祁 浩，劉洲洲

（1.西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院，西安710072；2.西安航空學(xué)院，西安710077）

基于量子免疫克隆的壓縮感知數(shù)據(jù)重構(gòu)算法?

祁 浩1，劉洲洲2

（1.西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院，西安710072；2.西安航空學(xué)院，西安710077）

提出了一種基于量子免疫克隆的壓縮感知數(shù)據(jù)重構(gòu)算法（Q-CSDR）。算法先提出了一種能夠提高數(shù)據(jù)重構(gòu)概率的自適應(yīng)分幀方法，然后利用量子克隆免疫算法的優(yōu)化組合性能實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的精確重構(gòu)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，Q-CSDR算法能夠根據(jù)原始信號稀疏度自動調(diào)節(jié)壓縮比率，具有重構(gòu)速度快，重構(gòu)精度高，能夠適應(yīng)于高稀疏度數(shù)據(jù)重構(gòu)等優(yōu)點(diǎn)。該算法已應(yīng)用于秦始皇帝陵博物院野外文物安防系統(tǒng)。經(jīng)實(shí)際檢驗(yàn)，收到了良好效果。

量子免疫克隆；壓縮感知；數(shù)據(jù)重構(gòu)；稀疏度

1 引 言

壓縮感知（Compressed Sensor，CS）［1］是近幾年來數(shù)據(jù)和信號處理的研究熱點(diǎn)之一，它使用線性變換將具有一定稀疏度的信號投影到一個(gè)低維空間上，并通過使用非線性方式對數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)。壓縮感知的優(yōu)點(diǎn)在于其突破了奈奎斯特采樣定理和香農(nóng)理論的限制，能夠以遠(yuǎn)小于經(jīng)典采樣方法獲取的數(shù)據(jù)量重構(gòu)出高質(zhì)量的原始信號，與傳統(tǒng)壓縮方法相比，壓縮感知具有采樣數(shù)量少、采樣數(shù)據(jù)小等優(yōu)點(diǎn)。

數(shù)據(jù)重構(gòu)算法是壓縮感知過程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，其關(guān)鍵問題在于如何快速、準(zhǔn)確的從已知低維數(shù)據(jù)中恢復(fù)出高維數(shù)據(jù)。目前壓縮感知數(shù)據(jù)重構(gòu)算法主要分為兩類［2］：第一類算法是基于最小化l1范數(shù)的算法，包括基追蹤算法（Basis Pursuit，BP）［3］，線性規(guī)劃算法（Linear Programming，LP）［4］等，這類算法具有重建精度高的優(yōu)點(diǎn)，但其算法的復(fù)雜度較高，且執(zhí)行效率低，實(shí)用性較差；第二類是基于最小化l0范數(shù)的方法，即貪婪算法，包括正交匹配追蹤算法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）［5］、子空間追蹤算法（Subspace Pursuit，SP）［6］、壓縮采樣匹配追蹤算法（Compressive Sampling Matching Pursuit，Co-SaMp）［7］、迭代硬閾值算法（Iterative Hard Thresholding，IHT）［8］、基于感知字典的迭代硬閾值算法（Sending Dictionary-based Iterative Hard Thresholding，SDIHT）［9］、基于混沌量子免疫克隆算法的正交匹配算法（Orthogonal Matching Pursuit based on Quantum-inspired immune clonal，OMP-QICA）［10］、基于遺傳算法的壓縮感知重構(gòu)算法［11］等，這類算法主要通過迭代更新當(dāng)前估計(jì)來優(yōu)化信號恢復(fù)情況，在原始信號稀疏度較小的情況下具有很好的重構(gòu)精度及重構(gòu)速度，但對于稀疏度較高的原始信號其算法的性能卻有明顯下降。針對此問題，本文提出了基于量子克隆免疫算法的壓縮感知數(shù)據(jù)重構(gòu)算法（Quantum-inspired immune clonal based Compressed sensor data reconstruction，Q-CSDR）。Q-CSDR算法利用量子克隆免疫算法的快速搜索性能以及快速收斂能力實(shí)現(xiàn)了對原始數(shù)據(jù)的精確重構(gòu)，使用自適應(yīng)長度分幀方法減少l1范數(shù)最小化問題的冗余解，提高了高稀疏度條件下數(shù)據(jù)的重構(gòu)精度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法具有重構(gòu)精度高、重構(gòu)性能穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)。

2 壓縮感知與數(shù)據(jù)重構(gòu)

設(shè)X∈RN為長度為N的一維信號，壓縮感知過程可以用公式（1）來表示，Φ為M*N維的觀測矩陣（M＜＜N）：Y＝ΦX。通過觀測矩陣對x進(jìn)行觀測，可以將原始信號壓縮為長度為M的一維信號，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)壓縮。如何利用已有的感知數(shù)據(jù)Y重構(gòu)出原始信息，并要求重構(gòu)信號盡可能逼近原始信號，是壓縮感知理論框架中最關(guān)鍵的操作之一。壓縮感知信號重構(gòu)問題實(shí)際上是個(gè)求解欠定方程組的過程，數(shù)學(xué)表達(dá)過程如公式（1）所示：

其中對于向量x，其lp范數(shù)定義為：

在實(shí)際重構(gòu)過程中一般允許存在一定的誤差，所以上式可表示成公式（3），其中ε為極小常量：

壓縮感知重構(gòu)最關(guān)鍵的問題在于，公式（1）和公式（3）均是數(shù)值不穩(wěn)定的NP-完全問題，在求解過程中需要窮舉原始信號x中非零元素位置的種可能組合。

3 基于量子免疫克隆的壓縮感知數(shù)據(jù)重構(gòu)算法

量子免疫克隆算法（Quantum-inspired immune clonal algorithm，QICA）［12-13］是目前的研究熱點(diǎn)之一，是解決NP-完全問題的高效算法，具有很好的優(yōu)化組合性能。QICA將量子搜索機(jī)制和免疫算法克隆選擇原理相結(jié)合，利用量子編碼的疊加性構(gòu)造抗體，利用克隆操作產(chǎn)生原始種群和克隆子群實(shí)現(xiàn)種群擴(kuò)張，使搜索空間擴(kuò)大，提高了局部搜索能力；同時(shí)借助全干擾交叉操作避免陷入局部最優(yōu)。

QICA采用了多狀態(tài)量子比特編碼方式和通用的量子旋轉(zhuǎn)門操作，引入動態(tài)調(diào)整旋轉(zhuǎn)角機(jī)制和量子交叉［14］。QICA算法的核心思想是，先使用量子位和量子疊加態(tài)生成具有極大隨機(jī)性的變量值，并利用遍歷對解空間的所有變量值進(jìn)行優(yōu)化搜索，再通過交叉和量子門旋轉(zhuǎn)避免局部最優(yōu)，最后，通過線性變換將獲得的最優(yōu)解還原到原優(yōu)化空間中。

雖然量子克隆免疫算法具有很好的優(yōu)越性，但原始信號的非零元素位置組合數(shù)量巨大，降低了算法的運(yùn)算速度，因此將量子克隆免疫算法應(yīng)用于壓縮感知需要解決的最關(guān)鍵問題是減少解空間中的冗余解，提高信號重構(gòu)概率，在對信號壓縮前需要對其進(jìn)一步進(jìn)行分幀處理。

3.1 分幀方法

假設(shè)信號采集端采集的原始信號長度為N，稀疏度為K，根據(jù)非零元素的個(gè)數(shù)將原始信號分為frame＝ceil（K／n）個(gè)幀，n為每個(gè)幀內(nèi)包含的非零元素個(gè)數(shù)，ceil（·）為向上取整函數(shù)。自適應(yīng)分幀方法為：從原始信號的第一位起，記錄非零元素的個(gè)數(shù)m，當(dāng)m為第τ*n＋1個(gè)非零元素時(shí)，將其劃分為下一幀的起始元素。其中τ為正整數(shù)，其取值范圍為［0，frame-1］。舉例說明：

假設(shè)原始信號的稀疏向量x為：

0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0

則當(dāng)n＝2時(shí)，可分成如下六個(gè)幀：

0 0 0 1 1｜1 0 1 0｜1 0 1 0 0｜1 0 0 0 1 0｜1 1 0｜1 0 0 1 0 0 0。

其原始信號長度為30，稀疏度K＝40。

這種分幀方法的特點(diǎn)是除第一幀外，其余所有幀的起始位均為非零元素。與傳統(tǒng)的固定長度分幀方法相比，這種自適應(yīng)長度的分幀方法減少了重構(gòu)過程中非零元素個(gè)數(shù)的排列組合可能性，提高了原始信號的重構(gòu)概率。

3.2 理論分析

假設(shè)信號采集端采集的原始信號長度為N，信號稀疏度為K，則原始信號中的非零元素的可能位置有種可能，設(shè)其幅值均勻分布在［rangemin， rangemax］上，則根據(jù)概率論相關(guān)知識可知：其重建概率：

以原始信號為例，表1顯示未分幀及分幀后的原始信號x中非零元素的位置組合數(shù)量。

表1 分幀前后非零元素位置組合數(shù)量

可以看出，隨著分幀內(nèi)非零元素n變大，原始信號中非零元素位置的組合數(shù)量也隨之迅速增大。n＝1時(shí)非零元素位置組合僅有4種，其精確重構(gòu)的概率最大，但應(yīng)用于實(shí)際過程中會因?yàn)榉謳L度過短導(dǎo)致幀數(shù)量增加，分幀數(shù)量增加會導(dǎo)致通信包數(shù)量急劇增加，造成網(wǎng)絡(luò)擁塞，使分幀方法的實(shí)用性降低。當(dāng)n取值過大時(shí)，雖然能夠減少通信包數(shù)量，降低通信開銷，但也會造成非零元素位置組合數(shù)量急劇增加，降低了數(shù)據(jù)的重構(gòu)概率，因此表1僅列出了n＝1～4的非零元素位置組合數(shù)量。

3.3 信號重構(gòu)過程

根據(jù)量子免疫克隆理論，我們將壓縮感知信號重構(gòu)過程分為以下四個(gè)過程。

3.3.1 權(quán)值抗體初始化

量子免疫克隆算法是基于量子計(jì)算和遺傳算法組成的，其抗體的編碼方式采用量子比特編碼。一個(gè)抗體中量子位的狀態(tài)是不確定的，可以為0或1，其狀態(tài)表示為公式（5）：

其中α，β表示相應(yīng)狀態(tài)出現(xiàn)概率的兩個(gè)復(fù)數(shù)，其關(guān)系為α2＋β2＝1。

具有m個(gè)量子比特位的抗體可以描述為公式（6）：

其中t表示種群代數(shù)。結(jié)合信號重構(gòu)的應(yīng)用實(shí)際，m表示分幀長度。規(guī)模為n的量子種群表示為：，Q（t）即為信號重構(gòu)的解空間。

3.3.2 抗體編碼

這里摒棄經(jīng)典量子理論的坍塌觀測解碼方法，對公式（6）中的量子位采用文獻(xiàn)［8］進(jìn)行實(shí)數(shù)編碼，其規(guī)則如下：

frame為原始信號的分幀數(shù)量，xi表示當(dāng)前幀中第i個(gè)位置元素的幅值大小。

在進(jìn)行實(shí)數(shù)編碼后，算法按照當(dāng)前分幀的非零元素?cái)?shù)量按下列方法，將其權(quán)值置為0；

1.若是第一分幀，則按照非零元素個(gè)數(shù)隨機(jī)生成位置估計(jì)；

2.若不是第一分幀，則估計(jì)幀中第一位設(shè)為非零元素，其余非零元素位置隨機(jī)生成。

3.3.3 抗體種群克隆

公式中，mi為種群中第i個(gè)抗體的克隆規(guī)模，nc是與克隆規(guī)模相關(guān)且大于種群規(guī)模N的常數(shù)，本算法中設(shè)置為種群規(guī)模的1.2倍，f（qi）為第i個(gè)抗體的適應(yīng)度。

3.3.4 抗體種群更新

量子克隆免疫算法中，量子抗體通過量子旋轉(zhuǎn)門和全局交叉來實(shí)現(xiàn)更新操作。采用的量子旋轉(zhuǎn)門如公式（9）：

在利用量子旋轉(zhuǎn)門進(jìn)行更新的基礎(chǔ)上，為了構(gòu)造更加健壯的交叉操作，避免算法陷入局部最優(yōu)，算法采用了全干擾交叉操作。假設(shè)一個(gè)種群包含5個(gè)長度為8的抗體，其具體交叉方法見表2。

表2 全干擾交叉操作

3.4 算法步驟及流程

算法流程圖如圖1所示。

圖1 算法流程圖

算法具體過程如下：

1.將原始信號進(jìn)行分幀處理，記錄分幀長度、幀序列號、稀疏度等信息。

2.種群初始化。設(shè)置算法相關(guān)參數(shù)，包括種群規(guī)模sizepop，算法最大迭代次數(shù)maxgen或適應(yīng)度值下限ε，各幀稀疏度sparseratio，并根據(jù)壓縮前后幀長通過查表確定觀測矩陣Φ。

3.根據(jù)預(yù)置參數(shù)初始化種群，種群中每個(gè)抗體的稀疏度均為sparseratio。

4.將公式（4）計(jì)算得到的輸出y與目標(biāo)輸出target帶入公式（10）計(jì)算適應(yīng)度，這里設(shè)目標(biāo)輸出為n維向量：

5.對原有種群進(jìn)行克隆及更新操作，計(jì)算新種群的適應(yīng)度值，保留新種群中前sizepop個(gè)最優(yōu)個(gè)體組成下一代種群。

6.若沒有達(dá)到算法停止條件，則記錄當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體及最優(yōu)結(jié)果，然后轉(zhuǎn)向步驟3，若達(dá)到停止條件，則輸出最優(yōu)個(gè)體及最優(yōu)適應(yīng)度值。

7.若還有分幀需要構(gòu)建，則轉(zhuǎn)向步驟1，反之轉(zhuǎn)向步驟8。

8.將恢復(fù)的各幀按幀序列號組合即完成信號重建過程。

4 實(shí)驗(yàn)及分析

試驗(yàn)場地選擇在秦始皇帝陵博院K9801號坑旁，使用無線傳感器作為信號采集設(shè)備對監(jiān)測區(qū)域內(nèi)的微地震信號進(jìn)行采集。采集到的信號在傳感器節(jié)點(diǎn)本地進(jìn)行濾波、降噪等處理后，再通過分幀和壓縮后傳輸至遠(yuǎn)端服務(wù)器。為使對比結(jié)果明顯可靠，在現(xiàn)場布置兩類傳感器：一類是傳輸壓縮信號的傳感器，一類是傳輸未壓縮信號的傳感器。

4.1 自適應(yīng)長度分幀結(jié)果分析

從分析結(jié)果可以看出，信號的恢復(fù)精度實(shí)際上受幀內(nèi)非零元素個(gè)數(shù)影響較大，算法的復(fù)雜度則受幀長度影響。根據(jù)以上結(jié)果，對原始信號采取自適應(yīng)的分幀方法進(jìn)行處理。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。

圖2 n＝2時(shí)的數(shù)據(jù)恢復(fù)結(jié)果

當(dāng)n＝2時(shí)，原始數(shù)據(jù)共分為22個(gè)幀，信號壓縮比為200：59，近乎達(dá)到3：1?？紤]通信中，每幀數(shù)據(jù)包需要額外增加兩個(gè)字節(jié)原始幀長度和稀疏度信息，因此實(shí)際數(shù)據(jù)壓縮比率為162：400＝0.405。重建信號的精度為100%。

如圖3所示，當(dāng)n＝3時(shí)，原始數(shù)據(jù)共分為15個(gè)幀，信號壓縮比為200：59，約為3：1?？紤]通信中，每幀數(shù)據(jù)包需要額外增加兩個(gè)字節(jié)原始幀長度和稀疏度信息，因此實(shí)際數(shù)據(jù)包長度壓縮比率為148：400＝0.37。重建信號的精度為98%。

圖3 n＝3時(shí)的數(shù)據(jù)重構(gòu)結(jié)果

如圖4所示，當(dāng)n＝4時(shí)，原始數(shù)據(jù)共分為12個(gè)幀，信號壓縮比為200：66，約為3.3：1?？紤]通信中，每幀數(shù)據(jù)包需要額外增加兩個(gè)字節(jié)原始幀長度和稀疏度信息，因此實(shí)際數(shù)據(jù)包長度壓縮比率為156：400＝0.39。重建信號的精度為87%。

圖4 n＝4時(shí)的數(shù)據(jù)重構(gòu)結(jié)果

由上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，自適應(yīng)條件下的數(shù)據(jù)重構(gòu)精度較好，而且n越大恢復(fù)精度越低。從傳輸角度來看，n越大分幀數(shù)越少，產(chǎn)生的通信開銷越少，n越小則重構(gòu)概率越高、恢復(fù)精度越高。

4.2 不同稀疏度條件下實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

針對實(shí)驗(yàn)過程中采集的25組長度為200的數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮和重建，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。

圖5 不同稀疏度條件下的試驗(yàn)結(jié)果

可以看出，Q-CSDR算法在各種稀疏度條件下均保持了較好的數(shù)據(jù)恢復(fù)精度，性能比較穩(wěn)定。算法在較高稀疏度條件下也具有較好的恢復(fù)精度，但代價(jià)是增加了通信開銷和數(shù)據(jù)壓縮比：n＝2時(shí)的數(shù)據(jù)恢復(fù)精度最好，其壓縮比和n＝3和n＝4時(shí)相差不多，其通信開銷則高于后兩種分幀方式。因此適用于對信號恢復(fù)精度要求很高、但對網(wǎng)絡(luò)壽命要求較低的系統(tǒng)環(huán)境。n＝3時(shí)數(shù)據(jù)壓縮比率最低，其通信開銷小于n＝2，其數(shù)據(jù)精度則介于n＝3和n＝4之間，適用于對數(shù)據(jù)精度和網(wǎng)絡(luò)壽命都有一定要求的系統(tǒng)環(huán)境。n＝4時(shí)，數(shù)據(jù)恢復(fù)精度較差，但其通信開銷最小，適用于對數(shù)據(jù)精度要求不高，但對網(wǎng)絡(luò)壽命要求較高的系統(tǒng)環(huán)境。此外，算法對稀疏度接近45的原始信號仍保持較高的重構(gòu)概率，這也是由于減少了解空間數(shù)量，減少了估計(jì)信號的非零元素排列可能帶來的影響。

4.3 同類算法對比分析

圖6中顯示的是在各稀疏度條件下，不同算法的性能對照（不考慮通信開銷）。

圖6 同類算法實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比

可以看出在稀疏度較小的條件下，各類算法都具有較好的數(shù)據(jù)恢復(fù)精度。而在稀疏度大于30后，OMP算法的數(shù)據(jù)恢復(fù)性能急劇下降，SDIHT及BIHT算法在稀疏度大于40后也出現(xiàn)了明顯的下降趨勢，而Q-CSDR算法在稀疏度大于45后出現(xiàn)明顯下降，特別是n＝2時(shí)的Q-CSDR算法在稀疏度50時(shí)仍能保持90%的恢復(fù)概率，這也說明了分幀長度對于數(shù)據(jù)恢復(fù)精度的影響還是很明顯的。

綜上所述，Q-CSDR算法在稀疏度較大的前提下數(shù)據(jù)重構(gòu)性能較其他幾種算法好，但其缺點(diǎn)在于壓縮時(shí)分幀長度無法預(yù)知，需要針對各個(gè)長度預(yù)設(shè)不同長度的觀測矩陣，因此其觀測矩陣字典需要的存儲空間較多。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析來看，n＝2時(shí)的通信開銷較大，單從網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)節(jié)能角度考慮并不是最優(yōu)選擇。因此在實(shí)際應(yīng)用中采用了n＝3的QCSDR算法。

5 結(jié)束語

提出了基于量子免疫克隆的數(shù)據(jù)恢復(fù)算法。將量子免疫克隆與壓縮感知數(shù)據(jù)恢復(fù)算法結(jié)合起來，在提高運(yùn)算效率的前提下保證了數(shù)據(jù)恢復(fù)精度，并提出了自適應(yīng)分幀方法。結(jié)果表明，算法能夠在稀疏度較高的條件下精確的恢復(fù)出原始數(shù)據(jù)，并減小傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量。本算法已經(jīng)應(yīng)用于秦始皇帝陵博物院野外文物安防系統(tǒng)中，經(jīng)實(shí)際檢驗(yàn)收到了良好效果，今后的工作將是如何降低數(shù)據(jù)恢復(fù)算法復(fù)雜度，減少觀測矩陣的儲存空間。

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Algorithm of Com pressed Sensor Data Reconstruction Based on Quantum-inspired Immune Clon

QIHao1，LIU Zhou-zhou2
（1.School of Electronics and Information，Northwest Polytechnical University，Xi’an 710072，China；2.Xi’an Aeronautical University，Xi’an 710072，China）

An algorithm of compressed sensor data reconstruction，called Q-CSDR，based on the algorithm of quantum-inspired immune clon，is proposed in this paper.Q-CSDR can increase the probability of data reconstruction through framing the data adaptively.Because of its excellent performance，Q-CSDR uses the algorithm to accurately reconstruct the data.The experiment results show that，according to the sparsity of the original data，the algorithm can automatically adjust compression ratio，raise the accuracy of data reconstruction and adaptwell to high sparsity data reconstruction.It is used in the field security system of Emperor Qinshihuang｀smausoleum sitemuseum with good performance.

Quantum-inspired Immune Clonal Algorithm；Compressed Sensor；Data Reconstruction；Sparsity

10.3969／j.issn.1002-2279.2014.05.011

TP24

：A

：1002-2279（2014）05-0034-06

國家科技支撐計(jì)劃（批準(zhǔn)號：2010BAK67B09，2012BAK14B01）

祁浩（1982-），男，甘肅蘭州人，博士研究生，主研方向：從事無線傳感器網(wǎng)絡(luò)、智能信息處理等方面的研究。

2014-06-11