李令強

1.湖南大學 數(shù)學與計量經(jīng)濟學院，長沙 410082

2.聊城大學 數(shù)學科學學院，山東 聊城 252059

L-模糊上近似的唯一公理刻畫

李令強

1.湖南大學 數(shù)學與計量經(jīng)濟學院，長沙 410082

2.聊城大學 數(shù)學科學學院，山東 聊城 252059

1 引言

粗集理論是Pawlak教授于1982年提出的一種能夠定量分析處理不精確、不完整信息與知識的數(shù)學工具[1]。Pawlak粗集是基于等價關系的，但是等價關系要求過高，因此，人們把等價關系放寬為一般的二元關系或者覆蓋，或者進一步把二元關系或者集合模糊化，研究了各種各樣的廣義粗集[2-4]，模糊或者更一般的L-模糊粗集[5-10]，其中 L為某個格結構。

公理化是研究粗集的重要方式。設 X為任意論域，P(X)為其冪集。一般來說，公理化就是探尋使抽象算子 f∶P(X)→P(X)等價于由某二元關系（覆蓋）定義的上、下近似算子的條件。文獻[11]和文獻[12]分別研究了關系和覆蓋粗集的公理系統(tǒng)，而文獻[6-7，13]研究了模糊或者更一般的L-模糊粗集的公理系統(tǒng)。值得注意的是上述公理系統(tǒng)都有多個公理組成。最近，受上近似算子和Kuratowski閉包算子的相似性和后者可以通過唯一公理刻畫的啟發(fā)，文獻[14]給出了粗集和模糊粗集的上近似算子的唯一公理刻畫。這有助于人們從多方面、多視角出發(fā)來研究粗集理論。

近年來，因為具有一定的邏輯意義，剩余格值L-模糊粗集理論[5，7-8，10]備受關注。本文的目的是借鑒文獻[14]的方式給出剩余格值L-模糊粗集上近似算子的唯一公理刻畫。本文中總假設L=(L,∨,∧,?)是完備剩余格[7，14]，并假設讀者熟悉其性質。設X為非空論域，記X的所有L-模糊集之集為FL(X)，則L上的運算?,∨,∧可以逐點傳遞到FL(X)上。記L的最大（?。┰獮?（0）。任取λ∈L，仍用λ表示取常值λ的L-模糊集，任取A∈FL(X)，用λA表示L-模糊集λA(x)=λ?A(x)。對任意x∈X，λ≠0，用λ/x表示L-模糊集λ/x(y)=λ若y=x否則λ/x(y)=0。

2 經(jīng)典上近似算子的公理化

設R為論域X上的二元關系，（1）若任取x∈X有xRx，則稱R為反身的；（2）若xRy蘊涵著 yRx，則稱R為對稱的。任取x∈X，記rR(x)={y|xRy}。對任意A∈P(X)，分別稱

為A的上、下近似。對任意A∈P(X)，仍用A來記及其特征函數(shù)，即?x∈X，若x∈A則A(x)=1否則A(x)=0。任取A，B∈P(U)，稱值：

為A與B的內積。

設 f∶P(X)→P(X)為任意算子，定義其逆算子 f-1∶P(X)→P(X)為：對任意A∈P(X)

文獻[14]得到了上近似算子的如下唯一公理刻畫：

（1）存在 X上唯一的二元關系 R使得對任意A∈P(U)有 f(A)=當且僅當對任意 A，B∈P(X)有(A，f(B))=(B，f-1(A))。

（2）存在 X上唯一的反身的二元關系R使得對任意 A∈P(U)有 f(A)=當且僅當對任意 A，B∈P(X)有(A，B∪f-1(B))=(B，f(A))。

（3）存在 X上唯一的對稱的二元關系R使得對任意 A∈P(U)有 f(A)=當且僅當對任意 A，B∈P(X)有(A，f(B))=(B，f(A))。

本文的主要目的是將上述結論推廣到L-模糊粗集的情形。

3 L-模糊上近似算子的公理化

設R為論域 X上的L-模糊關系，即 X×X上的L-模糊集。（1）若任取 x∈X有R(x，x)=1，則稱R為反身的；（2）若R(x，y)=R(y，x)，則稱R為對稱的。任取x∈X，定義 X上的L-模糊集lR(x)為：lR(x)(y)=R(y，x)。

任取A∈FL(X)，稱

為A的L-模糊上近似。它具有如下性質[8]。設A,B∈FL(X)，λ∈L：

為A和B的內積。文獻[5]稱之為A和B的相關度。

引理1任取A，B，Ai(i∈I)∈FL(X)，有

（1）(A，0)=0，（2）(A，B)=(B，A)，（3）(A，Ai)=(A，Ai)，（4）若 B≤C，則(A，B)≤(A，C)，（5）若任取C∈FL(X)有(C，A)=(C，B)，則A=B。

證明（1）～（4）在文獻[5]中已經(jīng)指出，僅證（5）。事實上，任取x∈X，令C=1/x，則

由x的任意性得A=B。

定義2設 f∶FL(X)→FL(X)為任意算子，稱算子 f-1∶FL(X)→FL(X)

為 f的逆算子。

注記1當L={0，1}時，?=∧，L-模糊集退化為分明集。則

上式說明，定義的逆算子是分明情形的恰當推廣。引理2設存在X上的L-模糊關系R使得 f=，則：

（1）f-1=，其中 R-1為 R的逆關系，定義為R-1(x，y)=R(y，x)。

（2）若R對稱則 f=f-1。

故（1）成立。若R對稱則R=R-1，故由（1）得（2）。

以下，設 f∶FL(X)→FL(X)為任一算子。

（A）?A，B∈FL(X)，(A，f(B))=(B，f-1(A))

1.2.2 問卷考評 量表編制基本完成后，通過預調查考察量表的信、效度，信度系數(shù)值為0.934，大于0.9，說明研究數(shù)據(jù)信度質量很高。KMO值用于判斷是否有效度，KMO值為0.918，大于0.6，意味著數(shù)據(jù)具有效度。由信度、效度檢驗可知，該量表具有較好的信度和效度。針對預調查發(fā)現(xiàn)的問卷不足之處，進行修正、完善，以便能準確、可靠地獲得調查所需的信息。

上式說明若R為L-模糊關系，則

充分性：設 f滿足（A），先證 f滿足：

其中 I為任意指標集，{Ai}i∈I?FL(X)，{λi}i∈I?L。事實上任取B∈FL(X)，由引理1及條件（A）得：

由B的任意性知條件（A2）成立。定義X上的L-模糊關系如下：

故條件（R）成立。

充分性：設f滿足（R），由引理1得，任取C∈FL(X)有：

這意味著B≤f(B)。特別的，任取x∈X有 f(1/x)≥1/x，從而

證明 必要性：設R是對稱的（從而R=R-1）且 f=，由（A1）知：

所以性質（S）成立。

充分性：設 f滿足（S），下證 f滿足（A2）。事實上任取B∈FL(X)，由引理1及條件（S）得：

由A的任意性知條件（A2）成立。定義X上的L-模糊關系R如下：任取R(x，y)=f(1/y)(x)，類似于定理1可證=f。下證R是對稱的。由（S）得：

4 結束語

本文可以看做對文獻[14]中部分結果的推廣和深化。相較于文獻[14]，本文的意義在于：（1）所取值格不同，文獻[14]中L為單位區(qū)間，本文中L為剩余格；（2）文獻[14]研究經(jīng)典粗集的上近似時，抽象算子 f的逆算子f-1起到了至關重要的作用，但是文獻[14]并未定義模糊算子的逆算子，故而模糊粗集的相應結論就無法呈現(xiàn)，本文彌補了這一缺憾。

[1]Pawlak Z.Rough set[J].International Journal of Computer and Information Sciences，1982，11：341-356.

[2]Yao Y Y.Relational interpretations of neighborhood operators and rough set approximations operators[J].Information Sciences，1998，111：239-259.

[3]Qin K Y，Yang J L，Pei Z.Generalized rough sets based on reflexive and transitive relations[J].Information Sciences，2008，178：4138-4141.

[4]Zhu William.Relationship between generalized rough sets based on binary relation and covering[J].Information Sciences，2009，179：210-225.

[5]Chen X Y，Li Q G.Construction of rough approximations in fuzzy setting[J].Fuzzy Sets and Systems，2007，158：2641-2653.

[6]Liu G L.Generalized rough sets over fuzzy lattices[J].Information Sciences，2008，178：1651-1662.

[7]She Y H，Wang G J.An axiomatic approach of fuzzy rough sets based on residuated lattices[J].Computers and Mathematics with Applications，2009，58：189-201.

[8]李令強，金秋，孫守斌，等.多值近似空間的上下近似誘導的拓撲結構[J].系統(tǒng)科學與數(shù)學，2012，32（2）：226-236.

[9]王莉，李令強，孟廣武，等.區(qū)間值模糊近似空間的拓撲結構[J].計算機工程與應用，2012，48（13）：44-47.

[10]Ma Z M，Hu B Q.Topological and lattice structures of L-fuzzy rough sets determined by lower and upper sets[J]. Information Sciences，2013，218：194-204.

[11]Yao Y Y，Lin T Y.Generalization of rough sets using modal logic[J].International Journal of Intelligent Automation and Soft Computing，1996（2）：103-120.

[12]Zhang Y，Luo M.On minimization of axiom sets characterizing covering-based approximation operators[J].Information Sciences，2011，181：3032-3042.

[13]Mi J S，Zhang W X.An axiomatic characterization of a fuzzy generalization of rough sets[J].Information Sciences，2004，160：235-249.

[14]Liu G L.Using one axiom to characterize rough set and fuzzy rough set approximations[J].Information Sciences，2013，223：285-296.

[15]Hájek P.Metamathematics of fuzzy logic[M].Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，1998.

LI Lingqiang

1.College of Mathematics and Econometrics,Hunan University,Changsha 410082,China
2.School of Mathematics Science,Liaocheng University,Liaocheng,Shandong 252059,China

By the notion of inner products of L-fuzzy sets,this paper uses only one axiom to describe the upper approximation generated by the L-fuzzy relations,the reflexive and symmetric L-fuzzy relations,respectively.

L-fuzzy relations;L-fuzzy rough sets;inner products;axioms

利用L-模糊集內積的概念分別給出了由L-模糊關系、反身、對稱的L-模糊關系生成的L-模糊上近似的唯一公理刻畫。

L-模糊關系；L-模糊粗集；內積；公理

A

O159.1

10.3778/j.issn.1002-8331.1402-0446

LI Lingqiang.Characterization on L-fuzzy upper approximation by only one axiom.Computer Engineering and Applications,2014,50（24）：1-3.

國家自然科學基金（No.11371130）；山東省自然科學基金（No.ZR2013AQ011）；湖南省科技計劃項目（No.2012RS4029）。

李令強（1980—），男，博士后在讀，副教授，主要研究領域為格值拓撲與格值粗集。E-mail：lilingqiang0614@126.com

2014-03-04

2014-05-20

1002-8331（2014）24-0001-03

CNKI網(wǎng)絡優(yōu)先出版：2014-08-06，http∶//www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1402-0446.html