杜曉林,蘇濤,朱文濤,張龍

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室, 710071, 西安)

一種多輸入多輸出雷達相位編碼信號的設計方法

杜曉林,蘇濤,朱文濤,張龍

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室, 710071, 西安)

針對多輸入多輸出(MIMO)雷達正交相位編碼信號設計中已有方法所得信號集匹配濾波后旁瓣較高的問題,提出一種新的設計方法。首先將基于信號集相關旁瓣總能量的代價函數(shù)簡化成低次的較容易求解的問題,然后將輸入輸出算法從一維擴展到多維,并針對極小化問題改進了其物面和頻譜面的約束條件,利用改進后的輸入輸出算法求解該極小化問題,再針對基于信號集相關旁瓣峰值的代價函數(shù),利用迭代碼選擇算法對第一步所得信號集進一步優(yōu)化,最后得到相關性能較好的正交信號集。仿真結果表明,相比于模擬退火和序列二次規(guī)劃等方法,該方法所得信號集的平均非周期自相關峰值旁瓣降低了3～4 dB,平均非周期互相關峰值降低了1～2 dB。

雷達;多輸入多輸出;迭代碼選擇算法;相位編碼

多輸入多輸出(MIMO)雷達具有多個發(fā)射天線和接收天線,按照天線之間距離的遠近,通常將MIMO雷達分為分布式和集中式2類。分布式MIMO雷達的天線間距較大,具有空間分集增益,使雷達可以從不同角度對目標進行觀測,從而對抗目標的閃爍效應,提高探測能力;集中式MIMO雷達的天線間距較小,多個收發(fā)天線到目標的射線近似平行,而且各目標相對于收發(fā)天線有相同的波達方向,每個天線可以發(fā)射任意信號,容易實現(xiàn)靈活的發(fā)射分集設計,相比傳統(tǒng)的相控陣雷達,集中式MIMO雷達能夠提供更多的系統(tǒng)自由度以及更大的陣列孔徑,具有更高的分辨率,更好的參數(shù)識別能力,而且能夠進行靈活的方向圖設計和波形集優(yōu)化[1-4]。

為了抑制不同目標回波之間的干擾并獲得對多個目標的高分辨率,MIMO雷達一般采用正交相位編碼信號集作為發(fā)射信號。文獻[5-9]均以最小化信號集相關旁瓣總能量作為準則(本文將文獻[6]和文獻[9]的代價函數(shù)歸為最小化相關旁瓣總能量準則)設計了正交相位編碼信號集。其中文獻[5-6]分別采用混合模擬退火和混合遺傳算法作為設計方法,所得信號集的相關旁瓣較低。文獻[7]采用加權循環(huán)算法設計出積分旁瓣電平(integrated sidelobe level, ISL)較低的恒模序列,并且具有計算存儲量較小,設計速度快等優(yōu)點。文獻[8]采用互熵方法,通過對序列施加一個諧波相關的結構約束,設計了具有一定多普勒容忍性的正交相位編碼信號集。文獻[9]利用改進的Flethcher-Reeves算法,不施加約束條件,設計了一組具有低相關旁瓣的信號集。但是,文獻[5-9]中所得信號集的非周期自相關旁瓣峰值(autocorrelation sidelobe peak, ASP,記為u)和非周期互相關峰值(crosscorrelation peak, CP,記為v)仍然較高。

針對MIMO雷達正交相位編碼信號設計中,傳統(tǒng)方法所得信號集的相關旁瓣較高的問題,本文將輸入輸出算法[10-14]應用于MIMO雷達相位編碼信號設計中,提出一種混合輸入輸出算法,該算法由改進的輸入輸出算法和迭代碼選擇算法[15]2個步驟組成。首先將基于信號集相關旁瓣總能量的代價函數(shù)化簡成低次的較容易求解的問題,然后將輸入輸出算法從一維擴展到多維,并針對極小化問題改進了其物面和頻譜面的約束條件,利用改進后的輸入輸出算法求解該極小化問題。再針對基于信號集相關旁瓣峰值的代價函數(shù),利用迭代碼選擇算法對第一步所得信號集進一步優(yōu)化,最后得到相關性能較好的正交信號集。

1 問題描述

考慮一個具有M個發(fā)射陣元的MIMO雷達,各陣元發(fā)射相位編碼信號,發(fā)射信號的子脈沖個數(shù)為N,則發(fā)射信號集為

S=[s1,s2,…,sM]N×M=[y1,y2,…,yN]T

(1)

式中:sm=[sm(1),sm(2),…,sm(N)]T為第m個陣元發(fā)射的相位編碼信號;yn=[s1(n),s2(n),…,sM(n)]T代表全部M個陣元在第n個時刻的碼元,且sm(n)=ejφm(n)(0≤φm(n)≤2π)。

信號sm1(n)和sm2(n)的相關函數(shù)為

m1,m2=1,…,M;k=0,…,N-1

(2)

式中:當m1=m2時,rm1m1(k)為sm1(n)的非周期自相關函數(shù);當m1≠m2時,rm1m2(k)為sm1(n)和sm2(n)的非周期互相關函數(shù);(·)*表示復共軛計算[5-9]。

由信號的相關函數(shù)可得發(fā)射信號集相關矩陣為

(3)

由式(2)給出M個自相關函數(shù)旁瓣峰值u和M(M-1)/2個互相關函數(shù)峰值v的定義分別為[5-9,16-18]

(4)

v=max|(rm1,m2(n))/N|,m1≠m2,

m1,m2=1,…,M

(5)

在給出了評價指標的定義之后,本文要解決的問題就是通過某種極小化準則來設計平均ASP和平均CP較低的正交相位編碼信號集?？紤]到相關旁瓣總能量的降低會使相關旁瓣峰值穩(wěn)定地降低[5],因此建立基于信號集相關旁瓣總能量的代價函數(shù)E1[5-9]和基于信號集相關旁瓣峰值的代價函數(shù)E2分別為

(6)

式中:‖‖表示矩陣的F范數(shù)(如無特別說明,矩陣范數(shù)均為F范數(shù),而向量范數(shù)均為歐式范數(shù))。

(7)

為得到正交相位編碼信號集,本文利用混合輸入輸出算法求解代價函數(shù)式(6)和式(7)。

2 正交相位編碼信號的設計

混合輸入輸出算法包括2個步驟:①針對代價函數(shù)E1,利用改進的輸入輸出算法求解,并把這一步所得信號集作為第2步的初始輸入值;②針對代價函數(shù)E2,利用迭代碼選擇算法求解。下文首先將代價函數(shù)E1轉(zhuǎn)化為適合求解的極小化問題,然后概述輸入輸出算法的基本原理,進而說明改進的輸入輸出算法的具體求解步驟,最后敘述迭代碼選擇算法的算法流程。

2.1 改進的輸入輸出算法求解代價函數(shù)E1

2.1.1 代價函數(shù)E1的轉(zhuǎn)化 因為E1是關于自變量S的4次函數(shù),為了降低求解的復雜度,本文首先對代價函數(shù)進行轉(zhuǎn)化。

由式(3)中Rn的定義,可得yn的譜密度矩陣為

(8)

根據(jù)帕斯瓦爾定理得

(9)

(10)

由于M-1是E1的下界[7],而M確定為常數(shù),因此代價函數(shù)E1可以轉(zhuǎn)化為如下極小化問題

s.t. |sm(n)|=1;m=1,…,M;n=1,…,N

‖ak‖2=1;k=1,…,2N

(11)

可以看出,借助M×1維的輔助變量ak,E1化簡為自變量S的2次函數(shù)。

為了求解式(11)中的極小化問題,定義離散傅里葉變換(discrete Fourier transform, DFT)的正交矩陣D為

(12)

(13)

2.1.2 代價函數(shù)E1的求解 本文利用改進的輸入輸出算法對代價函數(shù)E1進行求解。由于輸入輸出算法是在Gerchberg-Saxton(GS)算法[12-14]的基礎上發(fā)展而來,所以先簡單描述GS算法的基本原理。

GS算法是一種數(shù)據(jù)點迭代傅里葉變換的相位恢復算法,其基本原理是固定輸入面和輸出面的振幅分布,利用2個平面上的傅里葉變換(FFT)和逆傅里葉變換(IFFT)交替迭代計算,恢復輸入平面的相位。具體過程為:

(1)先任意給定一個輸入面上的初始相位分布φ,然后將相位φ與入射光振幅|f(x)|構成入射波函數(shù)f(x),對f(x)進行傅里葉變換得F(u);

(2)用F(u)的相位部分與輸出平面上的振幅函數(shù)|F(u)′|構成復函數(shù)F(u)′;

(3)對F(u)′作逆傅里葉變換得復函數(shù)f(x)′;

(4)取f(x)′的相位部分與預定輸入光振幅|f(x)|構成新的波函數(shù)作為下一次迭代的輸入信息。

執(zhí)行上述迭代步驟,若迭代后的結果滿足收斂條件,則迭代過程結束,若不滿足,則繼續(xù)執(zhí)行下一次迭代。隨著迭代次數(shù)的增加,輸出的圖像會逐漸收斂為具有預定振幅的圖像,而所要恢復的相位即為輸入面上最終所得的相位φ。

為了提高GS算法的性能,Fienup等人將其修改為輸入輸出算法[10]。輸入輸出算法的前3步和GS算法相同,區(qū)別在于第4步增加了空間域限制,即

(14)

式中:γ是滿足約束條件的點集;β為常數(shù)。文獻[10]已經(jīng)證明,相比GS算法,輸入輸出算法的收斂速度更快。

MIMO雷達相位編碼信號設計的目的是為了獲得一組恒模的相位編碼信號集,由式(13)可得代價函數(shù)由時域(S′)和頻域(Q)2部分構成,恒模即時域信號的幅度固定為1,頻域信號的幅度也可以修改為滿足一定的約束條件,即應用GS算法和輸入輸出算法的前提是具備的。因為利用時域和頻域交替傅里葉變換對式(13)極小化的過程與相位恢復中恢復輸入平面相位的過程是一致的,所以GS算法和輸入輸出算法適合對本文問題進行求解。

GS算法和輸入輸出算法的流程圖分別如圖1和圖2所示[10-14]。

圖1 GS算法的流程圖

圖2 輸入輸出算法的流程圖

輸入輸出算法是對數(shù)據(jù)點的一維迭代傅里葉變換,而式(11)中的自變量是多維,因此首先將輸入輸出算法擴展到多維,然后根據(jù)極小化問題中的約束條件將算法中2個平面的約束條件進行改進,從而使改進后的輸入輸出算法適合求解本文中的極小化問題。

利用在[0,2π]內(nèi)均勻分布的隨機相位對S進行初始化,在隨后的每次迭代,該信號集將被算法步驟(4)中所得的新信號集取代。

改進的輸入輸出算法步驟如下。

(15)

將歸一化后的DFT通道系數(shù)記為ak(m),m=1,…,M,則有下式成立

k=1,…,2N

(16)

與輸入輸出算法中的頻譜面幅度代入操作不同,此處的約束條件修改為所有DFT通道系數(shù)的平方和等于1,這同時也使式(11)中的約束條件‖ak‖2=1成立,改進后的約束條件更適于本文中對極小化問題的求解。

(4)改進物面的幅度約束,并進行空間域限制。物面的幅度約束可以表示為

(17)

式中:exp(jarg(S′))用來約束每個信號的模值為1,這也使式(11)中的約束條件|sm(n)|=1成立;β的取值在0.5到1之間,當β=1時,不滿足空間域限制的點集的相位置0。

執(zhí)行迭代步驟(1)～(4),直到相鄰2次迭代所得信號集之間的誤差滿足如下條件

‖S(i)-S(i+1)‖<ε

(18)

式中:S(i)表示第i次迭代中所得信號集矩陣;ε為預先設定的較小值,如10-4。

圖3給出了改進的輸入輸出算法的流程。

圖3 改進的輸入輸出算法流程圖

2.2 迭代碼選擇算法求解代價函數(shù)E2

迭代碼選擇算法最早用于獲得具有較好非周期相關性的二進制序列[15],本文將其作為混合輸入輸出算法的第2步,來設計相位取值連續(xù)的正交相位編碼信號集。

將第1步所得優(yōu)化結果作為第2步的信號集初始輸入,利用[0,2π]內(nèi)均勻分布的隨機相位逐個替代初始輸入信號集中的相位φm(n),并且計算新信號集的代價函數(shù),如果由于相位的替代使得代價函數(shù)E2減小,則接受改變后的相位,否則保留原來的相位。信號集的每一個相位都進行上述相位替代操作,直到相位變化標志符為0,即沒有新的相位被接受,此時第2步的優(yōu)化過程結束。迭代碼選擇算法的流程如圖4所示。

圖4 迭代碼選擇算法的流程圖

3 仿真實驗

本文與文獻[5-9]所得信號集的性能指標對比如表1所示。表1中所列本文數(shù)據(jù)為100次Monte-Carlo實驗的最好值,而文獻[5-9]數(shù)據(jù)是引用對應文獻中的最好值。信號集的大小是M=3,N=40。

表1 平均ASP和平均CP的對比

由表1可知,本文信號集的平均CP比文獻[5-9]的低1～2 dB左右,而本文信號集的平均ASP比文獻[5-9]的要低3～4 dB。這說明了混合輸入輸出算法設計所得正交相位編碼信號集的自相關旁瓣峰值和互相關峰值都較低,正交性較好。主要原因分析如下。

(1)本文分別利用混合輸入輸出算法的2個步驟極小化基于信號集相關旁瓣總能量的代價函數(shù)E1和基于信號集相關旁瓣峰值的代價函數(shù)E2,第1步中相關旁瓣總能量的降低使得相關旁瓣峰值穩(wěn)定地降低,而第2步的優(yōu)化更直接地減小了相關旁瓣的峰值。文獻[5-9]則是單一的針對相關旁瓣的總能量進行優(yōu)化,比較而言,本文建立的代價函數(shù)較文獻[5-9]更全面和有效。

(2)本文將基于相關旁瓣總能量的代價函數(shù)轉(zhuǎn)化為較容易求解的形式,對輸入輸出算法進行了維數(shù)擴展,并且針對極小化問題中的約束條件改進了輸入輸出算法的物面和頻譜面的約束條件,使改進的輸入輸出算法相比于文獻[5-9]中所用的傳統(tǒng)優(yōu)化算法更適合求解本文問題,而迭代碼選擇算法的應用進一步降低了信號集平均ASP和平均CP的值。

圖5為M=3,N=40時本文算法所得信號集的非周期自相關函數(shù)和互相關函數(shù)。由圖5可得,本文信號集的非周期自相關函數(shù)的旁瓣較低,而且分布比較平坦,這說明了信號集中的每個信號均具有較好的脈沖壓縮性能。由圖5還可以看出,非周期互相關函數(shù)的旁瓣也較低,這表明了信號之間的干擾較小,有利于目標回波信號的分離。

當陣元數(shù)M=1時,信號集轉(zhuǎn)化為單個序列。p4序列和m序列為雷達發(fā)射信號中的性能良好的單個序列,而隨機相位序列由于相位沒有經(jīng)過優(yōu)化設計,導致其性能略差。本文算法所得單個序列的ASP和ISL與p4序列、m序列和隨機相位序列之間的對比在圖6和圖7中給出。從圖6和圖7可以看出,本文序列的ASP和ISL比p4序列、m序列和隨機相位序列都要低,這也說明了本文算法的有效性。

圖5 本文信號集的自相關函數(shù)和互相關函數(shù)

圖6 序列峰值旁瓣電平的比較

圖7 序列積分旁瓣電平的比較

在算法的復雜度和執(zhí)行效率方面,改進的輸入輸出算法中的主要運算是快速傅里葉變換和快速逆傅里葉變換,所以運算時間大致以O(MNlbN)增加,而迭代碼選擇算法的時間復雜度近似為O(M2N2(M-1))。表2給出了設計M=3,N=40大小的信號集時本文算法和文獻[5-9]算法的運行時間對比(仿真PC機配置:主頻為2.50GHz和2.29 GHz的雙核處理器,內(nèi)存為1.98 GB,程序采用Matlab語言編寫,由于與文獻編程方式可能不盡相同,為了使程序運行時間具有可比性,僅列出時間的數(shù)量級)。從表2可以看出,在設計相同規(guī)模的信號集時,本文算法需要的時間比文獻[7]的要長些,與文獻[6,9]所需時間是同一數(shù)量級,而文獻[5]和文獻[6]算法所需時間較長。

表2 本文算法與文獻[5-9]算法的運行時間對比

圖8 平均ASP和平均CP隨M的變化關系

圖9 平均ASP和平均CP隨N的變化關系

當N=64時,本文信號集的平均ASP和平均CP隨M的變化關系如圖8所示,而當M=4時,本文信號集的平均ASP和平均CP隨N的變化關系如圖9所示。由圖8和圖9可得,信號集的碼長不變時,平均ASP與平均CP隨發(fā)射陣元數(shù)的增多而逐漸增大,而當發(fā)射陣元數(shù)不變時,平均ASP與平均CP和lbN呈現(xiàn)出負線性的關系。

4 結 論

針對MIMO雷達正交相位編碼信號設計中,已有方法所得信號集的相關旁瓣較高的問題,本文提出了一種混合輸入輸出算法。該算法是由改進的輸入輸出算法和迭代碼選擇算法組成的混合優(yōu)化算法。利用混合輸入輸出算法的2個步驟分別極小化基于信號集相關旁瓣總能量的代價函數(shù)和基于信號集相關旁瓣峰值的代價函數(shù),最后得到相關性能較好的正交信號集。仿真結果驗證了本文算法的有效性。

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(編輯 劉楊)

ADesignMethodforMulti-InputMulti-OutputRadarPhaseCodingSignal

DU Xiaolin,SU Tao,ZHU Wentao,ZHANG Long

(National Laboratory of Radar Signal Processing, Xidian University, Xi’an 710071, China)

In the design of orthogonal phase coding signals for multi-input multi-output (MIMO) radar, a new method is presented to solve the problem that the signal sets obtained by the existing algorithms have high integrated sidelobes after matched filtering. An optimization cost function based on the total correlation sidelobes energy of the signal set is converted into a simpler quadratic optimization problem. An input-output algorithm is amended and extended to multidimensional case to improve the constraints of object domain and frequency domain, and the improved input-output algorithm is used to get a solution of the simplified optimization problem. Then, the results from the first step are further optimized by minimizing the correlation sidelobes by using the iterative code selection method, and the signal set with low correlation sidelobes is finally generated. Simulation results and comparisons with the simulated annealing algorithm and the sequential quadratic programming(SQP) algorithm, etc. show that the average autocorrelation sidelobe peak and the average crosscorrelation peak of the signal set obtained by the presented method decrease by about 3-4 dB and 1-2 dB, respectively.

radar; multiple input multiple output; iterative code selection method; phase coding

2014-05-07。

杜曉林(1985—),男,博士生;蘇濤(通信作者),男,教授,博士生導師。

國家自然科學基金資助項目(61001204);中央高校基本科研業(yè)務費專項資金資助項目(JY0000902020);中國博士后科學基金資助項目(2013M542329);陜西省自然科學基礎研究計劃資助項目(2012JM8015)。

時間:2014-09-22

10.7652/xjtuxb201412015

TN957

:A

:0253-987X(2014)12-0093-07

網(wǎng)絡出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20140922.1520.003.html