秦 瑋

(重慶大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 401331)

在以往的金融時間序列研究中，一般都假設(shè)資產(chǎn)收益率為正態(tài)分布，而越來越多的研究結(jié)果表明，實際的股票收益率具有尖峰厚尾現(xiàn)象以及非對稱性，正態(tài)分布并不能很好地刻畫收益率的特征，因此許多學(xué)者選用偏t分布或其他分布代替正態(tài)分布，得到較好的擬合效果.Barndorff-Nielsen[1]在給沙丘運動建模時引入廣義雙曲線分布，并于1995年成功應(yīng)用到金融領(lǐng)域中.Eberlein和Keller率先將雙曲線分布用于金融領(lǐng)域研究，Barndorff-Nielsen研究了廣義雙曲線分布的另一子分布正態(tài)逆高斯分布.事實上，偏t分布是廣義雙曲線分布的極限分布，Prause，Barndorff-Nielsen，Shepard，Demarta和Mcneil等都對其做了深入研究[2].

自Hurst發(fā)現(xiàn)水文時間序列具有長記憶性以來，大量研究表明，金融資產(chǎn)收益率也呈現(xiàn)長記憶特征.收益率序列的絕對值或它的冪自相關(guān)衰減得十分緩慢，相距較遠(yuǎn)的時間間隔仍然具有顯著的自相關(guān)性，表現(xiàn)為歷史事件會長期影響未來.股票收益率長記憶性的存在意味著以此為理論假設(shè)基礎(chǔ)的現(xiàn)代資本市場理論包括馬柯維茨的資產(chǎn)組合理論、資本資產(chǎn)定價模型、套利定價理論和Black-Scholes期權(quán)定價模型在內(nèi)的許多模型，都將面臨嚴(yán)重的質(zhì)疑和挑戰(zhàn).

Andersen，Bollerslev，Diebold&Ebens研究發(fā)現(xiàn)，用ARMA模型難以準(zhǔn)確刻畫序列的長記憶性，提出用自回歸分整移動平均(ARFIMA)模型，它能較好地對序列的長記憶性進行刻畫.ARFIMA(p，d，q)允許對序列進行分?jǐn)?shù)d階差分，綜合考慮長記憶和短記憶過程，可用p+q個參數(shù)來描述短記憶過程，用參數(shù)d描述長記憶過程，比單純地使用ARMA模型強.

將廣義雙曲線分布族與ARFIMA模型相結(jié)合，并在不同分布下對比ARFIMA模型的參數(shù)估計效果，還從時間和事件的角度分析了時間的劃分對長記憶效應(yīng)的影響.

1 廣義雙曲線分布簡介

1.1 廣義逆高斯分布

服從廣義逆高斯(GIG)分布的混合隨機變量與正態(tài)均值-方差變量相結(jié)合的變量服從廣義雙曲線(GH)分布.

定義1 如果一維非負(fù)的混合隨機變量W服從GIG分布，Z～Nk(0，Ik)，且W與Z獨立.令

(1)

其中，位置參數(shù)μ∈Rd，漂移參數(shù)γ∈Rd，結(jié)構(gòu)矩陣∑=AA′對稱、正定，A∈Rd×k，則X服從廣義雙曲線(GH)分布.

對于不同的GIG分布將產(chǎn)生不同的GH分布.

由式(1)知，當(dāng)混合變量W的方差存在時，則X的均值、協(xié)方差公式為

E(X)=μ+E(W)γ，COV(X)=E(W)∑+var(W)γγ′

(2)

一維的GIG分布的概率密度函數(shù)[2]為

(3)

1.2 廣義雙曲線分布密度

根據(jù)式(1)，由廣義逆高斯(GIG)分布W～GIG(λ，χ，ψ)和Z～Nk(0，Ik)，可推導(dǎo)出X的密度函數(shù)為

(4)

當(dāng)混合函數(shù)W具有有限方差時，GH分布的均值和協(xié)方差為

1.3 一類特殊情形的廣義雙曲線分布

GH分布含有參數(shù)λ，χ，ψ，μ，∑，γ，當(dāng)它們?nèi)√厥庵禃r，會得到不同形式的廣義雙曲線密度.常用于金融數(shù)據(jù)分析的分布有如下幾種.

2) 正態(tài)逆高斯分布.當(dāng)λ=-0.5時，GIG分布為逆高斯分布，對應(yīng)的GH分布是正態(tài)逆高斯(NIG)分布，其概率密度函數(shù)可表示為

(5)

3) 偏t分布.當(dāng)λ<0，ψ=0時，GIG轉(zhuǎn)換為逆伽瑪分布，逆伽瑪分布IG(α，β)概率密度函數(shù)為

(6)

伽瑪分布與逆伽瑪分布之間具有如下關(guān)系：

如果X～Gamma(α，β)，則X-1～I(xiàn)G(α，1/β).

當(dāng)λ<0，ψ=0時，GIG隨機變量X1～I(xiàn)G(-λ，χ/2).如果令λ=-v/2，χ=v，則逆伽瑪分布對應(yīng)的GH分布是偏t分布，v代表自由度.偏t分布的概率密度函數(shù)為

(7)

當(dāng)γ=0時，偏t分布為對稱t分布.服從偏t分布的隨機變量X的均值和協(xié)方差為

(8)

1.4 廣義誤差分布

均值為0，方差為1的廣義誤差分布(GED)概率密度函數(shù)為

(9)

λ≡[2-2/vΓ(1/v)Γ(3/v)]0.5

(10)

2 金融時間序列的長記憶性

2.1 時間序列的長記憶性定義

定義2 假設(shè)時間序列{xt}具有自相關(guān)函數(shù)ρτ，其中τ為滯后階數(shù).如果ρτ滿足條件

(11)

則稱{xt}為長記憶時間序列(Mcleaod和Hipel[3]).

定義3 如果平穩(wěn)時間序列{xt}的自相關(guān)函數(shù)ρτ依負(fù)冪指數(shù)率(雙曲率)τ-λ隨滯后階數(shù)τ的增大而緩慢下降，即

ρτ～Cτ2d-1，τ→∞

(12)

其中C表示常數(shù)，～表示收斂速度相同，d表示記憶性且2d-1=-λ，則稱{xt}為長記憶時間序列(Brockwell[4]).

2.2 時間序列長記憶性的檢驗

(13)

其中，R(n)表示極差，即

(14)

S(n)表示標(biāo)準(zhǔn)差，即

(15)

可以證明

(16)

其中C為常數(shù)，H為Hurst指數(shù).由式(16)可得H的近似估計值為

(17)

2.3 分整自回歸移動平均(ARFIMA)模型

ARFIMA模型由Granger和Joyeux(1980)[5]提出，是基于分?jǐn)?shù)差分噪聲(FDN)模型與自回歸移動平均(ARMA)模型相結(jié)合的產(chǎn)物.設(shè){yt}，t=1，2，…，T為可觀測樣本序列，則ARFIMA(p，d，q)模型表述如下

φ(L)(1-L)d(yt-μ)=θ(L)εt

(18)

其中，{εt}是白噪聲序列，L是滯后算子，滯后多項式算子φ(L)=1-φ1L-…-φpLp和θ(L)=1-θ1L-…-θqLq的特征根都在單位圓外，且|d|<0.5時，yt平穩(wěn)且可逆；0

圖2 收益率時間序列

3 實證分析

3.1 樣本數(shù)據(jù)的選取

由滬市和深市過去的指數(shù)波動分析可知，兩者具有較大的相關(guān)性.滬市開市早、市值高，具有對外部沖擊反應(yīng)較敏感的特征，對深市具有一定的“溢出效應(yīng)”，同時，上證指數(shù)與其他股票均具有極高的相關(guān)性和代表性.因此，此處選擇上證指數(shù)作為研究樣本.另外，在我國股票上市初期，進入流動的股票數(shù)量少，同時證券市場交易制度與監(jiān)管制度也不完善，股票質(zhì)量不高，股市呈現(xiàn)一定的大幅波動的現(xiàn)象，而在1997年后則呈現(xiàn)出平穩(wěn)狀態(tài).此處選取1998年1月5日到2013年4月15日上證指數(shù)日收盤價格指數(shù)(數(shù)據(jù)源自華西證券http：//www.hx168.com.cn/hxzq/index.jsp)，樣本總量為3 694個.將股票日收益率定義為yt=100*(lnpt-lnpt-1).收盤價時間序列如圖1，收益率時間序列如圖2.

3.2 樣本數(shù)據(jù)描述統(tǒng)計

首先對上證指數(shù)收益率序列進行描述統(tǒng)計和正態(tài)性W檢驗(表1)，認(rèn)為樣本不是來自正態(tài)分布的總體.收益率的密度估計曲線和正態(tài)分布密度曲線的對比圖也可以看出樣本不服從正態(tài)分布(圖3).

表1 數(shù)據(jù)描述統(tǒng)計和正態(tài)性W檢驗

3.3 長記憶性檢驗及結(jié)果分析

根據(jù)AIC信息準(zhǔn)則，均選用ARFIMA(1，d，1)模型.表2為各分布下ARFIMA(1，d，1)模型的估計結(jié)果.可以看出，正態(tài)分布下的模型估計效果不如其他模型，其長記憶性也并不顯著.其他6種分布下的模型估計出的參數(shù)相差不大，象征長記憶性的d值均在0.23左右，屬于0至0.5的區(qū)間內(nèi)，p值也在99%的置信水平下顯著，表明收益率序列具有長記憶性.通過各種分布的對比，顯示出有偏分布下的模型估計效果都比對稱分布下的模型估計效果要好，說明收益率序列的確具有尖峰厚尾性和非對稱的效應(yīng).

表2 收益率序列在7種分布下ARFIMA(1，d，1)模型的估計結(jié)果

注：括號里的值為參數(shù)估計的p-value值.

圖3 收益率的密度估計曲線與正態(tài)分布密度曲線

3.4 時間和事件對長記憶檢驗的影響

金融市場價格之所以波動，是因為它是市場各方面相互博弈的結(jié)果，因此事件尤其是重大事件必然會對金融市場產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響.因此此處從時間和事件兩個角度進行對比研究.

自2001年2月19日證監(jiān)會作出對國內(nèi)投資者開放B股市場以及同年6月12日國務(wù)院發(fā)布《減持國有股籌集社會保障金管理暫行辦法》后，滬深股市一直低迷不振，進入熊市[7]，2005年6月6日，上證指數(shù)跌破1 000點大關(guān)，隨后股市開始單邊上漲，進入牛市，2007年10月16日，上證指數(shù)達(dá)到開市以來最高點6 124點.而后，受到金融風(fēng)暴等因素的影響，自2008年暴跌后，股市又呈現(xiàn)頹靡的熊市.因此將上證指數(shù)數(shù)據(jù)劃分為3個序列，序列1的時間跨度為2001年6月13日至2005年6月5日，共957個數(shù)據(jù)；序列2的時間跨度為2005年6月6日至2009年5月5日，共954個數(shù)據(jù)；第3個序列的時間跨度從2009年5月6日至2013年4月15日，共958個數(shù)據(jù).選用的模型為在偏學(xué)生t分布下的ARFIMA(1，d，1)模型，結(jié)果見表3.

表3 3個序列在偏學(xué)生t分布下的ARFIMA(1，d，1)模型的估計結(jié)果

注：括號里的值為參數(shù)估計的p-value值.

雖然表3中結(jié)果沒有表2數(shù)據(jù)的結(jié)果理想，長記憶性沒有那么顯著，但依然表明不同時間劃分下不同時間段的長記憶效應(yīng)不同.序列1的d值幾乎為0，有理由相信這一時間段沒有長記憶性.序列2的d值也很小，僅為0.025 517，說明序列2的長記憶性也不明顯.相對來說，序列3的長記憶性比序列1和2的長記憶性稍稍顯著一些，但也不如上一組數(shù)據(jù)，即1998年1月5日到2013年4月15日這一時間段的收益率序列的長記憶性明顯.

4 結(jié) 論

采用上證指數(shù)作為樣本建立了廣義雙曲線分布簇下的ARFIMA模型，實證分析結(jié)果表明上證指數(shù)收益率序列具有尖峰厚尾性和非對稱效應(yīng)的長記憶特征.針對不同分布的計算結(jié)果比較，表明有偏分布更適合用來擬合上證指數(shù)收益率.由于事件的發(fā)生對上證指數(shù)有一定的影響，因此，時間段的選取是一個重要的因素，不同時間段的收益率序列的長記憶效應(yīng)是不同的.另外，將劃分前后不同時間跨度的時間序列相比較，可以發(fā)現(xiàn)時間跨度短的時間序列的長記憶性不如時間跨度長的時間序列顯著，但也并不能說明時間越長，長記憶效應(yīng)越顯著.

參考文獻(xiàn)：

[1] BARNDORFF-NIELSEN O. Exponentially Decreasing Distributions for the Logarithm of Particle Size[J]. Proceeding of Royal Society ofLondon，Series A，1977(353)：401-419

[2] 張建龍，林清泉. GH分布族下資產(chǎn)收益率分布擬合優(yōu)度比較——基于中國證券指數(shù)高頻數(shù)據(jù)的實證研究[J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2010(11)：26-33

[3] MCLEOD A L，HIPEL K W. Preservation of The Rescaled Adjusted Range，1：A Reassessment of the Hurst Phenomenon[J]. Water Resources Research，1978(14)：491-508

[4] BROCKWELL P J，DAVIS R A.Time Series：Theory and Methods[M]. Spinger-Verlag，1991

[5] GRANGER C W J，JOYEUX R. An Introduction to Long Memory Time Series Models and Fractional Differencing[J]. Journal of Time Series Analysis，1980(1)：44-67

[6] 曹廣喜. 我國股市收益的雙長記憶性檢驗——基于VaR估計的ARFIMA-HYGARCH-skt模型[J]. 數(shù)理統(tǒng)計與管理，2009(1)：167-174

[7] 石紀(jì)信，方兆本. 牛熊市視角下我國股市波動率的長記憶性研究[J]. 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報，2012(3)：179-184