件。在建筑工程的招投標(biāo)過程中，確定中標(biāo)的方法多種多樣，主要有經(jīng)評(píng)審的最低價(jià)法、次低價(jià)中標(biāo)法、最接近標(biāo)底中標(biāo)法和綜合評(píng)估法等[1，2]。與最后兩種評(píng)標(biāo)方法相比，第一種方法透明性強(qiáng)、不易被人操縱，而且能夠降低招標(biāo)成本，但在過度激烈的競(jìng)爭(zhēng)中，有的單位以較低造價(jià)報(bào)價(jià)，中標(biāo)后為了能夠獲利，而降低工程質(zhì)量，使得運(yùn)用最低價(jià)法評(píng)標(biāo)失去其本質(zhì)目標(biāo)。為了改善因評(píng)標(biāo)采用最低價(jià)法而帶來的弊端，次低價(jià)中標(biāo)法被招標(biāo)單位所采納，并且在實(shí)際評(píng)標(biāo)過程中運(yùn)用的越來越多。評(píng)標(biāo)采用次低價(jià)中標(biāo)法，不僅能防止施工單位過度壓低報(bào)價(jià)，而且它也具有透明性強(qiáng)、不易被人操縱、能夠降低招標(biāo)成本等優(yōu)點(diǎn)。

隨著招標(biāo)單位所選擇評(píng)標(biāo)方法的不同，投標(biāo)報(bào)價(jià)的策略也隨之而改變。近年來最優(yōu)投標(biāo)報(bào)價(jià)問題的研究取得了一系列豐碩的成果，評(píng)標(biāo)采用綜合評(píng)估法可以利用模糊數(shù)學(xué)[3]、頻率直方圖[4]、公式法[5]等方法確立最優(yōu)報(bào)價(jià)，評(píng)標(biāo)采用經(jīng)評(píng)審的最低價(jià)法可以應(yīng)用概率分布法[6,7]、博弈理論[8，9]等方法確定最優(yōu)報(bào)價(jià)，而評(píng)標(biāo)采用次低價(jià)法的數(shù)學(xué)模型較少。本文則主要運(yùn)用概率分布法建立評(píng)標(biāo)采用次低價(jià)法的最優(yōu)投標(biāo)報(bào)價(jià)模型。

1 模型的假設(shè)

1)招標(biāo)人給出的招標(biāo)控制價(jià)準(zhǔn)確合理，能夠反映工程實(shí)際情況，且能為投標(biāo)單位投標(biāo)報(bào)價(jià)提供正確的引導(dǎo)。

2)所有參加投標(biāo)的單位都符合招標(biāo)文件中的資質(zhì)要求。

3)參加投標(biāo)的單位相互獨(dú)立，無信息溝通，更不會(huì)出現(xiàn)圍標(biāo)現(xiàn)象。

4)投標(biāo)單位所雇用的造價(jià)人員熟悉工程量清單規(guī)范，制作的標(biāo)書無原則性錯(cuò)誤，即不會(huì)產(chǎn)生廢標(biāo)。

5)評(píng)標(biāo)遵循公開、公平和公正原則，且采用“次低價(jià)中標(biāo)”的評(píng)標(biāo)原則。

2 模型的準(zhǔn)備

2.1 確定投標(biāo)報(bào)價(jià)的區(qū)間

在招標(biāo)單位發(fā)布的招標(biāo)文件中，都包含著招標(biāo)控制價(jià)。投標(biāo)單位進(jìn)行投標(biāo)時(shí)，其投標(biāo)報(bào)價(jià)不得高于招標(biāo)控制價(jià)，一旦高于招標(biāo)控制價(jià)，都作廢標(biāo)處理。由此可以看出，投標(biāo)報(bào)價(jià)所在區(qū)間的最大值即為招標(biāo)控制價(jià)。

根據(jù)工程量清單規(guī)范可知：以社會(huì)平均成本作為參照的招標(biāo)最低價(jià)B是以招標(biāo)控制價(jià)A下降一定幅度K來計(jì)算的[10，11]。計(jì)算公式為：B=A×(1-K)，其中K=K1×Q+K2×(1-Q)，K1與K2在建筑工程(含隨主體發(fā)包的裝飾裝修、安裝、室外總體等工程)中取值區(qū)間為6%～12%，Q的取值區(qū)間為30%～70%。根據(jù)放縮法可知K≤12%，因此B≥0.88A。根據(jù)假設(shè)4)認(rèn)為投標(biāo)人熟悉工程量清單規(guī)范中上述基本內(nèi)容，因此可以認(rèn)為所有投標(biāo)報(bào)價(jià)均在[0.88A,A]區(qū)間內(nèi)。

2.2 確定投標(biāo)報(bào)價(jià)的區(qū)間

根據(jù)假設(shè)5)評(píng)標(biāo)采用“次低價(jià)中標(biāo)”的評(píng)標(biāo)原則，可以認(rèn)為大多數(shù)單位投標(biāo)報(bào)價(jià)都是偏向區(qū)間[0.88A,A]的左側(cè)。將投標(biāo)報(bào)價(jià)看作區(qū)間[0.88A,A]上的隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)趨于偏左側(cè)的偏態(tài)分布。

由于β分布根據(jù)參數(shù)的不同可以描述不同的偏態(tài)分布，而且它可以通過三點(diǎn)估計(jì)法確定分布中的參數(shù)，是一種常用的、適合描述投標(biāo)報(bào)價(jià)的概率分布[12]。因此，本文選擇β分布來描述投標(biāo)報(bào)價(jià)的概率分布。

β分布由變量的最小值a、最大值b和形狀參數(shù)r，s確定，其密度函數(shù)為：

(a≤x≤b,r>0,s>0)

(1)

(2)

(3)

其中，a為變量的最小值；b為變量的最大值；r，s均為密度函數(shù)的形狀參數(shù)。

2.3 確定密度函數(shù)中的參數(shù)

β分布的密度函數(shù)可以由三點(diǎn)估計(jì)來確定，即形狀參數(shù)r,s可根據(jù)變量的最小值a,最大值b和眾數(shù)m來確定。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式，三點(diǎn)估計(jì)法的β分布均值和方差的估計(jì)值分別為[13]：

(4)

(5)

其中,a為變量的最小值；b為變量的最大值；m為眾數(shù)。

根據(jù)上面的式子，只需知道a，b,m的數(shù)值，就可以求解參數(shù)r和s，而變量的最小值a,最大值b和眾數(shù)m分別與最小報(bào)價(jià)值a′,最大報(bào)價(jià)值b′和最可能報(bào)價(jià)值m′相對(duì)應(yīng)，其中a′=0.88A，b′=A，關(guān)鍵是確定m′的數(shù)值。

2.3.1 確定最可能報(bào)價(jià)值

2.3.2 分布區(qū)間的標(biāo)準(zhǔn)化及參數(shù)的確定

由于眾數(shù)m與投標(biāo)單位數(shù)目n有關(guān)。因此，對(duì)于不同的投標(biāo)單位數(shù)目而言，隨機(jī)變量x在區(qū)間[0,1]上的概率密度函數(shù)是不一樣的。但是，只要投標(biāo)單位數(shù)目n是確定的，無論最高控制價(jià)A取何值，該概率密度函數(shù)都是固定的。如圖1,圖2所示，在投標(biāo)單位數(shù)目n=3的情況下，圖1中的概率密度圖形會(huì)隨著最高控制價(jià)A的變化，而發(fā)生位置與形狀的改變。而圖2中的概率密度圖形與最高控制價(jià)A無關(guān)，是一個(gè)位置和形狀都確定的圖形。與圖1相比，圖2無需考慮最高控制價(jià)A，更加簡(jiǎn)潔明了。因此，對(duì)分布區(qū)間進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，能夠?qū)⒕哂邢嗤稑?biāo)單位數(shù)目的概率密度函數(shù)統(tǒng)一化，更有利于求解最優(yōu)投標(biāo)報(bào)價(jià)問題。

(6)

其中，n為投標(biāo)單位的數(shù)目。

從形狀參數(shù)r和s表達(dá)式也可以看出：隨機(jī)變量x在[0，1]區(qū)間上的概率密度函數(shù)僅與投標(biāo)單位數(shù)目n有關(guān)；對(duì)于不同的投標(biāo)單位數(shù)目，該概率密度函數(shù)是不一樣的。

在投標(biāo)的過程中，可以根據(jù)投標(biāo)單位數(shù)目n以及式(6)，得出形狀參數(shù)r和s的數(shù)值，進(jìn)而確定出在[0，1]區(qū)間上的概率密度函數(shù)。

3 模型的建立與求解

3.1 模型的建立

根據(jù)次低價(jià)中標(biāo)原則，當(dāng)有n家單位參與投標(biāo)且投標(biāo)報(bào)價(jià)c′A為中標(biāo)價(jià)時(shí)，說明沒有中標(biāo)的n-1家單位中有一家單位投標(biāo)報(bào)價(jià)在區(qū)間[0.88A,c′A)內(nèi)，其他n-2家單位的投標(biāo)報(bào)價(jià)在區(qū)間(c′A,A]內(nèi)。因此，以c′A作為投標(biāo)報(bào)價(jià)，其中標(biāo)概率為：

(7)

其中，n為投標(biāo)單位的數(shù)目；A為最高控制價(jià)；c′為報(bào)價(jià)系數(shù)；f(t)為投標(biāo)報(bào)價(jià)的概率密度函數(shù)。

(8)

(9)

為了使該中標(biāo)概率最大，可以建立以下模型：

(10)

根據(jù)上面對(duì)式(7)的簡(jiǎn)化，可以將該模型簡(jiǎn)化為：

(11)

3.2 模型的求解

4 模型的結(jié)果分析與評(píng)價(jià)

1)在建設(shè)工程招投標(biāo)中，只要是根據(jù)次低價(jià)中標(biāo)原則來評(píng)標(biāo)，就可以運(yùn)用該模型來確定最優(yōu)投標(biāo)報(bào)價(jià)。通過該模型，只需知道招標(biāo)最高控制價(jià)A和參加投標(biāo)單位的數(shù)目n，就可以定出最優(yōu)投標(biāo)報(bào)價(jià)，使得該投標(biāo)報(bào)價(jià)的中標(biāo)概率最大，而在實(shí)際招投標(biāo)過程中最高控制價(jià)和參加投標(biāo)單位數(shù)目都是可知的，由此，可以看出該模型實(shí)用性較強(qiáng)。

表1 模型求解數(shù)據(jù)表

2)根據(jù)最大中標(biāo)概率與投標(biāo)單位數(shù)目n的關(guān)系圖(見圖3)，可以看出：隨著投標(biāo)單位數(shù)目n的逐漸增加，運(yùn)用該模型得到的最大中標(biāo)概率逐漸趨近于某一定值。

3)運(yùn)用該模型得到的中標(biāo)概率與平均中標(biāo)概率相比，其中標(biāo)提高率的表達(dá)式如下所示：

(12)

從中標(biāo)提高率與投標(biāo)單位數(shù)目n的關(guān)系圖(見圖4)，可以看出：中標(biāo)提高率趨于線性增加，并且增加的幅度較大。結(jié)合表1，還可以看出：當(dāng)投標(biāo)單位n=5時(shí)，運(yùn)用該模型得到的中標(biāo)概率已經(jīng)比平均中標(biāo)概率提高了1.109倍，而且隨著n的增加，中標(biāo)提高率增加的倍數(shù)越大。由此可知：投標(biāo)單位越多，運(yùn)用該模型對(duì)提高中標(biāo)率越有利。

4)本文還給出了在Matlab中求解最優(yōu)投標(biāo)報(bào)價(jià)的程序，投標(biāo)人可以運(yùn)用該程序，根據(jù)提示，輸入?yún)⒓油稑?biāo)單位的數(shù)目n和最高控制價(jià)A，就可以得到最優(yōu)投標(biāo)報(bào)價(jià)。如果參加投標(biāo)單位的數(shù)目n在表1范圍內(nèi)，還可以根據(jù)表1直接確定最優(yōu)投標(biāo)報(bào)價(jià)，使中標(biāo)概率最大。在實(shí)際的投標(biāo)過程中，投標(biāo)單位可以根據(jù)本模型所得的最優(yōu)投標(biāo)報(bào)價(jià)作為報(bào)價(jià)的參考依據(jù)。

5 結(jié)語

在建設(shè)工程招投標(biāo)中，次低價(jià)中標(biāo)原則憑借自身的優(yōu)勢(shì)，在評(píng)標(biāo)中應(yīng)用越來越廣泛，而此種原則下的投標(biāo)報(bào)價(jià)模型較少。本文提出一種最優(yōu)投標(biāo)報(bào)價(jià)模型，只要是根據(jù)次低價(jià)中標(biāo)原則來評(píng)標(biāo)，就可以運(yùn)用該模型來確定最優(yōu)投標(biāo)報(bào)價(jià)。投標(biāo)單位只需根據(jù)招標(biāo)控制價(jià)和參與投標(biāo)單位的數(shù)目，運(yùn)用本文提供的Matlab程序或者表1中的關(guān)系式，就可以確定使投標(biāo)單位中標(biāo)可能性最大的投標(biāo)報(bào)價(jià)。運(yùn)用該模型得到的最優(yōu)投標(biāo)報(bào)價(jià)進(jìn)行投標(biāo)，其中標(biāo)概率比僅有3家單位參加投標(biāo)的平均中標(biāo)概率還要大，并且能夠較大幅度地提高中標(biāo)概率，使得企業(yè)更具有競(jìng)爭(zhēng)力。因此，在實(shí)際的投標(biāo)過程中，為了能夠使企業(yè)中標(biāo)的概率最大，投標(biāo)單位可以參照本文提出的模型進(jìn)行投標(biāo)報(bào)價(jià)。

附程序1：本文所建立最優(yōu)投標(biāo)報(bào)價(jià)模型的計(jì)算機(jī)程序(MATLAB[14])。

clc;clear;

n=input(’請(qǐng)輸入n的值:’)

symsx

a=0;b=1;

r=(n+4)*(2*n^2+8*n-8)/(3*n^3)

s=(5*n-4)*(2*n^2+8*n-8)/(3*n^3)

j=betainv(1/(n-1),r,s)

c=(1-0.88)*j+0.88

c=vpa(c,10) %改變c的精度,可使最優(yōu)投標(biāo)報(bào)價(jià)精確至分

A=input(’請(qǐng)輸入招標(biāo)控制價(jià)A的值’)

B=A*c;

fprintf(’最優(yōu)投標(biāo)報(bào)價(jià):’),B

[1] 林奕文.淺談工程投標(biāo)中最低價(jià)中標(biāo)的利弊[J].廣東土木與建筑,2002(8):41-42.

[2] 賈長(zhǎng)麟.對(duì)最低價(jià)中標(biāo)評(píng)標(biāo)方法的信息經(jīng)濟(jì)學(xué)分析[J].建筑經(jīng)濟(jì),2008(5):76-78.

[3] 鄧鐵軍,歐 莉,龔亮英.工程投標(biāo)報(bào)價(jià)策略模型的研究及其運(yùn)用[J].株洲工學(xué)院學(xué)報(bào),2004,18(5):57-60.

[4] 孫洪濤.建筑工程投標(biāo)報(bào)價(jià)數(shù)學(xué)模型探討[J].甘肅科技縱橫,2006,35(5):161-162.

[5] 張 曙.復(fù)合法評(píng)標(biāo)方式下最優(yōu)投標(biāo)報(bào)價(jià)研究[J].鐵路工程造價(jià)管理,2009,24(2):16-18.

[6] Lawrence Friedman. A Competitive-Bidding Strategy[J]. Operations Research,1956,4(1):104-112.

[7] 賈長(zhǎng)麟.最低價(jià)中標(biāo)規(guī)則下企業(yè)最優(yōu)投標(biāo)報(bào)價(jià)研究[J].武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào),2010,32(3):490-493.

[8] John G Riley, William F Samuelson. Optimal Auction[J].The American Economist,1981(71):381-392.

[9] 藍(lán)筱晟.最低價(jià)中標(biāo)法的投標(biāo)博弈研究[J].價(jià)值工程,2011(15):75-76.

[10] 楊琳琳.房地產(chǎn)項(xiàng)目最低價(jià)中標(biāo)法的投標(biāo)報(bào)價(jià)合理性研究[J].綿陽師范學(xué)院學(xué)報(bào),2012,31(7):20-22.

[11] 陳 群,孫 磊.蒙特卡羅法在投標(biāo)報(bào)價(jià)中的應(yīng)用[J].武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào),2009,31(3):503-506.

[12] 姜鵬飛.設(shè)計(jì)投標(biāo)中的蒙特卡洛模擬報(bào)價(jià)研究[J].工業(yè)技術(shù)經(jīng)濟(jì),2009,28(8):104-106.

[13] 王卓甫.工程項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)管理——理論、方法與應(yīng)用[M].北京:中國水力水電出版社,2002:96-97.

[14] 蒲 俊,吉家鋒,伊良忠.matlab6.0數(shù)學(xué)手冊(cè)[M].上海:浦東電子出版社,2009:144.

Optimal bidding price model under the rule of secondary low bid

GUO Lin-feng1LI Xiu-jun1ZHAO Xue-mei2

(1.SchoolofEnvironmentandArchitecture,ShanghaiUniversityofScienceandTechnology,Shanghai200093,China；2.SchoolofComputerScienceandEngineering,NanjingUniversityofScienceandTechnology,Nanjing210094,China)

According to the rule of secondary low bid, an optimal bidding price model was established in the above conditions which could maximize the winning rate of the bid. Moreover, this paper also presented a Matlab program to solve the model and the relationship between optimal bidding price and bidding control price with different bidder numbers. Result analysis of the model showed that the established optimal bidding price model can greatly improve the winning rate of the bid.

bid price, secondary low bid, optimal, winning rate of the bid

1009-6825(2014)34-0241-04

2014-09-22

郭林鋒(1988- )，男，在讀碩士； 李秀君(1976- )，女，博士，副教授； 趙雪美(1988- )，女，在讀碩士

TU723.2

A