張思文,吳九匯,劉彰宜

(1.西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 710049, 西安;2.西安交通大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 710049, 西安)

黏彈阻尼對(duì)一維桿狀聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)頻移的影響

張思文1,2,吳九匯1,2,劉彰宜1,2

(1.西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 710049, 西安;2.西安交通大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 710049, 西安)

為了明確黏彈阻尼對(duì)聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的影響,根據(jù)黏彈材料的標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)性固體模型,利用平面波展開(kāi)法的迭代算法對(duì)一維黏彈材料聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行了理論計(jì)算和對(duì)比分析。與彈性模量為常數(shù)的完全彈性材料相比,黏彈材料由于其復(fù)模量的頻率相關(guān)性,儲(chǔ)能模量和損耗模量對(duì)聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)都有重要影響,特別是損耗模量對(duì)聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的影響在阻尼峰值附近的頻率范圍不容忽視。位于此頻率范圍的能帶被調(diào)向更高頻而其他范圍的能帶基本不變,從而使能帶下方帶隙增寬而上方帶隙變窄。損耗模量對(duì)能帶結(jié)構(gòu)的這一特定調(diào)節(jié)作用為黏彈性阻尼材料應(yīng)用于聲子晶體提供了一定的理論基礎(chǔ),也為獲得寬頻帶隙提供了一種新的方法。

聲子晶體;能帶結(jié)構(gòu);黏彈材料;阻尼;帶隙特性

聲子晶體是一種彈性散射體周期排列形成的新型人工周期性功能材料,由于其具有優(yōu)越的控制彈性波傳播的能力,受到了廣泛的關(guān)注和研究,并在減振降噪等方面具有潛在的應(yīng)用前景。Rayleigh早在1887年就已指出,連續(xù)周期結(jié)構(gòu)中存在無(wú)波傳播模式的頻率范圍。彈性波或聲波在聲子晶體結(jié)構(gòu)中傳播時(shí),受到內(nèi)部周期結(jié)構(gòu)的作用,一些頻率范圍的彈性波無(wú)法通過(guò)結(jié)構(gòu)向前傳播,稱(chēng)為禁帶或帶隙[1]。直到20世紀(jì)90年代,對(duì)于聲子晶體才開(kāi)始有比較廣泛的研究[2-5]。對(duì)于聲子晶體的初期研究主要側(cè)重于帶隙的產(chǎn)生機(jī)理和計(jì)算方法,并分析影響帶隙頻率范圍的主要因素(包括材料、晶格常數(shù)、填充率等)[6-8]。計(jì)算聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)(即色散關(guān)系曲線(xiàn))的主要方法有傳遞矩陣法、平面波展開(kāi)法[6]、時(shí)域有限差分法[7]、多重散射法[8]、集中質(zhì)量法及有限元法等。組成聲子晶體結(jié)構(gòu)的可以是固體,也可以是流體。平面波展開(kāi)法是最常用的算法之一,在計(jì)算固-固型、流-流型聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)時(shí)相當(dāng)成功,但在計(jì)算組元材料參數(shù)差異較大的固-流型聲子晶體時(shí)存在一定的困難,收斂較慢[1]。前期對(duì)于聲子晶體的研究,很少考慮到組元材料的阻尼(如流體的黏滯阻尼、固體的黏彈阻尼)對(duì)能帶結(jié)構(gòu)和帶隙特性的影響。2000年前后,一些學(xué)者研究了流體的黏滯阻尼對(duì)固-流型聲子晶體帶隙特性的影響,指出:當(dāng)聲子晶體結(jié)構(gòu)的特征長(zhǎng)度與流體的黏性穿透深度相當(dāng)時(shí),流體黏滯阻尼對(duì)帶隙有重大影響[9-10]。

黏彈材料是同時(shí)具有流體黏性和固體彈性的材料,如塑料、橡膠等聚合物,陶瓷,混凝土等[11]。在彈性材料中,彈性模量為實(shí)數(shù)且與頻率無(wú)關(guān),而對(duì)于黏彈性材料,彈性模量不僅為復(fù)數(shù),而且是頻率的函數(shù)。將黏彈材料應(yīng)用于聲子晶體周期結(jié)構(gòu),使得能帶結(jié)構(gòu)的計(jì)算復(fù)雜化,但其對(duì)于帶隙特性的調(diào)節(jié)作用吸引了不少學(xué)者的研究[12-22]。在處理黏彈材料時(shí),一些學(xué)者將其視為具有特定阻尼的彈性材料而沒(méi)有考慮阻尼和彈性常數(shù)隨頻率的變化[12-14];一些學(xué)者用復(fù)數(shù)來(lái)表示彈性模量,并認(rèn)為其虛部(即損耗模量)只表征為對(duì)能量的耗散,而決定彈性波傳播行為(如色散關(guān)系)的是其實(shí)部(即儲(chǔ)能模量),因此只考慮儲(chǔ)能模量對(duì)聲子晶體色散關(guān)系的影響[15-19]。王剛、溫激鴻等人還對(duì)比了理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)試的結(jié)果,認(rèn)為黏彈阻尼不改變結(jié)構(gòu)的色散關(guān)系,只表現(xiàn)為對(duì)高頻能量的耗散作用,從而增大了帶隙的寬度[15-16]。Zhao等人給出了黏彈材料的復(fù)模量模型,但在計(jì)算由其組成的聲子晶體的色散關(guān)系時(shí),仍然只考慮了儲(chǔ)能模量的影響[18-19]。上述研究中認(rèn)為損耗模量只表現(xiàn)為對(duì)能量的耗散而對(duì)色散關(guān)系沒(méi)有影響是缺乏理論依據(jù)的,也沒(méi)有文獻(xiàn)對(duì)此進(jìn)行過(guò)討論,因此其合理性還有待商榷。Merheb等人同時(shí)考慮了材料黏彈性對(duì)聲子晶體結(jié)構(gòu)色散關(guān)系和耗散的影響[20-22]。然而,他們雖然指出了黏彈阻尼對(duì)聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)有重要影響作用,但都沒(méi)有深入討論在整個(gè)頻率范圍,特別是跨過(guò)阻尼峰前后,損耗模量對(duì)聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)頻移的貢獻(xiàn)。

本文根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)性固體模型,研究了材料黏彈性對(duì)聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的影響,分析和討論了損耗模量對(duì)能帶結(jié)構(gòu)的頻移影響。利用平面波展開(kāi)法的迭代算法對(duì)含有黏彈材料的一維聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行了理論計(jì)算,對(duì)比分析了將彈性模量視為常數(shù)、只考慮儲(chǔ)能模量、同時(shí)考慮儲(chǔ)能模量和損耗模量這3種情況下的帶隙特性,發(fā)現(xiàn)了損耗模量對(duì)能帶的特定調(diào)節(jié)作用,并進(jìn)一步討論和分析了這一特定調(diào)節(jié)作用的機(jī)理。

1 黏彈性材料模型及其頻率相關(guān)性

彈性波在黏彈性介質(zhì)中傳播時(shí),應(yīng)力和應(yīng)變響應(yīng)之間存在一定的相位差,表示應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的彈性模量可以表示為復(fù)模量形式[11]

E*(iω)=E′(ω)+iE″(ω)=E′(ω)(1+iβ(ω))

(1)

式中:E′(ω)為儲(chǔ)能模量,它與存儲(chǔ)在材料中的彈性勢(shì)能有關(guān);E″(ω)為損耗模量,它與耗散在材料中的能量有關(guān);損耗因子

(2)

其中δ為損耗角,也是應(yīng)變滯后于應(yīng)力的相位差。

對(duì)于黏彈材料,儲(chǔ)能模量、損耗模量及損耗因子都是頻率的函數(shù)。它們并不是相互獨(dú)立的,而是滿(mǎn)足Kramers-Kronig關(guān)系[23]。標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)性固體模型(如圖1a所示)是常用于描述黏彈材料力學(xué)特性并滿(mǎn)足Kramers-Kronig關(guān)系的經(jīng)典模型,其復(fù)模量表示為

(3)

(4)

式中:E2、E1+E2分別為極限頻率下的模量值;τ為松弛時(shí)間,τ=η/E1,η為黏性元件的黏性系數(shù),它們都由具體材料確定。將復(fù)模量及損耗因子表示在同一坐標(biāo)中,如圖1b所示。

(a)標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)性固體模型

(b)復(fù)模量對(duì)頻率的依賴(lài)關(guān)系

對(duì)比圖1a中的材料模型和圖1b中復(fù)模量隨頻率的變化曲線(xiàn)可知,由于黏性元件所承受的力與應(yīng)變速率密切相關(guān),模型的兩個(gè)分支之間的耦合作用也隨頻率改變,使得該模型具有如下頻率特性:①在低頻范圍,由于應(yīng)變速率極小,黏性元件基本上不產(chǎn)生阻力,使得由黏性元件和彈性元件E1組成的分支被隔離,此時(shí)相當(dāng)于完全彈性材料,彈性模量為E2,并且基本不隨頻率變化;②當(dāng)頻率增大時(shí),應(yīng)變速率隨之增大,黏性元件承受的作用力也增大,一方面E1不斷并入模型中,使儲(chǔ)能模量增大,另一方面能量也不斷損耗在黏性元件中,損耗模量也隨之增大;③在高頻范圍,應(yīng)變速率很大,黏性元件跟不上應(yīng)變的變化,E1完全并入模型中,儲(chǔ)能模量也趨于一個(gè)較大的恒定值,而損耗模量逐漸減小為0。

損耗模量隨著頻率的升高先增大后減小,在一定頻率范圍內(nèi)達(dá)到最大值,稱(chēng)為黏彈材料的阻尼峰,如圖1b所示。材料的這些頻率特性將直接影響由其組成的聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)及其帶隙特性。

2 一維聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的計(jì)算方法

aA,aB: A、B 2種材料的寬度

在標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)性固體模型的基礎(chǔ)上,利用平面波展開(kāi)法的迭代算法計(jì)算并分析黏彈阻尼對(duì)一維聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的影響。圖2為A、B 2種材料組元交替排列形成的一維桿狀聲子晶體結(jié)構(gòu)的示意圖,其中晶格常數(shù)a=aA+aB。平面波展開(kāi)法是計(jì)算聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)常用的方法,計(jì)算時(shí)考慮的是無(wú)限周期的理想結(jié)構(gòu),而當(dāng)引入黏彈性時(shí),特征值問(wèn)題變得難以求解,因此本文采用迭代算法來(lái)計(jì)算。

一維桿狀聲子晶體結(jié)構(gòu)中的彈性波滿(mǎn)足如下波動(dòng)方程

(5)

式中:ρ(x)、E(x)分別為材料密度和彈性模量;u(x,t)為截面沿x方向的位移。對(duì)于結(jié)構(gòu)中的諧波,根據(jù)Bloch定理,式(4)解的形式可以寫(xiě)為

u(x,t)=uk(x)e(kx-ω t)

(6)

式中:k為波矢。由于結(jié)構(gòu)的周期性,波幅uk(x)與材料參數(shù)ρ(x)、E(x)(對(duì)于黏彈性材料,E(x)為復(fù)數(shù)并為頻率的函數(shù),應(yīng)寫(xiě)作E*(x,ω))具有相同的空間周期性,可以同時(shí)按傅里葉級(jí)數(shù)形式展開(kāi)后代入式(5),經(jīng)整理求解可得考慮材料黏彈性的一維桿狀聲子晶體特征頻率的無(wú)限階方程[15-16,20]

(7)

式中:ω為圓頻率;G0、G′為倒格矢,在整個(gè)倒空間取值。為了求得方程的數(shù)值解,G0、G′通常在有限倒空間取值,式(7)即變?yōu)橛邢揠A方程。給定k可以求得一系列特征頻率值;讓k在倒空間取遍第一布里淵區(qū)(-π/a,π/a),即可求得一維桿狀聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)。

對(duì)于一般彈性材料組成的聲子晶體結(jié)構(gòu),彈性模量不隨頻率變化,式(7)即退化為一般的特征值問(wèn)題。在Matlab中只需要構(gòu)建特征矩陣,利用eig函數(shù)就可以求得方程的特征值。當(dāng)引入材料黏彈性后,彈性模量變?yōu)閺?fù)數(shù)并且是頻率的函數(shù),此時(shí)在Matlab中方程的數(shù)值解不能簡(jiǎn)單用上述函數(shù)來(lái)求取,而只能通過(guò)迭代算法來(lái)求取。在求解給定k下的某一階特征頻率時(shí),先設(shè)定一個(gè)參考頻率ωr,根據(jù)黏彈性材料模型計(jì)算出復(fù)模量E*(ωr),然后按照上述方法求解出特征頻率。將特征頻率與參考頻率ωr進(jìn)行對(duì)比,當(dāng)它們之間的差值小于設(shè)定容差即可;否則,更新參考頻率并繼續(xù)迭代。這樣迭代下去,對(duì)應(yīng)每一個(gè)給定的k就可以得到一系列的特征頻率,從而可以繪制以波矢(一般除以π/a,使其在0～1之間變化)為橫坐標(biāo)、頻率為縱坐標(biāo)的能帶結(jié)構(gòu)圖。

3 復(fù)模量對(duì)能帶結(jié)構(gòu)頻移的影響

對(duì)于由一般完全彈性材料組成的聲子晶體,彈性模量都視為常數(shù),不同組元之間的密度和彈性模量相差得越大就越容易產(chǎn)生帶隙。對(duì)于含有黏彈性材料的聲子晶體結(jié)構(gòu),彈性模量不僅為復(fù)數(shù),而且隨頻率變化。在研究材料黏彈性對(duì)聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的影響時(shí),文獻(xiàn)[15-19]都忽略了損耗模量的影響,只考慮了儲(chǔ)能模量的影響,而文獻(xiàn)[20-22]則指出,損耗模量對(duì)能帶結(jié)構(gòu)具有重要影響。

對(duì)由金屬材料(不考慮黏彈性)和黏彈性橡膠交替排列組成的一維聲子晶體桿結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行了計(jì)算,通過(guò)對(duì)比分別分析了儲(chǔ)能模量和損耗模量對(duì)能帶結(jié)構(gòu)的影響。在計(jì)算中,取晶格常數(shù)a為0.1 m,組元寬度比例為1∶1。金屬材料的密度ρA為7 890 kg/m3,彈性模量EA為196 GPa。黏彈性材料的密度ρB為1 300 kg/m3,模量參數(shù)E1為60 MPa,E2為2 MPa。圖3繪出了不同松弛時(shí)間時(shí)黏彈性材料的復(fù)模量隨頻率變化的曲線(xiàn)。從圖中可知,松弛時(shí)間決定阻尼峰的中心頻率。為了探討損耗模量對(duì)聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的影響,當(dāng)τ=10-4s時(shí),對(duì)以下3種情況的能帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行了對(duì)比:①?gòu)椥阅Ａ繛閷?shí)常數(shù)(在所計(jì)算的頻率范圍求取的平均值EC=30 MPa)的情況;②儲(chǔ)能模量按圖1b所示隨頻率變化,而忽略損耗模量影響的情況;③儲(chǔ)能模量和損耗模量都隨頻率變化的實(shí)際情況。前3階能帶結(jié)構(gòu)的對(duì)比結(jié)果如圖4所示。

圖3 不同松弛時(shí)間下復(fù)模量隨頻率的變化曲線(xiàn)

圖4 復(fù)模量對(duì)聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的影響曲線(xiàn)

從圖4中可以看出,彈性模量為復(fù)數(shù)時(shí)所得到的聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)與彈性模量視為常數(shù)的情況相差很大,各階能帶之間形成的帶隙也增寬了很多?？紤]材料的黏彈性,第1帶隙(即第1、2能帶之間的間隙)明顯向低頻擴(kuò)寬。特別是對(duì)于第2帶隙,彈性模量為復(fù)數(shù)時(shí)比視為常數(shù)時(shí)寬了將近1倍。對(duì)比只考慮儲(chǔ)能模量和同時(shí)考慮儲(chǔ)能模量和損耗模量的情況,發(fā)現(xiàn):兩者的第1、3階能帶基本上重合,而第2階能帶變化較大;考慮復(fù)模量的情況下第2階能帶被推向更高的頻率范圍,從而使第1帶隙的寬度增大。這說(shuō)明,材料的黏彈阻尼對(duì)聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)具有重要的影響,彈性模量越大,能帶的頻率也越高。由于儲(chǔ)能模量隨頻率呈現(xiàn)增大的趨勢(shì),在低頻時(shí)比平均值要小,使得第1階能帶的頻率比彈性模量為常數(shù)時(shí)低,而在高頻時(shí)儲(chǔ)能模量比其平均值要大,從而使得第2、3階能帶比彈性模量為常數(shù)時(shí)的高。對(duì)于損耗模量,由于它只在阻尼峰附近存在較大的值,因此只對(duì)這一頻率范圍內(nèi)的能帶產(chǎn)生較大的影響。

為了深入分析損耗模量對(duì)聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的影響,在黏彈性材料的松弛時(shí)間分別為10-1、10-2、10-3、10-4和10-5s時(shí),計(jì)算并對(duì)比了考慮損耗模量和不考慮損耗模量時(shí)聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu),對(duì)比結(jié)果如圖5所示。

(a)τ=10-1 s, 10-2 s, 10-3 s, 10-4 s

(b)τ=10-5 s

當(dāng)τ不小于10-2s時(shí),從圖3可知,黏彈性材料的阻尼峰位于20 Hz以下,在20 Hz～5kHz范圍內(nèi)損耗模量減小為0,而儲(chǔ)能模量幾乎保持為常數(shù)。因此,在圖5a中,τ=10-1s和τ=10-2s時(shí)是否考慮損耗模量對(duì)能帶結(jié)構(gòu)及其帶隙特性并無(wú)影響。當(dāng)松弛時(shí)間τ減小為10-3s時(shí),阻尼峰位于167 Hz左右,儲(chǔ)能模量也在這一頻率附近劇增,從而使位于這一頻率附近的能帶發(fā)生彎曲,而且考慮損耗模量與不考慮損耗模量所得的能帶有一定的偏移。當(dāng)τ=10-4s時(shí),阻尼峰位于1 667 Hz左右,因此損耗模量對(duì)位于1 750 Hz左右的第2階能帶存在較大的影響,而對(duì)于其他階次的能帶影響較小。值得注意的是,此時(shí)位于阻尼峰下方的第1階能帶的頻率相比于前3種情況降低了很多,這是由于所處頻率范圍的儲(chǔ)能模量接近最小值的緣故。當(dāng)τ=10-5s時(shí),阻尼峰位于10 kHz以上。從圖3可以看到,儲(chǔ)能模量和損耗模量在5kHz以下范圍內(nèi)的值都很小,儲(chǔ)能模量位于最小值附近,而損耗模量接近于0,這使得聲子晶體的各階能帶頻率都有很大降低(如圖5b所示)。由于儲(chǔ)能模量和損耗模量在1 200 Hz以下范圍都隨頻率緩慢增大,而且損耗模量的增速更快,因此,損耗模量的影響隨著能帶階次的升高變大,帶隙的寬度也增大得更多。

為了進(jìn)一步明確材料黏彈性對(duì)位于其阻尼峰附近能帶的調(diào)節(jié)作用和機(jī)理,對(duì)圖5a中τ=10-3s時(shí)連續(xù)跨過(guò)了黏彈性材料阻尼峰的第1能帶進(jìn)行了研究,并計(jì)算了相應(yīng)的相速度vp和群速度vg的色散關(guān)系,結(jié)果如圖6所示。彈性縱波在彈性細(xì)長(zhǎng)桿中傳播時(shí),其速度(即相速度)由材料的密度和彈性模量決定,即vp=(E*/ρ)1/2。同時(shí),相速度決定了能帶的斜率,即vp=ω/k。群速度表示彈性波能量的傳播速度,其值等于能帶上某點(diǎn)的切線(xiàn)斜率。圖6中分別對(duì)比了彈性模量為實(shí)常數(shù)(EC)、只考慮儲(chǔ)能模量(E′)和同時(shí)考慮儲(chǔ)能模量及損耗模量(E′+iE″)時(shí)的色散關(guān)系。

(a)能帶結(jié)構(gòu)

(b)相速度及群速度色散關(guān)系

對(duì)于彈性模量為實(shí)常數(shù)的情況,在低頻范圍由于波長(zhǎng)較大,彈性波在周期結(jié)構(gòu)中傳播與在均勻介質(zhì)中無(wú)異,色散關(guān)系近似呈線(xiàn)性,如圖6a中虛線(xiàn)所示,相應(yīng)的相速度和群速度也基本保持不變,如圖6b中的實(shí)心和空心三角曲線(xiàn)所示。由于黏彈性的引入,儲(chǔ)能模量和損耗模量都在阻尼峰附近發(fā)生急劇的變化,使得結(jié)構(gòu)的色散關(guān)系呈非線(xiàn)性。由于聲子晶體的2種組元的密度和彈性模量相差很大,彈性波在其中傳播時(shí),金屬層的位移遠(yuǎn)小于黏彈性橡膠的位移。聲子晶體可以等效為由如圖1a所示模型連接質(zhì)量塊組成的一維彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)。在極低頻,聲子晶體相當(dāng)于由彈簧(E2)連接質(zhì)量塊組成的完全彈性系統(tǒng),其色散關(guān)系也呈線(xiàn)性,只不過(guò)此時(shí)相速度和群速度很小,如圖6a、6b中20 Hz以下部分所示。當(dāng)頻率接近阻尼峰頻率(167 Hz)時(shí),一方面,儲(chǔ)能模量的增大使得彈性波在結(jié)構(gòu)中的傳播速度和能量的傳播速度也增大,如圖6b中20～300 Hz范圍實(shí)心、中空?qǐng)A組成的色散關(guān)系曲線(xiàn)所示,能帶也隨之向高頻偏移,如圖6a中20～300 Hz范圍的實(shí)線(xiàn)所示。另一方面,損耗模量的增大也使得系統(tǒng)的等效彈性模量增大,導(dǎo)致彈性波在結(jié)構(gòu)中的傳播速度增大,能帶繼續(xù)向高頻偏移,但同時(shí)由于黏性元件的黏滯力作用,一部分能量不斷地耗散在結(jié)構(gòu)中不能向前傳播,能量的傳播速度略有降低,如圖6b中圓形和方形符號(hào)表示的群速度色散關(guān)系曲線(xiàn)所示。色散關(guān)系曲線(xiàn)在阻尼峰附近的頻率范圍內(nèi)變化最大。當(dāng)頻率高于阻尼峰時(shí),系統(tǒng)又近似為完全彈性系統(tǒng),彈性波在結(jié)構(gòu)中的傳播速度趨于最大值,而且損耗模量對(duì)色散關(guān)系的影響逐漸消失,如圖6中300～350 Hz范圍內(nèi)的曲線(xiàn)所示。對(duì)于350 Hz以上部分,由于內(nèi)部周期結(jié)構(gòu)對(duì)波的多重散射作用,加上前向波與返回波的相互作用,形成了如圖6b所示的色散關(guān)系,并在布里淵區(qū)邊界形成彈性波帶隙。能帶向低頻彎曲,相速度略有降低,而群速度在帶隙邊界上減小為0,表明此時(shí)能量無(wú)法向前傳播,即表示帶隙產(chǎn)生。

4 結(jié) 論

本文根據(jù)黏彈性材料的標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)性固體模型,利用平面波展開(kāi)法的迭代算法對(duì)由黏彈性材料組成的一維聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)及帶隙特性進(jìn)行了計(jì)算和理論分析。由于材料黏性的頻率相關(guān)性,儲(chǔ)能模量和損耗模量都是頻率的函數(shù),從而對(duì)聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了重大影響。對(duì)比結(jié)果表明,損耗模量對(duì)能帶結(jié)構(gòu)的影響與頻率有關(guān),在阻尼峰值附近的頻率范圍內(nèi),損耗模量的影響最大,是不容忽視的,位于此頻率范圍的能帶被調(diào)向更高頻。在其他頻率范圍,損耗模量的影響較小,能帶位置基本保持不變,此時(shí)才可以只考慮儲(chǔ)能模量的影響[15-19]。調(diào)節(jié)阻尼峰的頻率值使其接近聲子晶體的某一能帶,就能夠通過(guò)損耗模量來(lái)調(diào)節(jié)任一能帶,從而使此能帶下方的帶隙變寬,上方的帶隙變窄。材料黏彈性對(duì)聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的這些影響歸因于材料黏彈阻尼的頻率相關(guān)性。本文的研究結(jié)果可以為黏彈性阻尼材料應(yīng)用于聲子晶體提供一定的理論基礎(chǔ),也為調(diào)節(jié)聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)和獲得寬頻帶隙提供了一種新的方法。

[1] 溫熙森, 溫激鴻, 郁殿龍, 等.聲子晶體 [M].北京: 國(guó)防工業(yè)出版社, 2009: 2.

[2] SIGALAS M, ECONOMOU E N.Elastic and acoustic wave band structure [J].Journal of Sound and Vibration, 1992, 158(2): 377-382.

[3] SIGALAS M, ECONOMOU E N.Band structure of elastic waves in two-dimensional systems [J].Solid State Commun, 1993, 86(3): 141-143.

[4] KUSHWAHA M S, HALEVI P, DOBRZYNSKI L, et al.Acoustic band structure of periodic elastic composites [J].Physical Review Letters, 1993, 71(13): 2022-2025.

[5] MARTINEZ-SALA R, SANCHO J, SANCHEZ J V, et al.Sound attenuation by sculpture [J].Nature, 1995, 378: 241.

[6] ZHU Xuefeng, LIU Shengchun, XU Tao, et al.Investigation of a silicon-based one-dimensional phononic crystal plate via the super-cell plane wave expansion method [J].Chinese Physics: B, 2010, 19(4): 044301.

[7] TANAKA Y, TOMOYASU Y, TAMURA S.Band structure of acoustic waves in phononic lattices: two-dimensional composites with large acoustic mismatch [J].Physical Review: B, 2000, 62(11): 7387-7392.

[8] LIU Zhengyou, CHAN C T, SHENG Ping, et al.Elastic wave scattering by periodic structures of spherical objects: theory and experiment [J].Physical Review: B, 2000, 62(4): 2446-2457.

[9] SPRIK R, WEGDAM G H.Acoustic band gaps in composites of solids and viscous liquids [J].Solid State Commun, 1998, 106(2): 77-81.

[10]ZHANG Xin, LIU Zhengyou, MEI Jun, et al.Acoustic band gaps for a two-dimensional periodic array of solid cylinders in viscous liquid [J].Journal of Physics: Condensed Matter, 2003, 15: 8207-8212.

[11]周光泉, 劉孝敏.黏彈性理論 [M].合肥: 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社, 1996: 5.

[12]PSAROBAS I E.Viscoelastic response of sonic band-gap materials [J].Physical Review: B, 2001, 64(1): 012303.

[13]HUSSEIN M I.Theory of damped Bloch waves in elastic media [J].Physical Review: B, 2009, 80(21): 212301.

[14]HUSSEIN M I, FRAZIER M J.Band structure of phononic crystals with general damping [J].Journal of Applied Physics, 2010, 108(9): 093506.

[15]王剛, 溫激鴻, 劉耀宗, 等.一維黏彈材料周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)帶隙研究 [J].機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2004, 40(7): 47-50.WANG Gang, WEN Jihong, LIU Yaozong, et al.Research on the vibration band gaps of one dimensional viscoelastic periodic structure [J].Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2004, 40(4): 47-50.

[16]溫激鴻, 王剛, 劉耀宗, 等.金屬/丁腈橡膠桿狀結(jié)構(gòu)聲子晶體振動(dòng)帶隙研究 [J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 2005, 18(1): 1-7.

WEN Jihong, WANG Gang, LIU Yaozong, et al.Research on vibration band gaps of one dimensional phononic crystals consisted of metal and nitrile butadiene rubber [J].Journal of Vibration Engineering, 2005, 18(1): 1-7.

[17]胡家光, 張晉, 張茜, 等.一維花崗巖/丁腈橡膠聲子晶體的帶隙及其應(yīng)用 [J].云南大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2006, 28(6): 504-508.HU Jiaguang, ZHANG Jin, ZHANG Xi, et al.Band gaps and application of one-dimensional phononic crystals consisted of granite and nitrile rubber [J].Journal of Yunnan University: Natural Science, 2006, 28(6): 504-508.

[18]ZHAO Y P, WEI P J.The band gap of 1D viscoelastic phononic crystal [J].Computational Materials Science, 2009, 46(3): 603-606.

[19]WEI P J, ZHAO Y P.The influence of viscosity on band gaps of 2D phononic crystal [J].Mechanics of Advanced Materials and Structures, 2010, 17(6): 383-392.

[20]MERHEB B, DEYMIER P A, JAIN M, et al.Elastic and viscoelastic effects in rubber/air acoustic band gap structures: a theoretical and experimental study [J].Journal of Applied Physics, 2008, 104(6): 064913.

[21]MERHEB B, DEYMIER P A, MURALIDHARAN K, et al.Viscoelastic effect on acoustic band gaps in polymer-fluid composites [J].Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering, 2009, 17(7): 075013.

[22]LIU Yaozong, YU Dianlong, ZHAO Honggang, et al.Theoretical study of two-dimensional phononic crystals with viscoelasticity based on fractional derivative models [J].Journal of Physics: D Applied Physics, 2008, 41(6): 065503.

[23]LAHES R.Viscoelastic materials [M].New York, USA: Cambridge University Press, 2009: 63-64.

(編輯 管詠梅)

Damping-InducedFrequencyShiftsinBandStructuresofOne-DimensionalViscoelasticPhononicCrystalRods

ZHANG Siwen1,2,WU Jiuhui1,2,LIU Zhangyi1,2

(1.School of Mechanical Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 71009, China; 2.State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

To understand the influence of damping on the band structures of phononic crystals (PCs), the vibration band structures of one-dimensional viscoelastic PCs are investigated and analyzed theoretically by iteration method for plane wave expansion (PWE), based on standard linear solid (SLS) model of viscoelastic materials.Compared with the case of constant modulus, the storage modulus and the loss modulus exert clearer influence on the band structures and the gap bandwidth due to the frequency dependence of the complex modulus.In particular, the influence of loss modulus cannot be ignored in the frequency range around the damping peak, where the frequency bands are shifted to the higher range, but the other bands almost remain unchanged, thus the gaps below and above the bands are widened and narrowed respectively.These results provide theoretical basis to research viscoelastic phononic crystals and an effective way to obtain broad band gaps for phononic crystals.

phononic crystal; band structure; viscoelastic material; damping; band gap

10.7652/xjtuxb201403005

2013-08-08。

張思文(1985—),男,博士生;吳九匯(通信作者),男,教授,博士生導(dǎo)師。

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51075325);教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃資助項(xiàng)目(NCET-09-0644)。

TB535; O328; O345

:A

:0253-987X(2014)03-0022-06