蔡建平

(浙江水利水電學院 應用數(shù)學研究所，浙江 杭州 310018)

0 引 言

高性能電機被廣泛應用于高科技、高精密的現(xiàn)性系統(tǒng)自適應控制研究.代化制造業(yè)當中，如工業(yè)系統(tǒng)、精密加工過程等.伴隨著高性能電機的廣泛應用電機系統(tǒng)的控制研究越來越受到科研工作者的重視.在實際系統(tǒng)運行中，因為未知擾動、未知摩擦、未知推力波動等不確定性[1-4]的存在使得被控系統(tǒng)的性能大受影響.特別是對電機速度控制性能的影響及由此所產(chǎn)生的機械震動將會導致系統(tǒng)性能的嚴重下降.環(huán)形永磁力矩電動機屬三相永磁同步電動機，其特點是直接驅(qū)動，并且具有大直徑長度比、多極數(shù)等優(yōu)點[5].電動機本身對最大電流的限制使得電機輸入呈現(xiàn)出飽和特性.環(huán)形永磁力矩電動機輸入飽和的存在使得被控系統(tǒng)的性能受到很大影響，甚至會導致系統(tǒng)不穩(wěn)定[6].為提高系統(tǒng)的性能和可靠性，電機系統(tǒng)的控制設計中必須考慮未知輸入飽和.在具有輸入飽和的電機系統(tǒng)的控制器設計中，常用的方法有針對精確系統(tǒng)的低-高增益混合控制器設計[7-8]、抗飽和補償器的設計及應用[9-10]等.由于精確系統(tǒng)常常難以獲得，系統(tǒng)建模過程中的各種不確定因素使得模型中存在各種不確定性.為了使控制器的設計更能與實際被控系統(tǒng)相契合，在控制器設計中充分考慮系統(tǒng)不確定性是合理的.

本文針對含有未知參數(shù)的環(huán)形永磁力矩電動機系統(tǒng)，并考慮系統(tǒng)具有未知輸入飽和，應用Backstepping控制器設計方法設計自適應控制器，保持系統(tǒng)穩(wěn)定.同時系統(tǒng)中還考慮了未知擾動的存在，同樣通過對未知擾動的常數(shù)上界的自適應估計，在控制器設計中引入基于擾動上界的估計值的相關項對未知擾動的不確定性影響進行補償.與文獻[11]相比，本文中提出的自適應控制器不再要求系統(tǒng)未知參數(shù)的界已知，同時充分考慮了系統(tǒng)未知外界擾動.最后仿真結果也進一步驗證了本文設計的Backstepping自適應控制器的有效性.

1 系統(tǒng)描述

考慮如下環(huán)形永磁力矩電動機的運動方程[11]

(1)

其中J為系統(tǒng)轉動慣量，ω是轉子角，電磁轉矩為Te，齒槽轉矩表示為Tc.B是表征負載阻尼和粘性摩擦的系數(shù),d(t)表示其他所有的有界的外界擾動.電磁轉矩可表示為

Te=KTiq

(2)

其中KT為轉矩系數(shù)，iq表示轉動軸電流.考慮到齒槽轉矩與轉子位置θ及基波之間的下述關系

(3)

Tc=AcSc(θ)

(4)

其中，Ti為i次諧波的齒槽轉矩峰值，Nc為定子齒數(shù)與極數(shù)的公倍數(shù)，Ksk為斜槽系數(shù).Ac為未知函數(shù)，Sc(θ)是已知函數(shù)表示齒槽轉矩基波的形態(tài)函數(shù).

令狀態(tài)變量x1=θ;x2=ω,系統(tǒng)方程可重寫為如下二階系統(tǒng)

(5)

(6)

其中常數(shù)uM為飽和界.控制器設計前需如下假設：

假設1.系統(tǒng)輸入輸出穩(wěn)定.

假設2.參考輸出信號yr及其1,2階導數(shù)均有界.

2 控制器設計與穩(wěn)定性分析

本節(jié)將討論如何設計控制器以保證系統(tǒng)穩(wěn)定，并且實現(xiàn)系統(tǒng)跟蹤性能.為了對飽和的影響作出補償，類似于[12]首先引入輔助信號

(7)

其中c1，c2為大于0的常數(shù)，Δu=u(v)-v.

系統(tǒng)控制器設計前先做如下坐標變換

(8)

其中z1表示跟蹤誤差，α1表示在第一步中的虛擬控制．下面將利用backstepping方法設計控制器.

第一步：由(8)及系統(tǒng)方程(5)可得

=z2+α1+c1γ1

(9)

取

α1=-c1(z1+γ1)

(10)

其中c1>0為常數(shù),取Lyapunov函數(shù)為

(11)

對該Lyapunov函數(shù)求導數(shù)可得

(12)

第二步：由(8)及系統(tǒng)方程(5)可得

(13)

取控制信號

(14)

(15)

其中ηD為正設計參數(shù).參數(shù)估計誤差表示為

對該Lyapunov函數(shù)求導數(shù)可得

(16)

參數(shù)的估計率取為

(18)

則可得Lyapunov函數(shù)的導數(shù)為

(19)

定理1：對于環(huán)形永磁力矩電動機系統(tǒng)(1),系統(tǒng)飽和輸入由(6)給出.在控制輸入(14)及參數(shù)估計率(18)的作用下，閉環(huán)系統(tǒng)全局穩(wěn)定.

證明：顯見，由(18)可知閉環(huán)系統(tǒng)信號x1,x2,z1,z2有界，進一步得虛擬控制信號有界，控制輸入信號有界.則可建得閉環(huán)系統(tǒng)所有信號有界.

3 仿 真

仿真中采用與孫宜標等[11]同樣的電機系統(tǒng),其各系統(tǒng)參數(shù)取值如下:Ten=232N·m，轉矩系數(shù)KT=9.4 N·m/A，轉動慣量J=0.205 kg·m2，額定電流In=42.1 A，B=0.09 N·m·rad/s.外界擾動取為0.1sint,參考信號yr=sin(2πt).由上述電機參數(shù)計算得卡槽轉矩Tc=6sin(180x1)N·m.飽和輸入的電流限制值為40A.仿真中設計參數(shù)取為：ηD=ηB=ηA=1，c1=c2=15.仿真中所有信號的初始值均取為0.仿真圖形如下，圖1給出跟蹤誤差曲線圖.由該圖可以看出，輸出信號能再短時間內(nèi)實現(xiàn)對參考信號的跟蹤，但由于控制輸入的飽和特性使得精確跟蹤很難實現(xiàn).圖2給出的是控制信號v的時間曲線圖形，該控制信號是我們設計的輸入信號，并不直接作用于被控系統(tǒng)，通過飽和非線性變換得到直接作用于系統(tǒng)的輸入信號u由圖3給出.通過仿真圖形可以明顯看出該控制器可以保持系統(tǒng)穩(wěn)定，同時也可以實現(xiàn)對參考信號的跟蹤.

4 結 論

針對具有輸入飽和的環(huán)形永磁力矩電動機伺服系統(tǒng),應用反步方法設計自適應控制器.該控制器在飽和輸入下能對未知外界擾動進行有效補償，保持系統(tǒng)穩(wěn)定.同時實現(xiàn)了控制輸出對指令信號的快速跟蹤,且具有很好的魯棒性.仿真實驗進一步驗證了控制器的有效性.

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