胡冠中，周志剛

天津大學 管理與經(jīng)濟學部，天津 300072

區(qū)間猶豫模糊熵應用于地方高等教育發(fā)展研究

胡冠中，周志剛

天津大學 管理與經(jīng)濟學部，天津 300072

1 引言

由于客觀世界的復雜性和人類認知能力的有限性，使得人們在進行決策時常常對信息的認知很模糊和不確定。于是Zadeh[1]提出了模糊集理論，該理論在現(xiàn)代社會的各個領(lǐng)域得到了廣泛的應用。文獻[2-3]引入了區(qū)間值模糊集、直覺模糊集、粗糙集的概念。然而，當人們做決定時，通常會猶豫和躊躇不定，這使得決策結(jié)果難以達成一致。通常情況下，為了得到更多合理的決策結(jié)果，使得決策結(jié)果更加全面，決策信息通常不是很確定一個確定的值，而是由幾個值構(gòu)成。于是Torra[4-5]把模糊集擴展成猶豫模糊集，它描述了決策時猶豫不決的情形。陳楠等[6-7]將猶豫模糊集推廣至區(qū)間的形式，給出了區(qū)間猶豫模糊集的概念。

模糊信息論是利用模糊數(shù)學這一工具來研究帶有模糊不確定性的信息，熵是模糊信息論中重要的度量方法。然而信息熵的定義具有客觀性，無法描述主觀意義上對事物的判斷差別，從而淹沒了個別事件的重要性。加權(quán)熵通過引入對事件重要性的權(quán)重來體現(xiàn)事件的重要性。Wu和Zhang[8]基于每個元素的重要性程度不同，提出了直覺模糊加權(quán)熵的概念，并將其應用于直覺模糊多屬性決策問題中。Ye[9]提出了一種基于直覺模糊交叉熵的多屬性模糊決策方法。Grzegorzewski[10]與Hung和Yang[11]依據(jù)Hausdorff測度提出了一系列的直覺模糊相似度和區(qū)間模糊相似度的公式。文獻[12]類比于直覺模糊交叉熵，引入了區(qū)間直覺模糊交叉熵的概念。文獻[13]給出了猶豫模糊熵和猶豫模糊交叉熵的概念，研究了兩者間的相互關(guān)系，并提出了兩種新的多屬性群決策方法。文獻[14]給出了區(qū)間猶豫模糊熵的公理化定義。本文首先構(gòu)建了一種新的區(qū)間猶豫模糊熵公式，并予以證明；接著，給出了區(qū)間猶豫模糊距離測度的公理性定義，同時研究了區(qū)間猶豫模糊距離測度與區(qū)間猶豫模糊熵和交叉熵間的關(guān)系，并建立了新的交叉熵公式；最后，基于區(qū)間猶豫模糊熵、交叉熵以及交叉熵貼近度，提出了一種新的多屬性決策方，并將其應用于地方高等教育發(fā)展研究的過程中。

2 基本概念

定義2.1[6-7]令 X為一給定集合，D[0，1]表示區(qū)間[0，1]上的所有閉子區(qū)間構(gòu)成的集合。集合X上的區(qū)間猶豫模糊集形式如下：

3 一種區(qū)間猶豫模糊加權(quán)熵公式的構(gòu)造

區(qū)間猶豫模糊元中的每個元素是由不同的決策者給出的，在決策過程中不同的決策者的重要性程度通常是不同的，因此在計算區(qū)間猶豫模糊元的熵時，應根據(jù)決策者的作用大小賦予其所提供的信息不同的權(quán)重wj(wj＞0)。據(jù)此，設為一個區(qū)間猶豫模糊元，構(gòu)建如下新的區(qū)間猶豫模糊加權(quán)熵公式：

證明要證明 E為區(qū)間猶豫模糊元的熵，須證E滿足定義3.1中的四個條件。為此，首先構(gòu)造二元函數(shù)如下：

下面將依據(jù)s的大小進行分情況討論：

4 區(qū)間猶豫模糊距離測度

本章將給出區(qū)間猶豫模糊距離測度的公理化條件，并探討了區(qū)間猶豫模糊距離測度分別與區(qū)間猶豫模糊熵和區(qū)間猶豫模糊交叉熵之間的關(guān)系。

5 基于區(qū)間猶豫模糊加權(quán)熵的多屬性決策方法

本章將討論在專家權(quán)重已知條件下，基于區(qū)間猶豫模糊加權(quán)熵，處理屬性權(quán)重信息完全未知的多屬性群決策問題。運用備選方案與理想方案間的區(qū)間猶豫模糊加權(quán)交叉熵以及交叉熵貼近度，提出一種新多屬性群決策方法，并且將提出的方法運用于地方高等教育發(fā)展研究過程中。

假設現(xiàn)有 m個方案 X={x1，x2，…，xm}，n個屬性U= {u1，u2，…，un}，一組專家 e={e1，e2，…，el}依據(jù)屬性集 X給出各個備選方案的偏好值。由于這組專家來自不同的領(lǐng)域，因此在進行決策時的每個專家的重要程度，假設 w=(w1，w2，…，wl)T為這組專家的已知權(quán)重向量，并且每個專家提供的決策信息是以區(qū)間猶豫模糊數(shù)的形式給出的。令H=(ij)m×n為這組專家提供的決策矩陣，其中ij為一個區(qū)間猶豫模糊元，表示專家們在屬性uj下對備選方案xi的偏好值的集合。屬性權(quán)重信息是完全未知的，假設屬性權(quán)重向量為 ω =(ω1，ω2，…，ωn)T，滿足。由于屬性權(quán)重完全未知，接下來將運用上文所構(gòu)造的加權(quán)熵和加權(quán)交叉熵公式，提出一種新的決策方法：

步驟1依據(jù)專家組提供的決策信息，構(gòu)造區(qū)間猶豫模糊決策矩陣 H=()m×n。

步驟2根據(jù)信息決策矩陣 H=()m×n及已知的專家權(quán)重向量 w=(w1，w2，…，wl)T，計算屬性權(quán)重如下：

步驟5依據(jù)交叉熵貼近度Ti(i=1，2，…，m)的大小對各備選方案 xi(i=1，2，…，m)的優(yōu)劣順序進行排列。Ti越大，對應的備選方案就越好，最終選出最優(yōu)的方案。

例 為了響應十八大提出的要努力辦好人民滿意的教育的號召，某一省份教育主管部門對其所屬的三所高校x1、x2和x3的高等教育發(fā)展綜合滿意度進行評估，將分別從以下幾個方面進行評估：u1是人才培養(yǎng)；u2是就業(yè)率；u3是對當?shù)厣鐣?jīng)濟的促進作用；u4是社會政治的穩(wěn)定，最終選擇出滿意度最高的地方高校。為了決策的民主性和權(quán)威性，當?shù)亟逃鞴懿糠制刚埩巳齻€不同領(lǐng)域的專家，從上述四個方面分別對這三所地方性高校的滿意度進行評估，三個專家的權(quán)重向量為w=(0.25，0.45，0.30)T。決策信息以區(qū)間猶豫模糊數(shù)的形式給出，整理得到區(qū)間猶豫模糊信息（表1）。接下來，基于提出的決策方法選擇滿意度最高的高校。

步驟1依據(jù)決策者所提供的決策信息用，構(gòu)建決策矩陣 H=(ij)3×4，如表 1所示。

步驟2根據(jù)信息決策矩陣 H=(～ij)3×4及三個專家的權(quán)重向量w=(0.25，0.45，0.30)T，利用公式（6）（取 s=2），計算得到屬性權(quán)重如下：

表1 區(qū)間值猶豫模糊集決策矩陣H=(ij)3×4

表1 區(qū)間值猶豫模糊集決策矩陣H=(ij)3×4

u1 u2 u3 u4 x1 x2 x3 {[0.2，0.2]，[0.3，0.4]，[0.5，0.6]} {[0.1，0.2]，[0.3，0.3]，[0.4，0.6]} {[0.2，0.3]，[0.5，0.5]，[0.6，0.6]} {[0.3，0.5]，[0.4，0.6]，[0.7，0.8]} {[0.4，0.5]，[0.4，0.6]，[0.5，0.6]} {[0.4，0.5]，[0.6，0.8]，[0.7，0.9]} {[0.4，0.5]，[0.5，0.6]，[0.6，0.7]} {[0，0.1]，[0.2，0.2]，[0.3，0.4]} {[0.5，0.6]，[0.6，0.7]，[0.6，0.8]} {[0.3，0.5]，[0.5，0.6]，[0.6，0.7]} {[0.1，0.1]，[0.2，0.2]，[0.2，0.3]} {[0，0.2]，[0.1，0.3]，[0.3，0.4]}

表2 區(qū)間值猶豫模糊集決策矩陣 H′=(′ij)3×4及正、負理想方案

表2 區(qū)間值猶豫模糊集決策矩陣 H′=(′ij)3×4及正、負理想方案

u1 u2 u3 u4 x1 x2 x3 x+ x-{[0.5，0.6]，[0.3，0.4]，[0.2，0.2]} {[0.4，0.6]，[0.3，0.3]，[0.1，0.2]} {[0.6，0.6]，[0.5，0.5]，[0.2，0.3]} {[0.6，0.6]，[0.5，0.5]，[0.2，0.3]} {[0.4，0.6]，[0.3，0.3]，[0.1，0.2]} {[0.7，0.8]，[0.4，0.6]，[0.3，0.5]} {[0.5，0.6]，[0.4，0.6]，[0.4，0.5]} {[0.7，0.9]，[0.6，0.8]，[0.4，0.5]} {[0.7，0.9]，[0.6，0.8]，[0.4，0.5]} {[0.5，0.6]，[0.4，0.6]，[0.3，0.5]} {[0.6，0.7]，[0.5，0.6]，[0.4，0.5]} {[0.3，0.4]，[0.2，0.2]，[0，0.1]} {[0.6，0.8]，[0.6，0.7]，[0.5，0.6]} {[0.6，0.8]，[0.6，0.7]，[0.5，0.6]} {[0.3，0.4]，[0.2，0.2]，[0，0.1]} {[0.6，0.7]，[0.5，0.6]，[0.3，0.5]} {[0.2，0.3]，[0.2，0.2]，[0.1，0.1]} {[0.3，0.4]，[0.1，0.3]，[0，0.2]} {[0.6，0.7]，[0.5，0.6]，[0.3，0.5]} {[0.2，0.3]，[0.1，0.2]，[0，0.1]}

步驟3運用公式（7）和（8），計算三所高校的正交叉熵C和負交叉熵C：

步驟4基于公式（9），計算三所地方性高校的交叉熵貼近度 Ti(i=1，2，3)：

步驟5由于T1＞T3＞T2，因此對應的三所高校的綜合滿意度優(yōu)劣順序為：x1?x3?x2，即高校x1的高等教育發(fā)展綜合滿意度最高，綜合表現(xiàn)最優(yōu)。

為了研究本文所提出的區(qū)間猶豫模糊多屬性群決策方法的可行性和有效性，將采用文獻[15]中的決策方法對實例進行處理，并進行對比分析?；谖墨I[15]中提出的決策方法選擇滿意度最高的高校步驟如下：

步驟1構(gòu)造區(qū)間猶豫模糊信息矩陣 H′=(～′ij)3×4，如表2所示，表2中的區(qū)間猶豫模糊元～′ij中的元素均按降序進行排列。

步驟2根據(jù)得到的決策信息矩陣，運用文獻[15]中的公式（2）和熵公式（4），計算屬性權(quán)重向量，結(jié)果如下：

步驟3構(gòu)建正、負理想方案 x+={1，2，3，4}和 x-= {γ～1，γ～2，γ～3，γ～4}，結(jié)果如表 2 所示。利用文獻[15]中的公式（1）、（5）和（6）計算三所地方性高校 xi(i=1，2，3)與正、負理想方案的區(qū)間猶豫模糊三角相似度，可得：

步驟4運用文獻[15]中的公式（7）計算三所地方性高校 xi(i=1，2，3)與理想方案的貼近度Ci(i=1，2，3)為：

步驟5由于C1＞C3＞C2，則這三所地方性高校的排序為 x1?x3?x2，最優(yōu)方案為 x3。

分析以上兩種決策過程可知，分別采用本文的決策方法和文獻[15]提出的決策方法，得到的決策結(jié)果是一致的。但是會發(fā)現(xiàn)，本文提出的決策方法過程更加簡單，計算過程更加簡潔。因此本文提出的決策方法是可行的和有效的。

6 結(jié)束語

本文首先構(gòu)造了一種新的區(qū)間猶豫模糊熵的公式，并證明其滿足熵的四個公理化定義；接著，給出了區(qū)間猶豫模糊元間距離測度的公理化定義，并研究了距離測度與熵、交叉熵之間的關(guān)系，進而構(gòu)建了區(qū)間猶豫模糊加權(quán)交叉熵公式；最后對于屬性權(quán)重信息完全未知，屬性值為區(qū)間猶豫模糊數(shù)的多屬性決策問題給出了一種新的決策方法，通過算例進行實例分析，并與其他決策方法進行對比分析，結(jié)果表明本文提出的決策方法是有效可行的，該方法有效地推廣了信息熵在區(qū)間猶豫模糊多屬性決策問題中的應用。

[1]Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and Control，1965，8：338-353.

[2]Atanassov K.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems，1986，20（1）：87-96.

[3]Turksen I B.Interval valued fuzzy sets based on normal forms[J].Fuzzy Sets and Systems，1986，20：191-210.

[4]Torra V，Narukawa Y.On the hesitant fuzzy sets and decision[C]//Proceedings of the 18th IEEE International ConferenceonFuzzySystems，JejuIsland，Korea，2009：1378-1382.

[5]Torra V.Hesitant fuzzy sets[J].International Journal of Intelligent Systems，2010，25：529-539.

[6]Chen N，Xu Z S，Xia M M.Interval-valued hesitant preference relations and their applications to group decision making[J].Knowledge-Based Systems，2013，37：528-540.

[7]Chen N，Xu Z S，Xia M M.Correlation coefficients of hesitant fuzzy sets and their applications to clustering analysis[J].Applied Mathematical Modelling，2013，37：2197-2211.

[8]Wu J Z，Zhang Q.Multicriteria decision making method based on intuitionistic fuzzy weighted entropy[J].Expert Systems with Applications，2011，38：916-922.

[9]Ye J.Multicriteria fuzzy decision-making method based on the intuitionistic fuzzy cross-entropy[C]//Proceedings of International Conference on Intelligent Human-Machine Systems and Cybernetic，2009：59-61.

[10]Grzegorzewski P.Distances between intuitionistic fuzzy sets and/or interval-valued fuzzy sets based on the Hausdorff metric[J].Fuzzy Sets and Systems，2004，148：319-328.

[11]Hung W L，Yang M S.Similarity measures of intuitionistic fuzzy sets based on Hausdorff distance[J].Pattern Recognition Letters，2004，25：1603-1611.

[12]Ye J.Fuzzy cross entropy of interval-valued intuitionistic fuzzy sets and its optimal decision-making method based on the weights of alternatives[J].Expert Systems with Applications，2011，38：6179-6183.

[13]Xu Z S，Xia M M.Hesitant fuzzy entropy and crossentropy and their use in multiattribute decision making[J]. International Journal of Intelligent Systems，2012，27：799-822.

[14]李香英.區(qū)間猶豫模糊熵和區(qū)間猶豫模糊相似度[J].計算機工程與應用，2014，50（19）：227-231.

[15]金飛飛，裴利丹，陳華友，等.區(qū)間猶豫模糊三角相似度及其多屬性群決策[EB/OL].（2013-06-26）.http://www.cnki. net/kcms/detail/11.2127.TP.20130626.1539.011.html.

HU Guanzhong,ZHOU Zhigang

College of Management and Economics,Tianjin University,Tianjin 300072,China

The new interval-valued hesitant fuzzy entropy and cross-entropy are constructed,and it develops a new approach for interval-valued hesitant fuzzy multi-attribute group decision-making problems,which is applied to the local higher education development research.The paper constructs a new interval-valued hesitant fuzzy entropy formula,and proves that it satisfies axiomatic requirements of interval-valued hesitant entropy.The axiomatic definition of distance measures between interval-valued hesitant fuzzy elements is proposed,and the relationships among the interval-valued hesitant fuzzy distance measures,interval-valued hesitant fuzzy entropy and interval-valued hesitant fuzzy cross-entropy are studied,and then it develops a new interval-valued hesitant fuzzy cross-entropy formula.Based on interval-valued hesitant fuzzy entropy, cross-entropy and cross-entropy relative closeness,a new method for multi-attribute group decision making problems is proposed under interval-valued hesitant fuzzy environment,which applies it to the local higher education development research to demonstrate its practicality and effectiveness.

interval-valued hesitant fuzzy element;weighted entropy;distance measure;weighted cross-entropy;multiattribute group decision making

構(gòu)造了新的區(qū)間猶豫模糊熵、交叉熵公式，提出了一種新的區(qū)間猶豫模糊多屬性群決策方法，并將其應用于地方高等教育發(fā)展研究的過程中。構(gòu)建了一種新的區(qū)間猶豫模糊熵公式，并證明其滿足區(qū)間猶豫模糊熵的公理化條件；給出了區(qū)間猶豫模糊距離測度的公理性定義，研究了區(qū)間猶豫模糊距離測度和區(qū)間猶豫模糊熵、交叉熵的關(guān)系，并構(gòu)建了區(qū)間猶豫模糊加權(quán)交叉熵公式。在區(qū)間猶豫模糊環(huán)境下，基于區(qū)間猶豫模糊熵、交叉熵以及交叉熵貼近度，提出了一種新的屬性權(quán)重未知的多屬性決策方法，并將其應用于對地方高等教育發(fā)展研究的過程中，驗證該方法的可行性和有效性。

區(qū)間猶豫模糊元；加權(quán)熵；距離測度；加權(quán)交叉熵；多屬性群決策

A

O22

10.3778/j.issn.1002-8331.1406-0328

HU Guanzhong,ZHOU Zhigang.Interval-valued hesitant fuzzy entropy and its application to local higher education development research.Computer Engineering and Applications,2014,50（23）：26-30.

教育部科學研究重大課題攻關(guān)項目（No.11JZD038）。

胡冠中（1985—），通訊作者，博士研究生，研究方向：管理科學、區(qū)域經(jīng)濟；周志剛（1950—），博士，教授，博士生導師，研究方向：管理科學、人力資源開發(fā)與管理。E-mail：shexian19880129@163.com

2014-06-23

2014-08-20

1002-8331（2014）23-0026-05

CNKI網(wǎng)絡優(yōu)先出版：2014-08-19,http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1406-0328.html