鄭家兵，廖群英

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066)

1 引言及主要結(jié)果

1993 年，F(xiàn).Smararadche［1］提出了許多數(shù)論問題，引起了國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者的關(guān)注.迄今為止，針對Smararadche問題，有很多有趣的均值及相應(yīng)的漸近公式［1-4］，利用這些函數(shù)的均值及漸進(jìn)公式可以為工程或其它方面的需要進(jìn)行估值.指數(shù)和的均值計算是其中很重要的問題之一.

早在1976年，著名數(shù)論專家華羅庚給出了經(jīng)典指數(shù)和的定義［5］，即:對任意正整數(shù)q以及整系數(shù)多項式f(x)∈Z［x］{0}，關(guān)于q和f(x)的指數(shù)和定義如下

給定奇素數(shù)p和整數(shù)b、m以及n，滿足m≥2，n≥2 且(n(n-1)b，p)=(n-1，p-1)=1，則對任意整數(shù)a，文獻(xiàn)［6］給出了f(x)=axn+bx，q=pm時s(f，q)的一個上界，即

定義1［7］設(shè)m、n為整數(shù)且q及k為正整數(shù)，χ為模q的狄利克雷特征，則復(fù)合指數(shù)和定義為

其中，e(y)=e2πyi，為對所有滿足(a，q)=1的正整數(shù)a求和.

定義 2［8］設(shè)m、n為整數(shù)且q、k、h為正整數(shù)，則二項指數(shù)和定義如下

其中e(y)=e2πyi.

文獻(xiàn)［9］曾對特殊的指數(shù)和，即廣義k次高斯和

的均值進(jìn)行了研究.進(jìn)而，對任意給定正整數(shù)q及k，滿足(k，q)=1，則對任意正整數(shù)n，文獻(xiàn)［7］證明了當(dāng)(n，q)=1 時有

其中，φ(q)為歐拉函數(shù)，表示對q的所有滿足pα|q而pα+1q的素因子p求積.

關(guān)于二項指數(shù)和的討論及應(yīng)用可參見文獻(xiàn)［10-15］，其中涉及到的一個主要問題是計算

定理1設(shè)正整數(shù)，其中pi為不同素數(shù)，αi≥1，則有

由定理1，(*)式的計算問題轉(zhuǎn)化為計算二項指數(shù)和C(m，n，h，k；q)在q為素數(shù)p的方冪pα情形下的均值.最近，文獻(xiàn)［2］給出了:當(dāng)q為奇素數(shù)p且k=h-2，α=1時，(*)式的如下漸進(jìn)公式

本文進(jìn)一步研究(*)式的均值，給出了當(dāng)q=pα(α≥1)時不同情形下(*)式均值的準(zhǔn)確計算公式.

定理2給定奇素數(shù)p以及正整數(shù)k和h，且(hk，p)=1，則有

其中，d1=(h，p-1)，d2=(k，p-1)，d3=(d1，d2).

推論1給定奇素數(shù)p及正整數(shù)h和k，當(dāng)k|h及(h，p)=1 時有

定理3若素數(shù)p≡5，11(mod 12)，正整數(shù)k≥2 且(k，p)=1，d=(k，p-1)，則有

定理4設(shè)p為奇素數(shù)，h和α為正整數(shù)且h≥α，則有

注1本文的定理2～4考慮的是q為素數(shù)方冪的情形，其中，定理1討論了q為奇素數(shù)p時的均值，而文獻(xiàn)［2］中的結(jié)果加了k=h-2的限制，定理1是文獻(xiàn)［2］的推廣.在定理1的基礎(chǔ)上，要計算(*)式的均值，還存在很大的難度.于是，考慮縮小范圍，得出一些更為逼近的結(jié)論:限制q的范圍以及h=3k，利用同余方程知識求其均值，即定理3；取k=1利用解析方法得到定理4.定理3與定理4的方法不一樣，可以為學(xué)者們提供解決(*)均值的思路.

2 主要結(jié)果的證明

引理 1設(shè)素數(shù)p≡5，11(mod 12)，則f(x)=x3-1-kp≡0(modp2)有整數(shù)解當(dāng)且僅當(dāng)有整數(shù)解.

即f(x)≡(modp2)有整數(shù)解x.

又因為滿足pα-1|(a-1)的a只能取1，pα-1+1，2pα-1+1，…，(p-1)pα-1+1.把a(bǔ)=ipα-1+1，i=0，1，2，…，p-1，代入ah-1 可知要使pα|(ah-1)成立，只需滿足pα|hipα-1.當(dāng)(h，p)=1 時，只能a=1；否則，a=1，pα-1+1，2pα-1+1，…，(p-1)pα-1+1均可，即

于是由(8)式及(12)和(13)式可知，當(dāng)(h，p)=1時有

注2在定理4中取p≡5，11(mod 12)，h=3且α=2，還可以仿照定理3的證明得到

［1］Smararadche F.Only Problems，Not Solutions［M］.Chicago:Xiquan Publishing House，1993.

［2］徐哲峰.一些新的數(shù)論函數(shù)及其均值公式［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報，2006，49(1):77-80.

［3］鄭家兵，廖群英.關(guān)于正整數(shù)n的r次可加補(bǔ)數(shù)［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2013，36(3):324-327.

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