段 汕，馮光瓊，趙淑珍，謝英華

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院， 武漢 430074)

1964 年G.Matheron 和J.Serra 在法國巴黎礦業(yè)學(xué)院共同創(chuàng)立了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)，它是一門建立在嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)之上的學(xué)科，其基本思想和方法對(duì)圖像處理的理論和技術(shù)產(chǎn)生了重大影響[1].數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)具有完備的數(shù)學(xué)理論，為形態(tài)學(xué)方法用于圖像分析和處理等各項(xiàng)工程技術(shù)領(lǐng)域奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，同時(shí)這也使得數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中數(shù)學(xué)理論的研究顯得尤為重要[2，3].

最初的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)理論主要集中于固定結(jié)構(gòu)元下的二值形態(tài)算子的研究，隨后Serra、Heijmans等學(xué)者將二值形態(tài)算子理論的研究擴(kuò)展到了灰值圖像形態(tài)算子理論的研究，如文獻(xiàn)[4-6]中作者通過陰影變換和表面算子的理論將函數(shù)與集合進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)理論從二值形態(tài)學(xué)到灰值形態(tài)學(xué)的擴(kuò)展.然而隨著形態(tài)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域的不斷發(fā)展，基于固定不變的結(jié)構(gòu)元進(jìn)行圖像處理有時(shí)達(dá)不到理想效果，因此Beucher 、Debayle等很多學(xué)者基于空間變化(Spatially-Variant)的思想對(duì)自適應(yīng)的形態(tài)學(xué)的理論及應(yīng)用方面進(jìn)行了研究，如文獻(xiàn)[7-9]中作者研究了自適應(yīng)算子的理論及廣泛應(yīng)用.同時(shí)，Bouaynaya、Schonfeld 等學(xué)者在文獻(xiàn)[10,11]中以固定結(jié)構(gòu)元下的二值形態(tài)學(xué)理論為基礎(chǔ)，研究了動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)元下的二值形態(tài)算子，在文獻(xiàn)[12]中以固定結(jié)構(gòu)元下的灰值形態(tài)學(xué)理論為基礎(chǔ)，探討了動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)元下的灰值形態(tài)算子(即給出了SV灰值形態(tài)學(xué)的腐蝕、膨脹以及開閉算子的代數(shù)形式)，實(shí)現(xiàn)了從固定結(jié)構(gòu)元下的形態(tài)學(xué)理論向SV的形態(tài)學(xué)理論的擴(kuò)展.文獻(xiàn)[13]則為歐式空間中SV(二值和灰值)的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)理論提供了統(tǒng)一框架，并用陰影變換和表面算子表示了SV灰值形態(tài)學(xué)的腐蝕和膨脹算子，本文在此基礎(chǔ)之上，基于陰影變換和表面算子的理論系統(tǒng)地研究了在SV的二值形態(tài)學(xué)理論的基礎(chǔ)上建立SV灰值形態(tài)算子的方法.首先，從陰影集的概念出發(fā)，證明了陰影集的相關(guān)結(jié)論，其次，運(yùn)用陰影變換和表面算子表示了SV灰值形態(tài)學(xué)的開閉算子，并以文獻(xiàn)[11]中的SV二值形態(tài)學(xué)理論為基礎(chǔ)， 證明了文獻(xiàn)[13]中的腐蝕、膨脹以及本文的開這3種算子的表示形式具有文獻(xiàn)[12]中所給出的對(duì)應(yīng)算子的代數(shù)形式，最后，研究了腐蝕、膨脹以及開閉這4種算子的相關(guān)性質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)了從SV的二值形態(tài)算子的研究到SV的灰值形態(tài)算子的研究的擴(kuò)展.

1 預(yù)備知識(shí)

為了方便下文的研究，通過文獻(xiàn)[4]和[13]，我們引入相關(guān)概念.

考慮非空集合E=Rn或Zn(n>0)，定義SV二值結(jié)構(gòu)元素θ是從E到P(E)的映射，并將θ′(y)={z∈E：y∈θ(z)}(y∈E)稱為θ的轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)元素. 在歐式空間中， SV二值腐蝕、膨脹、開、閉算子分別表示為：

(1)

(2)

Γθ(X)=δθ(εθ(X))=∪{θ(y):θ(y)?X;

y∈E},

(3)

Φθ(X)=εθ(δθ(X))=∪{z∈E:θ(y)∩X≠?,

?θ(y):z∈θ(y)},

(4)

其中X∈P(E).在下文中，我們用大寫字母X，Y，Z表示P(E)中的元素，小寫字母x，y，z表示E中的元素.

通過陰影變換的方法，我們可實(shí)現(xiàn)從SV二值形態(tài)算子到SV灰值形態(tài)算子的擴(kuò)展.本文僅考慮從E=Rn或Zn(n>0)到T=R或Z的上半連續(xù)函數(shù)的集合，記作USC(E,T).A∈Rn×R稱為陰影集當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的(x,t)∈A，必有(x,t′)∈A對(duì)一切t′≤t成立.對(duì)任意的f∈USC(E,T)，將函數(shù)f的陰影集定義為U[f]={(x,y)∈E×T:y≤f(x)}.對(duì)任意的陰影集V，定義其表面為從E到T的函數(shù)S[V]，即S[V](x)=∨{y∈T:(x,y)∈V}.很容易得到，對(duì)任意的f∈USC(E,T)，均有S(U[f])=f. SV結(jié)構(gòu)函數(shù)Θ定義為從E到USC(E,T)的映射，若對(duì)任意的x,u∈E，均有[Θ′(x)](u)=[Θ(u)](x)，則將Θ′稱為Θ的轉(zhuǎn)置映射.為了實(shí)現(xiàn)函數(shù)集合化，我們定義陰影集結(jié)構(gòu)元ΘU：ΘU(x,y)=U[Θ(x)+y]=U[Θ(x)]+y((x,y)∈E×T).本文假定Θ是連續(xù)的，且對(duì)E中的每一點(diǎn)x，Spt(Θ′(x))都是緊集.

為了進(jìn)行下文的研究，我們首先給出以下幾個(gè)引理.

引理1 對(duì)任意的f1，f2∈USC(E,T) ，均有f1≤f2?U[f1]?U[f2]成立.

證明必要性.若f1≤f2，即對(duì)任意的x∈E，都有f1(x)≤f2(x)，則對(duì)任意的(x,y)∈U[f1]，有y≤f1(x)≤f2(x)，從而可得(x,y)∈U[f2]. 因此U[f1]?U[f2].

充分性.若U[f1]?U[f2]，即{(x,y)|y≤f1(x)}?{(x,y)|y≤f2(x)}，則對(duì)任意(x,y)∈E×T，有y≤f1(x)?y≤f2(x).從而有∨{y|y≤f1(x)}≤∨{y|y≤f2(x)}，也即∨{y|(x,y)∈U[f1]}≤∨{y|(x,y)≤U[f2]}.又由表面函數(shù)的定義，可知對(duì)任意的x∈E， 都有S(U[f1])(x)≤S(U[f2])(x)，即f1(x)≤f2(x).

引理2 若A∈Rn×R是陰影集，則有U(S(A))=A成立.

證明一方面，由于(S(A))(x)=∨{y|(x,y)∈A}， 則對(duì)任意的(x,y)∈A，有y≤(S(A))(x)，又因?yàn)閁(S(A))={(x,y)|y≤(S(A))(x)}，于是有(x,y)∈U(S(A)). 從而可得A?U(S(A)).另一方面， 對(duì)任意的(x,y)∈U(S(A))，都有y≤(S(A))(x)=∨{y′|(x,y′)∈A}，則對(duì)任意的y′≥y，均有(x,y′)∈A.故由陰影集的定義可知，(x,y)∈A.也即U(S(A))?A.綜上所述，可得U(S(A))=A成立.

引理3 對(duì)任意的f∈USC(E,T)，εΘU(U[f])和δΘU(U[f])均是陰影集.

證明1) 由(1)式可知，我們有εΘU(U[f])={(x,y)|ΘU(x,y)?U[f]}，則對(duì)任意的(x,y)∈εΘU(U[f])，有ΘU(x,y)?U[f]，也即U[Θ(x)+y]?U[f]，根據(jù)引理1可得，Θ(x)+y≤f.則對(duì)任意的y′≤y，有Θ(x)+y′≤Θ(x)+y≤f，于是有U[Θ(x)+y′]?U[f]，即ΘU(x,y′)?U[f]，從而可得(x,y′)∈εΘU(U[f]).故由陰影集的定義知εΘU(U[f])是陰影集.

由于對(duì)任意的f∈USC(E,T)， 有ΓΘU(U[f])=δΘU(εΘU(U[f]))，ΦΘU(U[f])=εΘU(δΘU(U[f])).由引理3知，ΓΘU(U[f])和ΦΘU(U[f])也都是陰影集.

根據(jù)引理2及引理3，容易得到性質(zhì)1.

性質(zhì)1 對(duì)任意的f∈USC(E,T)，以下4個(gè)等式成立:

U(S(εΘU(U[f])))=εΘU(U[f]),U(S(δΘU(U[f])))=δΘU(U[f]),U(S(ΓΘU(U[f])))=ΓΘU(U[f]),U(S(ΦΘU(U[f])))=ΦΘU(U[f]).

2 SV灰值形態(tài)算子的表示形式的研究

為了將SV的二值形態(tài)算子擴(kuò)展到SV的灰值形態(tài)算子，陰影變換便成了重要的方法與途徑.N .Bouaynaya和 D .Schonfeld在SV二值形態(tài)學(xué)的腐蝕和膨脹算子的表示形式的基礎(chǔ)之上，運(yùn)用陰影變換和表面算子表示了SV灰值形態(tài)學(xué)的腐蝕和膨脹算子，具體形式如下[13]：

[εΘ(f)](x)=S[εΘU(U[f])](x)

(?x∈E,f∈USC(E,T))，

(5)

[δΘ(f)](x)=S[δΘU(U[f])](x)

(?x∈E,f∈USC(E,T)).

(6)

我們按照二值形態(tài)學(xué)開閉算子的定義方式(即腐蝕和膨脹的復(fù)合)，利用陰影變換和表面算子得到SV灰值形態(tài)學(xué)的開閉算子的表示形式.

性質(zhì)2 SV灰值形態(tài)學(xué)的開和閉算子可以分別表示為:

[ΓΘ(f)](x)=δΘ(εΘ(f))(x)=

S[ΓΘU(U[f])](x)(?x∈E,f∈USC(E,T)).

[ΦΘ(f)](x)=εΘ(δΘ(f))(x)=

S[ΦΘU(U[f])](x)(?x∈E,f∈USC(E,T)).

證明1)由(5)、(6)式，可得對(duì)任意的x∈E，有:

[ΓΘ(f)](x)=δΘ(εΘ(f))(x)=

S(δΘU(U(S(εΘU(U[f])))))(x).

又由性質(zhì)1，有:

[ΓΘ(f)](x)=S(δΘU(εΘU(U[f])))(x)=

S(ΓΘU(U[f]))(x).

2) 由(5)、(6)式，可得對(duì)任意的x∈E，都有:

[ΦΘ(f)](x)=εΘ(δΘ(f))(x)=

S(εΘU(U(S(δΘU(U[f])))))(x).

又由性質(zhì)1，有:

[ΦΘ(f)](x)=S(εΘU(δΘU(U[f])))(x)=

S(ΦΘU(U[f]))(x).

以SV的二值形態(tài)學(xué)理論為基礎(chǔ)，通過陰影變換和表面算子的理論建立了SV灰值形態(tài)算子的表示形式.根據(jù)SV灰值形態(tài)腐蝕、膨脹以及開算子的表示形式，我們可以推證這3種算子具有其對(duì)應(yīng)的代數(shù)形式.

證明由(5)式和表面函數(shù)的定義，可得對(duì)任意的x∈E，均有[εΘ(f)](x)=∨{v∈T:(x,v)∈εΘU(U[f])}.又由(1)式和ΘU(x,y)=U[Θ(x)+y]，從而可得:

[εΘ(f)](x)=∨{v∈T:ΘU(u,v)?U[f]}=

∨{v∈T:U[Θ(x)+v]?U[f]} .

由引理1可知，[εΘ(f)](x)=∨{v∈T:Θ(x)+v≤f}=∨{v∈T:v≤f-Θ(x)} .

性質(zhì)4 SV灰值形態(tài)學(xué)膨脹也可表示為：?x∈E，?f∈USC(E,T)，[δΘ(f)](x)=

證明由(6)式和表面函數(shù)的定義，可得對(duì)任意的x∈E，都有[δΘ(f)](x)=∨{v∈T:(x,v)∈δΘU(U[f])} .又由(2)式，可得對(duì)任意的f∈USC(E,T)，均有δΘU(U[f])={(x,v)∈E×T:(ΘU)′(x,v)∩U[f]≠?}.從而可得，[δΘ(f)](x)=∨{v∈T:(x,v)∈E×T,(ΘU)′(x,v)∩U[f]≠?}.

也即[δΘ(f)](x)=∨{v∈T:(x,v)∈E×T,?(u,w)∈(ΘU)′(x,v)∩U[f]}.

又因?yàn)?ΘU)′(x,v)={(u,w)∈E×T:(x,v)∈ΘU(u,w)}，于是有：

[δΘ(f)](x)=∨{v∈T:(x,v)∈E×T,?(u,w),(x,v)∈ΘU(u,w)且(u,w)∈U[f]}=∨{v∈T:(x,v)∈E×T,?(u,w),v≤[Θ(u)](x)+w且w≤f(u)}.

又[Θ′(x)](u)=[Θ(u)](x)，因此有：

[δΘ(f)](x)=∨{v∈T:(x,v)∈E×T,?(u,w),v≤[Θ′(x)](u)+w且w≤f(u)}=∨{v∈T:(x,v)∈E×T,?(u,w),v≤[Θ′(x)](u)+f(u)}.

[Θ′(x)](u)}.

根據(jù)上確界的定義，有[δΘ(f)](x)=∧{v:v≥f(u)+[Θ′(x)](u)}.即：

[δΘ(f)](x)=∧{v:-Θ′(x)+v≥f}.

性質(zhì)5 SV灰值形態(tài)學(xué)開也可表示為：?f∈USC(E,T) ，?x∈E，

[ΓΘ(f)](x)=∨{Θ(u)+v≤f:(u,v)∈E×T}.

證明由性質(zhì)2和表面函數(shù)的定義，可得對(duì)任意的x∈E，均有[ΓΘ(f)](x)=∨{b|(a,b)∈ΓΘU(U[f])}.又由(3)式，可得對(duì)任意的f∈USC(E,T)，都有[ΓΘ(f)](x)=∨{b|(a,b)∈∪{ΘU(x,y):ΘU(x,y)?U[f];(x,y)∈E×T},(a,b)∈E×T}.也即[ΓΘ(f)](x)=∨{b|?(u,v)∈E×T,(a,b)∈ΘU(u,v)且ΘU(u,v)?U[f]}.又由于ΘU(x,y)=U[Θ(x)+y]和引理1，從而可得[ΓΘ(f)](x)=∨{b|b≤[Θ(u)](a)+v且Θ(u)+v≤f}.即[ΓΘ(f)](x)=∨{Θ(u)+v≤f,(u,v)∈E×T}.

3 SV灰值形態(tài)算子的性質(zhì)

以上的研究利用陰影變換和表面算子，在SV二值形態(tài)算子的表示形式的基礎(chǔ)上建立了SV灰值形態(tài)算子.SV灰值形態(tài)學(xué)腐蝕、膨脹以及開閉算子具有與SV二值形態(tài)學(xué)腐蝕、膨脹以及開閉算子相似的性質(zhì).下面我們將以SV二值形態(tài)算子的性質(zhì)為基礎(chǔ)來證明SV灰值形態(tài)算子的對(duì)應(yīng)性質(zhì).

3.1 腐蝕和膨脹的性質(zhì)

性質(zhì)6(附益性) 對(duì)任意的結(jié)構(gòu)函數(shù)映射Θ，δΘ(f)≤g?f≤εΘ(g)(f,g∈USC(E,T)).

證明由(6)式和δΘ(f)≤g可得S(δΘU(U[f]))≤g.根據(jù)引理1，我們有U(S(δΘU(U[f])))?U[g].從而由性質(zhì)1可知δΘU(U[f])?U[g].故由SV二值形態(tài)學(xué)腐蝕和膨脹的附益性可得U[f]?εΘU(U[g]).又由表面函數(shù)的定義，可得S(U[f])≤S(εΘU(U[g])).即f≤εΘ(g) .

該性質(zhì)表明SV的灰值腐蝕與膨脹具有附益性.

性質(zhì)7(增性) 若f1，f2∈USC(E,T)，f1≤f2，那么對(duì)任意的結(jié)構(gòu)函數(shù)映射Θ，有εΘ(f1)≤εΘ(f2)，δΘ(f1)≤δΘ(f2).

證明若f1，f2∈USC(E,T)且f1≤f2，則根據(jù)引理1和SV二值腐蝕和膨脹的增性， 有εΘU(U[f1])?εΘU(U[f2])，δΘU(U[f1])?δΘU(U[f2]).又由表面函數(shù)的定義，我們可得對(duì)任意的x∈E，均有S(εΘU(U[f1]))(x)≤S(εΘU(U[f2]))(x)，S(δΘU(U[f1]))(x)≤S(δΘU(U[f2]))(x).由(5)和(6)式 ，可得εΘ(f1)≤εΘ(f2),δΘ(f1)≤δΘ(f2).

此性質(zhì)說明對(duì)于目標(biāo)信號(hào)，SV灰值腐蝕和膨脹都滿足遞增性.

性質(zhì)8 (擴(kuò)展性、非擴(kuò)展性) 如果對(duì)任意的x∈E，[Θ(x)](x)≥0，那么εΘ(f)≤f，δΘ(f)≥f(f∈USC(E,T)).

證明由于對(duì)任意的x∈E，[Θ(x)](x)≥0，則對(duì)任意的(x,y)∈Ε×T，都有[Θ(x)+y](x)≥y.也即(x,y)∈U[Θ(x)+y]=ΘU(x,y).故根據(jù)SV二值腐蝕的非擴(kuò)展性和膨脹的擴(kuò)展性，知對(duì)任意的f∈USC(E,T)，我們有εΘU(U[f])?U[f]，U[f]?δΘU(U[f]).又由(5)、(6)式，得εΘ(f)(x)=S(εΘU(U[f]))(x)≤S(U[f])(x)=f(x)，δΘ(f)(x)=S(δΘU(U[f]))(x)≥S(U[f])(x)=f(x).從而有εΘ(f)≤f，δΘ(f)≥f.

由此性質(zhì)可見SV灰值腐蝕是非擴(kuò)展的，而膨脹是擴(kuò)展的.

性質(zhì)9 (結(jié)構(gòu)元素的增性) 如果結(jié)構(gòu)函數(shù)映射Θ1≤Θ2，那么有εΘ2(f)≤εΘ1(f)，δΘ1(f)≤δΘ2(f)(f∈USC(E,T)).

這個(gè)性質(zhì)表明對(duì)于結(jié)構(gòu)元素， SV灰值腐蝕與膨脹也滿足增性.

為了說明SV灰值腐蝕和膨脹滿足結(jié)合律，我們首先給出以下兩個(gè)引理.

引理4 若θ1，θ2是E到P(E)上的映射， 那么δθ2(δθ1)=δδθ2(θ1)，其中δθ1(θ2) 表示E到P(E)上的映射，對(duì)任意的z∈E滿足(δθ1(θ2))(z)=δθ1(θ2(z)).

性質(zhì)10 (結(jié)構(gòu)元素的復(fù)合性) 若Θ1、Θ2是從E到USC(E,T)的映射， 那么εΘ2(εΘ1(f))=εδΘ1(Θ2)(f),δΘ2(δΘ1(f))=δδΘ2(Θ1)(f),f∈USC(E,T)， 其中εΘ1(Θ2)和δΘ1(Θ2)均表示從E到USC(E,T)上的映射， 對(duì)任意的x∈E滿足εΘ1(Θ2)(x)=εΘ1(Θ2(x))，δΘ1(Θ2)(x)=δΘ1(Θ2(x)).

證明(1) 根據(jù)SV灰值腐蝕的定義，可得對(duì)任意的x∈E，有:

εΘ2(εΘ1(f))(x)=

(2) 根據(jù)SV灰值膨脹的定義，我們可得到對(duì)任意的x∈E，有:

δΘ2(δΘ1(f))(x)=

δΘ2(δΘ1(f))(x)=

S(δ[δΘ2(Θ1)]U(U[f]))(x)=δδΘ2(Θ1)(f).

3.2 開和閉的性質(zhì)

性質(zhì)11(等冪性) 對(duì)任意的結(jié)構(gòu)函數(shù)映射Θ，

ΦΘ(f)(f∈USC(E,T)).

證明由性質(zhì)2和性質(zhì)1，我們可得：

S(ΓΘU(U(S(ΓΘU(U[f])))))=

S(ΓΘU(ΓΘU(U[f]))),

S(ΦΘU(U(S(ΦΘU(U[f])))))=

這個(gè)性質(zhì)說明SV灰值開、閉運(yùn)算滿足冪等性.用同一個(gè)結(jié)構(gòu)元素對(duì)輸入信號(hào)作兩次(或者兩次以上)的開運(yùn)算(或閉運(yùn)算)得到的結(jié)果和用此結(jié)構(gòu)元素作用一次的結(jié)果相同.

性質(zhì)12(擴(kuò)展性、非擴(kuò)展性) 對(duì)任意的結(jié)構(gòu)函數(shù)映射Θ，ΓΘ(f)≤f，ΦΘ(f)≥f(f∈USC(E,T)).

證明由SV二值形態(tài)學(xué)開閉算子的擴(kuò)展與非擴(kuò)展性，可得對(duì)任意的f∈USC(E,T)，有ΓΘU(U[f])?U[f]，ΦΘU(U[f])?U[f].又由表面函數(shù)的定義，我們可得對(duì)任意的x∈E，均有

S(ΓΘU(U[f]))(x)≤S(U[f])(x),

S(ΦΘU(U[f]))(x)≥S(U[f])(x).

也即ΓΘ(f)≤f,ΦΘ(f)≥f.

此性質(zhì)表明SV灰值開是非擴(kuò)展的，而閉是擴(kuò)展的.

性質(zhì)13 (增性) 若f1，f2∈USC(E,T)且f1≤f2，那么對(duì)任意的結(jié)構(gòu)函數(shù)映射Θ，都有ΓΘ(f1)≤ΓΘ(f2),ΦΘ(f1)≤ΦΘ(f2).

證明若f1,f2∈USC(E,T)且f1≤f2，則由引理1和SV二值開閉算子的增性， 可得ΓΘU(U[f1])?ΓΘU(U[f2]),ΦΘU(U[f1])?ΦΘU(U[f2])，故由表面函數(shù)的定義，我們可得對(duì)任意的x∈E，均有S(ΓΘU(U[f1]))(x)≤S(ΓΘU(U[f2]))(x),S(ΦΘU(U[f1]))(x)≤S(ΦΘU(U[f2]))(x)，從而可得ΓΘ(f1)≤ΓΘ(f2)，ΦΘ(f1)≤ΦΘ(f2).

此性質(zhì)表明對(duì)于目標(biāo)信號(hào)，SV灰值開和閉也都滿足遞增性.

由上述證明可以看出，基于陰影變換和表面算子的理論所給出的SV灰值形態(tài)腐蝕、膨脹以及開閉算子，與基于固定結(jié)構(gòu)元下的灰值形態(tài)學(xué)理論而定義的這4種對(duì)應(yīng)算子的性質(zhì)基本保持一致.

4 結(jié)束語

本文在文獻(xiàn)[13]所表示的SV灰值形態(tài)學(xué)腐蝕、膨脹算子的基礎(chǔ)之上，利用陰影變換和表面算子表示了SV灰值形態(tài)學(xué)的開閉算子，并根據(jù)文獻(xiàn)[11]中的SV二值形態(tài)學(xué)理論，證明得到腐蝕、膨脹和開這3種算子的表現(xiàn)形式具有文獻(xiàn)[12]中所給出的對(duì)應(yīng)算子定義形式，并進(jìn)一步探討了腐蝕、膨脹以及開閉這4種算子的相關(guān)性質(zhì).通過以上研究，我們可以清晰地看到，SV灰值形態(tài)學(xué)腐蝕、膨脹以及開閉算子可以基于固定結(jié)構(gòu)元下的灰值形態(tài)學(xué)理論直接定義而得，也可以運(yùn)用陰影變換和表面算子來進(jìn)行建立，這兩種途徑得到的SV灰值形態(tài)算子的表示形式和相關(guān)性質(zhì)基本達(dá)成一致，但閉算子的表現(xiàn)形式與其代數(shù)形式的一致性以及腐蝕膨脹的對(duì)偶性、開閉的對(duì)偶性的證明還有待進(jìn)一步研究.本工作實(shí)現(xiàn)了從SV的二值形態(tài)算子的研究到SV的灰值形態(tài)算子研究的擴(kuò)展，有助于我們深入地理解SV形態(tài)算子，以及整個(gè)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本理論，也為今后的腐蝕膨脹的對(duì)偶性、開閉的對(duì)偶性的研究奠定了基礎(chǔ).

參 考 文 獻(xiàn)

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