潘林峰，曹振洲，程衍富

(中南民族大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，武漢 430074)

費(fèi)米子是自旋為半整數(shù)的粒子,比如自旋為1/2的電子就是最典型的費(fèi)米子.電子通過勢壘的隧穿是量子力學(xué)中的基本問題,滿足Schr?dinger方程的非相對論電子通過勢壘時透射概率隨勢壘的高度和寬度指數(shù)衰減[1].因此電子完全通過極高和極寬勢壘的現(xiàn)象被認(rèn)為是完全不可能的,然而1929年Klein[2]發(fā)現(xiàn)滿足Dirac方程的相對論電子可以完全隧穿勢壘,這個效應(yīng)叫Klein隧穿.對Klein隧穿的理解來自量子場論[3].勢壘具有很強(qiáng)的電勢從而排斥電子而吸引正電子,導(dǎo)致在勢壘內(nèi)部產(chǎn)生正電子態(tài),它的能量與勢壘外面的電子匹配,越過勢壘的電子和正電子的波函數(shù)連續(xù)導(dǎo)致高隧穿效應(yīng).這里電子和正電子密切聯(lián)系,并由Dirac方程的不同分量來描述,這種性質(zhì)通常叫電荷共軛對稱.雖然這個解釋能完全說明Klein隧穿,但要從實驗上觀察這個現(xiàn)象存在很大困難,即相對論電子的完全隧穿要求勢壘高度大于粒子的Compton波長,產(chǎn)生如此勢壘要求電場E>1016V/cm.以現(xiàn)在的技術(shù)手段幾乎不可能產(chǎn)生如此大的電場,因此這個效應(yīng)從實驗上不可能被觀察,所以人們一直把這個現(xiàn)象稱為Klein佯謬.

2004年石墨烯的發(fā)現(xiàn)預(yù)言了兩維無質(zhì)量Dirac電子的Klein隧穿[4],并且極容易地從實驗上觀察到這個效應(yīng)[5],從而真正解決了Klein佯謬問題.石墨烯是具有兩個原子基(通常叫子格A和B)的二維晶體薄片[6].石墨烯蜂巢結(jié)構(gòu)由2個三角布拉維晶格組成,因此載流子除了通常的電子自旋外(本文忽略),還有與子格自旋度相聯(lián)系的贗自旋.因為子格贗自旋,人們把波函數(shù)寫為子格空間的Dirac雙旋量,并且引入粒子的手性,即單層石墨烯中的準(zhǔn)粒子是無質(zhì)量手性費(fèi)米子.后來發(fā)現(xiàn)在多層石墨烯系統(tǒng)中也能推廣手性概念,即準(zhǔn)粒子為有質(zhì)量的手性費(fèi)米子.有質(zhì)量手性粒子通過勢壘的行為與非手性粒子存在很大差異, 它們垂直通過勢壘前者表現(xiàn)為反Klein隧穿,后者出現(xiàn)振蕩隧穿[7, 8].本文重點(diǎn)討論有質(zhì)量手性粒子,通過其在勢壘中的傳播來理解手性概念,并比較非手性粒子通過勢壘的隧穿行為.

1 贗自旋與手性

(1)

它是厄米和幺正算符,本征值為±1.不存在質(zhì)量項時,螺旋算符與狄拉克-哈密頓量對易,因此與哈密頓量有共同的本征函數(shù),這時我們把螺旋算符和手性看成相等. 比如質(zhì)量近似為零的中微子為左手粒子,即它們的自旋與它們的動量反平行,反中微子是右手粒子,它的自旋與動量平行.單層石墨烯中的準(zhǔn)粒子是無質(zhì)量Dirac費(fèi)米子,由石墨烯的晶格結(jié)構(gòu)引入贗自旋σ.贗自旋來自晶格的兩個不等價子格A和B,因此可像自旋粒子一樣引入手性(螺旋性).因此石墨烯中準(zhǔn)粒子的手性也可像方程(1)一樣定義為贗自旋在動量方向的投影[9],這里只要把自旋算符s改為贗自旋算符σ即可.對有質(zhì)量的狄拉克粒子,需要推廣無質(zhì)量粒子的手性概念.比如對多層菱形堆疊石墨烯系統(tǒng),兩能帶低能哈密頓量近似為[10]：

HJ=ε(p)σ·nJ=ε(p)[cos(Jφ)σx+

sin(Jφ)σy],

(2)

其中nJ= -(cos(Jφ), sin(Jφ))表示贗自旋極化軸,在二維波矢平面上的極化角φ=arctan(ky/kx),波矢k與動量p的關(guān)系為p=?k.贗自旋矢量σ= (σx,σy)是兩維泡利矩陣.在上面的表示中,J表示石墨烯的層數(shù),也叫手性自由度,它聯(lián)系各層的電子密度,比如對單層J= 1,對雙層J= 2,等.

圖1 費(fèi)米圓上贗自旋矢量旋轉(zhuǎn)圖Fig.1 Diagram of pseudo-spin vector rotation on the Fermi circle

2 兩維有質(zhì)量手性粒子的勢壘隧穿

兩維有質(zhì)量手性粒子最簡單的模型出現(xiàn)在雙層石墨烯中[12].雙層石墨烯由兩個單層碳原子耦合而成,它的每層都為蜂巢結(jié)構(gòu),每層都有兩個不等價碳原子A和B. 兩層間不同堆疊構(gòu)成不同的雙層系統(tǒng),天然石墨剝離產(chǎn)生的雙層系統(tǒng)為Bernal堆疊,即上層的A2原子正好在下層B1原子的頂上.在多層石墨烯低能哈密頓量中,我們?nèi)= 2,且ε(p) =p2/2m,這里有效質(zhì)量m≈0.054me[13],me為祼電子質(zhì)量.那么在能谷K點(diǎn)附近哈密頓量為[14]:

(3)

對K′點(diǎn)附近的低能哈密頓量只需作替換ky→-ky即可.由于我們研究的散射不考慮能谷混合, 今后只考慮對K能谷的散射.

雙層石墨烯系統(tǒng)的載流子是有質(zhì)量手性費(fèi)米子,它通過勢壘的行為與非手性粒子完全不同.下面考慮有質(zhì)量手性粒子通過方勢壘的隧穿. 假定能量為E的手性費(fèi)米子(電子)從左邊以角度φ入射到寬為D高為V0的方勢壘上,如圖2所示.

圖2 方勢壘和各區(qū)域波矢與散射角示意圖Fig.2 Schematic diagram of square barrier and regional wave vector vs the scattering angle

如果勢壘沿x為矩形并沿y軸無限長,則分段常數(shù)勢函數(shù)可表示為：

(4)

假定勢壘邊緣相當(dāng)陡峭且在晶格尺度上光滑,則不引起能谷間散射,那么我們只需研究一個能谷K的散射. 由于勢函數(shù)與坐標(biāo)y無關(guān),則粒子的波函數(shù)可寫為ψ(r)=ψ(x)eikyy.二維矩陣表示中,無勢壘區(qū)域的波函數(shù)的x分量滿足本征值方程:

(5)

這里E是費(fèi)米能.式(5)可寫為下面的2個微分方程:

(6)

(7)

由(6)、(7)消去ψ2(x)有：

(8)

方程(8)的解為傳播波解exp(±ikxx)或者指數(shù)增長(衰減)的倏逝波解exp(±kxx).把傳播波解ψ1(x)=e±ikxx代入(8)式有:

這里s表示能帶指標(biāo),E> 0,s= +1;E< 0,s= -1.即雙層石墨烯能量色散為二次關(guān)系,正如圖2所示的拋物線:

(9)

由式(7)有:

可得旋量的第二分量為:

(10)

同理對倏逝波有:

(11)

(12)

這里考慮只有電子傳播波入射,反射有傳播波和倏逝波.在0

(13)

(14)

上述系數(shù)r1,r2,a,b,c,d,t1,t2都為復(fù)振幅,我們要求波函數(shù)和其導(dǎo)數(shù)在x= 0和x=D連續(xù)可求出這些系數(shù),在計算過程中取s= 1,s′= -1. 在任意入射角φ下并不能得到透射系數(shù)的解析解,它需要用數(shù)值解來完成. 而正入射時,φ=θ=0,我們能求出透射系數(shù)的解析表示：

(15)

并且t2=r2=a=b=0.那么透射概率為:

(16)

如果D以nm為單位,方程(16)中雙曲函數(shù)的變量q量級達(dá)到107,則T以指數(shù)方式衰減很快,幾乎完全沒有透射.

雙層石墨烯在電子正入射時完全沒有透射,這通常叫反Klein效應(yīng).從波的邊界條件可知正入射時a=b= 0,即勢壘區(qū)域只有倏逝波通道,這種情況下與Schr?dinger粒子通過勢壘指數(shù)衰減完全相同.當(dāng)然對斜入射粒子,勢壘中傳輸通道是傳播波和倏逝波的混合,倏逝波產(chǎn)生指數(shù)衰減,而向前和向后的傳播波通過Fabry-Pérot干涉產(chǎn)生共振透射[15].

雙層石墨烯通過勢壘的Klein效應(yīng)由其手性決定.對K能谷手性指標(biāo)與能帶指標(biāo)相同,即導(dǎo)帶手性為+1,贗自旋方向與波矢方向相同;價帶手性為-1,贗自旋與波矢方向相反. 粒子通過勢壘界面要求贗自旋守恒.比如對正入射(ky= 0),贗自旋只有x分量σx,贗自旋守恒使圖3中只能出現(xiàn)細(xì)黑箭頭所允許的傳輸過程,即雙層石墨烯中只允許出現(xiàn)反射傳輸.所以雙層石墨烯勢壘區(qū)域不可能出現(xiàn)傳播模,也就是說勢壘區(qū)域的空穴波矢不是實波矢-k而是虛波矢q=ik.

圖3 粒子電子正入射時贗自旋守恒示意圖Fig.3 pseudo-spin conservation Schematic diagram while normal incidence

3 兩維有質(zhì)量無手性粒子的勢壘隧穿

為了與有質(zhì)量手性粒子的勢壘隧穿進(jìn)行比較,這里我們只能考慮非手性載流子無隙半導(dǎo)體,這有可能在某種異質(zhì)結(jié)構(gòu)中實現(xiàn)[16].這個系統(tǒng)的哈密頓量為:

(17)

我們還是取勢函數(shù)在y方向平移不變,則波函數(shù)ψ(x,y)=ψ(x)eikxx.由波函數(shù)滿足的本征值方程有:

(18)

即:

(19)

設(shè)傳播波解為ψ(x)=e±ikxx,那么由(19)有:

這里s=±1分別表示導(dǎo)帶和價帶,波矢kx=kcosφ,ky=ksinφ,而φ為入射角.

這里qy=qsinθ=ky,θ是勢壘區(qū)域的折射角以及s′=sgn(E-V0).我們也只考慮入射電子的能量小于勢壘高度.對x< 0的無勢壘區(qū)域,波函數(shù)為:

ψⅠ(x)=eikxx+re-ikxx,

(20)

在0

ψⅡ(x)=aeiqxx+be-iqxx,

(21)

同理x>D的無勢壘區(qū)域:

ψⅢ(x)=teikxx,

(22)

上述系數(shù)r,a,b,t都為復(fù)振幅.利用波函數(shù)其及導(dǎo)數(shù)在界面x=0和x=D連續(xù)可得出透射系數(shù)t:

(23)

則透射概率T=|t2|為:

T=|t1|2=

(24)

下面通過圖解透射概率(24).由方程(24)知當(dāng)滿足共振條件qxD=nπ,N=0,±1,±2,…，勢壘能完全透射,如圖4所示. 圖4表示斜入射時透射概率T與入射角φ的關(guān)系,其中E/V0=0.2(粗實線), E/V0=0.7(細(xì)實線)，D=100nm.由圖可見當(dāng)入射粒子的能量增加時，透射概率T與入射角φ呈明顯的不對稱性.

圖4 斜入射時透射概率T入射角φ的關(guān)系Fig.4 T-φ curves while oblique incidence

對正入射(φ = 0),透射概率T是勢壘寬度D的函數(shù),如圖5所示. 圖5中E/V0= 0.3(粗實線), E/V0=0.2(細(xì)實線),從圖5知道, 有質(zhì)量非手性粒子正入射時既不像無質(zhì)量手性粒子一樣透射概率總為1[4],也不像有質(zhì)量手性粒子那樣透射概率總為0,它的值在0到1之間振蕩.振蕩周期與勢壘高度V0,入射粒子能量E和勢壘寬度D都有關(guān).

圖5 正入射時透射概率T與勢壘寬度D的關(guān)系Fig.5 T-D curves while normal incidence

4 小結(jié)

本文研究了有質(zhì)量手性和非手性費(fèi)米子通過勢壘的隧穿概率.有質(zhì)量手性粒子對應(yīng)的系統(tǒng)為雙層石墨烯,這里由于層和子格引起贗自旋而粒子具有手性.對K能谷導(dǎo)帶中手性為+1,價帶中手性為-1,對K′能谷手性則相反.當(dāng)滿足Dirac方程的粒子通過高度為V0的勢壘時,正入射粒子完全被反射,這就是反Klein隧穿.而斜入射的粒子由于在勢壘區(qū)域出現(xiàn)傳播和倏逝波的混合,倏逝波使透射振幅衰減而傳播波在界面的干涉產(chǎn)生Fabry-Pérot共振隧穿.兩維有質(zhì)量無手性粒子可以出現(xiàn)在無隙半導(dǎo)體中,正入射時粒子完全隧穿隨勢壘寬度呈周期變化,斜入射也出現(xiàn)共振隧穿.它的表現(xiàn)與手性粒子完全不同,即不會出現(xiàn)Klein隧穿和反Klein隧穿.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] Merzbacher E. Quantum Mechanics [M]. 2nd ed.New York: John Wiley & Sons Inc, 1970: 81- 114.

[2] Klein O. Die reflexion von elektronen an potential sprung-nach der relativistischen dynamik von Dirac [J]. Z Phys, 1929, 53:157- 165.

[3] 周邦融. 量子場論 [M]. 北京:高等教育出版社, 2008: 55-81.

[4] Katsnelsio M I, Novoselov K S, Geim A K. Chiratun-nelling and Klein paradox in graphebne [J]. Nat Phys, 2006 , 2: 620- 625.

[5] Huard B, Sulpizioet J A, Stander N,et al. Transport measurements across a tunable potential barrier in graphene [J]. Phys Rev Lett, 2007, 98: 236803.

[6] Castro-Neto A, Guinea F, Peres N M R ,et al. The electronic properties of grapheme [J]. Rev Mod Phys, 2009, 81: 109.

[7] Cao Zhenzhou, Cheng Yanfu , Li GuanQiang. Massive Dirac electron tunneling through a time-periodic potential in single layer grapheme [J]. Physics Letters A, 2011, 375: 4065- 4069.

[8] Cao Zhenzhou, Cheng Yanfu, Li Guanqiang. Strain-controlled electron switch in grapheme [J]. Appl Phys Lett, 2012, 101: 253507.

[9] Goerbig M O. Electronic properties of graphene in a strong magnetic field [J]. Rev Mod Phys, 2011, 83:1193.

[10] Tworzyd lo J, Trauzettel B, Titov M, et al. Sub-Poissonian shot noise in graphene [J]. Phys Rev Lett, 2006, 96: 246802.

[11] Park C-H, Marzari N. Berry phase and pseudospinwinding number in bilayer graphene[J]. Phys Rev B, 2011 , 84: 205440.

[12] Edward McCann , Mikito Koshino. The electronicproperties of bilayer graphene[J]. Rep Prog Phys, 2013, 76: 056503.

[13] McCann E, Abergel D S L, Falko V I. Electrons in bilayer graphene[J]. Solid State Commun, 2007, 143: 110.

[14] Novoselov K S, McCann E, Morozov S V, et al.Unconventional quantum Hall effect and Berry′s phase of 2π in bilayer graphene[J]. Nature Phys, 2006, 2: 177.

[15] Allain P E, Fuchs JN. Klein tunneling in graphene: optics with massless electrons [J]. Eur Phys J B, 2011, 83: 301-317.

[16] Teissier R, Finley JJ, Skolnick MS, et al. Experimental determination of gamma-X intervalley transfer mechanisms in GaAs/AlAs heterostructures [J]. Phys Rev B, 1996, 54: 8329-8332.