張鳳娟，張潮海

(哈爾濱工業(yè)大學 電氣工程及自動化學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

20世紀40年代，空間電荷透鏡的概念被提出[1]，直到60年代Морозов[2]才制造出空間電荷透鏡。隨后各種類型的空間電荷透鏡出現(xiàn)，但原理均是采用外加電磁場將大量電子約束在透鏡中，形成電子云對離子束進行聚焦，電子云的狀態(tài)決定離子的聚焦性能[3]?？臻g電荷透鏡有著不破壞束流的自中和效應及聚焦能力更強的優(yōu)越性[4-5]。電子云是非中性等離子體，對磁約束的電子云可采用研究等離子體的理論方法。本文在電子的磁流體方程組的基礎上推導磁鏡場中電子的密度及電位分布，數值模擬中心電子密度、磁約束因子、電子溫度3個參數的變化對電子云狀態(tài)的影響。

1 磁鏡

電子在磁場中沿磁感線漂移，磁矩具有不變性，磁鏡利用了磁矩的不變性。在磁場強的位置，粒子垂直速度變大，總能量不變，所以平行速度變小，平行動能轉化為垂直動能；在磁場弱的位置，垂直動能轉化為平行動能。有些平行速度小的粒子會在某處喪失平行方向的動能，被該處磁場反射而向相反方向運動，到達對稱位置時又被反射，從而粒子在磁鏡場中來回運動，成為約束粒子。平行速度大的粒子通過線圈，成為逃逸粒子。被磁鏡約束的粒子的速度分布會出現(xiàn)以2θm為頂角的損失錐，其中θm為中間面上粒子運動速度與磁感線夾角的臨界值。錐內粒子全部逃逸出磁鏡，錐外粒子被約束，被束縛的電子形成電子云。

磁鏡場是軸對稱磁場，在圓柱坐標系下，軸對稱的磁場的磁矢勢為：

(1)

式中：α=(R-1)/(R+1)，R為磁鏡比；k=2π/L，L為磁鏡距離；B0=(Bmax-Bmin)/2α，B為磁感應強度。則磁鏡場內部磁感應強度為：

(2)

式中，I0和I1為雙曲型貝塞爾函數。在空間透鏡的磁鏡場(z，r)平面的磁感應強度分布如圖1所示。

圖1 (z，r)平面磁感應強度分布

2 電子云的空間電場

空間電荷透鏡中電子的磁流體方程組(電子的連續(xù)性方程、動量方程、能量方程和靜電場方程)[6]為：

(3)

式中：ε0為真空介電常數；κ為波爾茲曼常數。n為電子密度；m為電子質量；e為電子電量；v為電子速度；U為電子電位；B為磁場強度；T為電子溫度；ν為電子碰撞頻率。

空間電荷透鏡中，電子密度較大，電子沿磁力線運動較沿橫越磁力線容易，殘余氣體原子和電子的有效碰撞電離，使電子運動受到一定的阻尼，使某平磁面的電子云偏離平衡狀態(tài)，最終一部分電子擴散逸出約束區(qū)域。損失電子可通過裝置中的冷陰極Penning放電和雜散離子轟擊管壁的電子二次發(fā)射進行補償。由于電子的漂移運動，損失電子和補償電子呈動態(tài)平衡狀態(tài)，電子云處于一定密度的穩(wěn)定狀態(tài)。此時，電子在垂直于z軸的平面內繞z軸做旋輪線式運動。電子的流體運動方程為：

(4)

式中，p=γ0κTn，γ0為比熱比。在流體力學中忽略極小項，得到：

(5)

(6)

式中，n0為透鏡中心電子密度?？臻g電荷場中電子沿徑向方向的密度分布為：

(7)

結合Poisson方程得到：

(8)

設理想磁鏡場是以z軸對稱的柱狀電子云，透鏡中心為原點。當電子云的軸向長度遠大于徑向長度時，電子云可看作無限長，由電子產生的電場抵消空間電荷場軸向分量，即?U/?z≈0，則式(8)簡化為：

(9)

假定束軸上的電位為0，對式(9)采用四階龍格-庫塔法對二階微分方程進行數值求解，模擬得到透鏡場中的電勢分布(圖2)。求解過程中所需的其他參數可根據已有實驗經驗取定。從圖2可看出，在一定的半徑區(qū)域范圍內電場呈線性變化，此區(qū)域的電場對穿過的離子束流起徑向聚焦作用。圖2示出的電子云的電勢分布和文獻[7]的接近。

圖2 電子云的電勢分布

3 電子云參數

運行的空間電荷透鏡中電子云的狀態(tài)取決于中心電子密度n0、磁約束因子γ、T3個特征參數。這3個參數確定了電子云的空間形態(tài)和密度分布，也決定著此透鏡的聚焦性能。磁約束因子為：

(10)

結合式(2)得到空間電荷透鏡中軸對稱磁場和磁約束因子的關系。本文所采用的磁場是磁場強度沿z軸方向逐漸增加的軸對稱磁場。磁約束因子沿z軸的變化趨勢如圖3所示。結合圖1、3和式(10)可看出，磁約束因子和磁場強度呈線性關系，變化率取決于電子密度和回旋頻率，電子密度和磁約束因子之間有制約關系。結合式(7)、(9)可看出，電子云的3個特征參數相互不獨立，1個參數的變化將引起其他參數的變化，電子云狀態(tài)、大小和密度分布參數也會發(fā)生改變，從而會改變電子云的電場分布，對聚焦性能產生很大的影響。

圖3 n0=1015 m-3時磁約束因子沿z軸的變化

(11)

電子云內，?n/?r<0，故γ>0。對式(11)取不同γ、T得到圖4。

從圖4a可看出，透鏡中心軸附近的電子密度越高，電子密度沿徑向近似于線性的變化率減少，電極邊緣附近，電子密度幾乎無變化。電子溫度取某定值時，相同數量的電子γ越大，電子云半徑被壓縮得越小，電場對電子的約束能力越強；從圖4b可看出，在透鏡中心軸附近區(qū)域，沿徑向有一小段電子密度幾乎不變，隨后沿徑向以較大的變化率減少。γ取某定值時，電子溫度越高，電子運動越活躍，電子在空間電荷透鏡中的彌散狀態(tài)越明顯，電子在整個電荷空間透鏡中分布越均勻。中心軸附近區(qū)域，電子運動活躍碰撞幾率較大，但由于密度較大，加之線性電場的約束，電子難以逃出此區(qū)域；電極附近區(qū)域電子密度較低，電子運動碰撞幾率較低，活動范圍較大。

圖4 γ(a)、T(b)對電子云狀態(tài)的影響

4 結論

本文闡述了軸對稱磁鏡場約束電子的理論，得到磁鏡場新型的空間電荷透鏡的理論基礎。對軸對稱磁鏡場的磁矢勢進行理論模擬，繪制(z，r)平面內磁場強度的分布。在新型空間電荷透鏡磁場中，在電子損失和補償呈動態(tài)平衡的基礎上得到某密度平衡態(tài)的電子云。結合電子的磁流體運動方程組，推導出絕熱狀態(tài)下空間電荷透鏡中電子的波爾茲曼分布，將電子的波爾茲曼分布和Poisson分布結合進行四階龍格-庫塔二階微分方程求解，得到空間電荷透鏡中電勢的分布。離子聚焦性能取決于電子云，而電子云的3個參數對電子云的狀態(tài)起決定作用。引入磁約束因子關系式，得到軸對稱磁鏡場中磁約束因子沿z軸方向近似于線性的變化趨勢。結合式(7)、(10)可看出，電子云的3個狀態(tài)參量相互制約，改變電子云的狀態(tài)，對聚焦性能有很大的影響。對磁約束因子、電子溫度取不同的數值進行對比研究，結果表明，磁約束因子的約束能力以及電子運動活躍程度，對電子云的狀態(tài)有著較大的影響。

參考文獻：

[1]GIBSON G, JORDAN W C, LAURE E J. Particle behavior in static, axially symmetric, magnetic mirror and cups geometries[J]. Phys Fluids, 1963, 6(1): 116-133.

[2]МОРОЗОВ А И. Вопросы теории плазма[J]. Атомиздат, 1974, 7(8): 247-381.

[3]BOOTH R, LEFEVER H W. Space charge lens for high current ion beams[J]. Nucl Instrum Methods, 1978, 151: 143-147.

[4]孫別和. 空間電荷中和透鏡的研究[J]. 原子能科學技術，1991，25(2)：52-56.

SUN Biehe. Study of space charge neutralization lens[J]. Atomic Energy Science and Technology, 1991, 25(2): 52-56(in Chinese).

[5]劉承俊，劉烈剛，馬躍，等. 強流電子束在螺旋管下的聚焦[J]. 強激光與粒子束，1991，3(3)：384-390.

LIU Chengjun, LIU Liegang, MA Yao, et al. Characteristics of an intense electron beam focused by a solenoid lens[J]. High Power Laser and Particle Beams, 1991, 3(3): 384-390(in Chinese).

[6]郁慶長. 理想長空間電荷透鏡中的電子云[J]. 原子能科學技術，1987，21(6)：666-670.

YU Qingchang. Electron cloud in ideal long space-charge lens[J]. Atomic Energy Science and Technology, 1987, 21(6): 666-670(in Chinese).

[7]ЗАВАЛОВA М. Особенности формированя объё-много заряда в сильноточной плазменной линзе[J]. Вопросы Атомной Науки И Техники, 2003, 7(3): 60-62.