趙振宇， 周劉兵

(深圳信息職業(yè)技術學院， 廣東 深圳 518172)

基于鍵合圖的模態(tài)分析與應用研究*

趙振宇， 周劉兵

(深圳信息職業(yè)技術學院， 廣東 深圳 518172)

傳統(tǒng)的模態(tài)分析方法采用牛頓定律建立運動方程，分析質量矩陣[M]和剛度矩陣[K]，求解系統(tǒng)的固有頻率和振型的過程十分復雜、繁瑣。將鍵合圖理論與方法運用于系統(tǒng)的模態(tài)分析，通過建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，可以得到系統(tǒng)的模態(tài)。該方法能簡便、正確計算系統(tǒng)的模態(tài)，獲得完整的數(shù)據(jù)。文中提供的算例進一步證明了該方法的正確性和有效性。

鍵合圖;模態(tài);振型

0 引 言

在機械振動中，多自由度系統(tǒng)的振動方程式通常采用兩種方法建立[1]:①用動力學的基本定律或定理直接對系統(tǒng)中的物體建立各自的運動方程式，綜合這些運動方程式就是系統(tǒng)運動方程式；②分析力學的方法，該方法主要用于一些多自由度的系統(tǒng)，合理地選取系統(tǒng)的廣義坐標，得到動能和勢能用廣義坐標表示的表達式，再利用計算虛功的方法求得廣義力，得到運動微分方程式。與動力學方法相比，該方法采用了拉格朗日方程，建立的運動方程式較規(guī)格化[2]。

鍵合圖理論與其它動力學方法相比, 有以下顯著特點[3]:①用統(tǒng)一的方式處理多能域并存的系統(tǒng)；②以簡明的圖形方式直觀地揭示系統(tǒng)的動力學特征，將研究多種能量范疇系統(tǒng)的動態(tài)特性方法統(tǒng)一起來，并在鍵合圖模型中充分反映系統(tǒng)內部的信息流向、功率流向和元件間的負載效應；③鍵合圖用狀態(tài)方程作為系統(tǒng)的模型，從鍵合圖形成到狀態(tài)方程的列出一般按一定程序進行，因此十分便于完全計算機化，從建立模型到數(shù)值計算、系統(tǒng)分析都可由計算機自動完成；④鍵合圖方法建立的模型便于修改和完善，且修改簡單，工作量小。因此，鍵合圖已成為系統(tǒng)動態(tài)分析的有力工具。

由文獻[4]可知工程系統(tǒng)和物理系統(tǒng)中以相互作用的子系統(tǒng)(或元件、結構)必然傳遞功率作為產生鍵合圖的原始依據(jù)，也是用鍵合圖描述系統(tǒng)的唯一依據(jù)。系統(tǒng)和子系統(tǒng)，子系統(tǒng)和元件之間相互連接的地方有功率流動作為通口，用帶半個箭頭通口線表示通口，每個鍵均對應有兩個變量即勢變量e和流變量f，這一對變量標量積就是該元件的流動瞬時功率。為了方便研究，在鍵合圖中把各類變量中的力、轉矩、壓力、電壓用一個共同的符號e(t)表示，稱為勢，記其于水平線的上方或垂直線的左方。同理，把各類功率變量中的速度、角速度、體積流量和電流用另一個共同的符號f(t)表示，稱為流，記其于水平線的下方或垂直線的右方。表1列出了幾種功率變量范疇中的勢變量和流變量。

每晚十點，當我聽人讀詩，并和這些并未謀面卻情趣相投的人一起讀詩的時候，內心的壓力、心中的煩悶漸漸轉變成工作和生活的動力。

表1 幾種能量交換范疇中的勢變量和流變量

筆者將鍵圖理論和方法應用于機械系統(tǒng)模態(tài)分析，為機械振動模態(tài)分析提供了一種新的工具，提出的策略能解決多自由度系統(tǒng)的振動問題，通過算例詳細分析了該方法的正確性。

據(jù)住房城鄉(xiāng)建設部標準定額司司長蘇蘊山介紹，本次發(fā)布的10項標準涵蓋促進城市綠色發(fā)展、保障城市安全運行、建設和諧宜居城市三個方面，包括《海綿城市建設評價標準》《綠色建筑評價標準》《裝配式混凝土建筑技術標準》《裝配式鋼結構建筑技術標準》《裝配式木結構建筑技術標準》《城市綜合防災規(guī)劃標準》《城市排水工程規(guī)劃規(guī)范》《城鎮(zhèn)內澇防治技術規(guī)范》《城市居住區(qū)規(guī)劃設計標準》《城市綜合交通體系規(guī)劃標準》。

1 基于鍵合圖在模態(tài)分析上的理論推導

由式(1)可得系統(tǒng)的特征值和特征向量為：

圖1 系統(tǒng)的鍵合圖結構

設Xi= [p1p2…pnq1q2…qm]T,Xd= [PD1PD2…PDn1qD1qD2…qDm1]T, 源場對系統(tǒng)的輸入U= [Se1Se2…SesSf1Sf2…Sfr]T。由文獻[4]知Xd為非獨立能量變量向量,Xi為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。若圖1中儲能元件全部取積分因果關系(無因果矛盾)，按一定的規(guī)則，由鍵合圖1可寫出線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

(1)

式中：

系統(tǒng)可根據(jù)構成它的基本元件作用劃分為不同形式能量場, 如圖1所示。其中獨立貯能場是由具有積分因果關系[5]的慣性頑抗件I和容性元件C所組成，非獨立貯能場是由具有微分因果關系的I元件及C元件所組成，耗散場是由阻性元件R組成，源場是指外界對系統(tǒng)的輸入。

這是富商之家，在胡人包圍桂州前，富商就見過梨友，獻上金銀珠寶，還把城中哪些人家有錢、哪些人家在朝中當官，都詳盡地寫在單子上，交給了梨友。梨友看他忠誠，許破城之日，讓他做桂州縣令。

(2)

Aψi=λiψi， (A-λi)ψi=0

一般地，由[A]陣可得n個特征值，將它們分別代入式(2)得n個特征向量，可分別記為：

(3)

顯然由式(2)可得到一對偶模態(tài)動量模態(tài)Φp, 變位模態(tài)Φq及各同形模態(tài)，即得到系統(tǒng)的位移模態(tài)Φu、速度模態(tài)Φv(速度模態(tài)是位移模態(tài)的同型模態(tài))和應變(力、應力)模態(tài)Φε(ΦF、Φσ)。這些同型模態(tài)是按照系統(tǒng)本身的物理意義進行推導而來的。

(4)

ψui=diag[(IjSi)-1]ψpi

(5)

式中：i=1,2,…n，j=1,2,…m，Si為Laplace算子。

與狀態(tài)變量q對應的模態(tài)Φq是變形模態(tài)。對于簡單一維振動情況(軸的縱向振動或扭轉振動等)，同理，由容性元件的構成規(guī)律，變形模態(tài)也易轉化為力模態(tài)ΦF、應變模態(tài)Φε和應力模態(tài)Φσ，即：

可得：

(6)

(7)

(8)

式中：

由式(2)得到的特征值和特征向量都是共軛的，存在共軛特征值和共軛特征向量，因此，式(2)可進一步改寫為：

北極地區(qū)自然資源豐富，據(jù)HIS Energy 公司公布的調查數(shù)據(jù)，現(xiàn)已發(fā)現(xiàn)的北極油氣儲量約占世界已探明原油儲量的25%。[7]隨著全球氣溫升高，北極地區(qū)將轉變?yōu)槿蜃罹邇r值的自然資源開采區(qū)，油氣開發(fā)迎來一個井噴期。

(9)

由式(9)可得：

Apψqi=λiψpi，Aqψpi=λiψqi

(10)

同理式(2)可改寫為：

(11)

可得：

(12)

式(2)可進一步改寫為：

(13)

隱性分層教學，“暗中”把相當水平的、某些方面相類似的學生歸結為一個個“層次”并分配在不同的組內。[1]根據(jù)學生的層次，對教學目標、教學內容、教學活動、教學策略、課后作業(yè)以及考核評價等進行分層，因材施教，優(yōu)差學生互助，培養(yǎng)每個層次學生的學習主動性、積極性和興趣，使每個層次學生的英語水平都得到提升。隱性分層的最大優(yōu)點是其對學生分層上的“隱蔽性”，更好地保護了學生的自尊心，充分調動學生的積極性、主動性，使不同層次的學生在英語學習上都獲得最佳效果。

(14)

(15)

顯然由式(2)可得到一對偶模態(tài)動量模態(tài)Φp, 變位模態(tài)Φq及各同形模態(tài)，即得到系統(tǒng)的位移模態(tài)Φu、速度模態(tài)Φv和應變(力、應力)模態(tài)Φε(ΦF、Φσ)。與狀態(tài)變量q對應的模態(tài)Φq是變形模態(tài)，同理，由容性元件的構成規(guī)律，變形模態(tài)也易轉化為力模態(tài)ΦF、應變模態(tài)Φε和應力模態(tài)Φσ。因此，鍵合圖理論可用于多能量領域。

2 算例分析

圖2表示一個彈簧質量系統(tǒng)，k1=3k，k2=2k，k3=k，m1= 2m，m2= 1.5m，m3=m，求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。

圖2 多自由度系統(tǒng)

其鍵合圖模型如圖3所示。

圖3 鍵合圖模型

根據(jù)牛頓定律可得:

式中：lj為離散軸各段長度；i=1,2,…n，j=1,2,…m，π依具體情況而定。

求解其固有頻率為：

對應于三個固有頻率的主振型列陣為：

情況 3 v7,v8全染顏色1,v2,v6染1,v4只能染2,則可繼續(xù)用上述方法將窮點v3改染為1, 并用3來染v。

正則振型矩陣為：

利用鍵合圖理論，可得出圖2所示系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為:

海歸新生代學成歸來后，為了融入中國土壤，要先了解什么是中國的親緣與地緣文化，為什么親緣與地緣在中國這么受重視。中國情境下，做事只注重目的性是行不通的，需要有一份醉翁之意不在酒的釋然。詳見圖2-1。

將v=p/m代入上式，可求得v1,v2,v3,q4,q5,q6。運用自編的Matlab程序，得出多自由度系統(tǒng)的固有頻率和振型，其計算結果如表2所列。

表2 固有頻率和振型

采用牛頓定律和利用鍵合圖理論進行模態(tài)分析，兩種方法求得的三階振型對比情況如圖4所示。

對應三階振型數(shù)值的比較為：

可以綜合反映出住院費用各構成部分在一定時期內的綜合變化情況，其值在0～100%波動，波動值越大，說明在比較期間內相關明細項目的結構變動程度越大。

2.2.3 精密度試驗 精密吸取對照品溶液10 uL，連續(xù)進樣6次，記錄峰面積。結果，峰面積平均值為8 807 154.8，RSD值為0.62%，結果表明儀器精密度良好。

通過上面的圖例比較或用對應的數(shù)值相比，利用牛頓定律和鍵合圖方法得到系統(tǒng)的固有頻率和振型是一致的，可得到相同的結果，前者方法計算中要分別計算質量矩陣[M]和剛度矩陣[K]，按照二階導數(shù)求解，過程復雜，而后者只要根據(jù)系統(tǒng)，建立鍵合圖模型，直接寫出系統(tǒng)的狀體空間方程，過程求解顯得更為簡單，但這只是利用鍵合圖方法優(yōu)勢的其中一個方面。實際上，使用鍵合圖進行模態(tài)分析，能將變位模態(tài)Φq經過式(6)～(8)轉變，進一步得到力模態(tài)ΦF、應變模態(tài)Φε和應力模態(tài)Φσ；還能將動量模態(tài)Φp通過式(4)、(5)可得到位移模態(tài)Φu、速度模態(tài)Φv。此外，根據(jù)勢變量和流變量的關系，鍵合圖模型還能廣泛應用于復雜機電系統(tǒng)中的機、電、磁、液等系統(tǒng)中。

圖4 三階振型比較

根據(jù)前面的計算，應用牛頓定律時則要求解一元高次方程和方根，且速度模態(tài)Φv和應變模態(tài)Φε各有

3.1.1 增設醫(yī)院班車。醫(yī)院首先要鼓勵內部的職工盡量乘坐公共交通工具上班，或者醫(yī)院使用固定班車來接送醫(yī)務人員上下班，班車應當覆蓋大部分職工的出行線路，減少進出醫(yī)院的固定交通流，節(jié)約停車場的停車位等交通資源。

一套公式，過程較復雜，沒有鍵合圖理論運用于系統(tǒng)的模態(tài)分析方便。充分說明了運用鍵合圖理論進行模態(tài)分析的優(yōu)點。

11月3日10版《林黛玉家到底有多少財產》，其最后“(作者為華師大中文系教授”，用“(作者為華東師大……)”為妥；我國還有華中師大、華南師大等。

3 結 論

利用鍵合圖理論和方法，建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，可簡化物理系統(tǒng)建模和自動化仿真，通過求解矩陣的特征值和特征向量，可快速得到系統(tǒng)的模態(tài)。算例分析說明了該方法的正確性，因此，借助鍵合圖，模態(tài)分析理論和方法可推廣到復雜機、電、液系統(tǒng)的多能量域中。

[1] 倪振華.振動力學[M].西安:西安交通大學出版社,1989.

[2] 薛曉鵬，樊久銘.基于拉格朗日鍵合圖梁-多自由度耦合系統(tǒng)模態(tài)分析[J].應用力學學報,2010, 27(2):239-242.

[3] 王中雙,高永革.基于鍵合圖理論的系統(tǒng)狀態(tài)方程的轉化方法[J].機械科學與技術,1999,18(1):54-56.

[4] 卡諾譜D C, 羅森堡R C, 張志偉.系統(tǒng)動力學—— 應用鍵合圖方法[M].北京: 機械工業(yè)出版社,1985.

[5] 王艾倫, 趙振宇.基于鍵合圖方法的自由界面模態(tài)綜合法及其應用[J].振動、測試與診斷, 2004,24(2):87-91.

Research on Modal Analysis and Application Based on Bond Graph

ZHAO Zhen-yu， ZHOU Liu-bing

(ShenzhenInstituteofInformationTechnology,Shenzhen,Guangdong518029,Chian)

The traditional modal analysis method is to use Newton′s laws to build motion equation and analyze mass matrix[M] and stiffness matrix[K], solving natural frequencies and mode shapes of systems is very complicated and cumbersome. The bond graph theory and modal analysis method are used in the paper. Through the establishment of the system of state-space equation, the systemic modal could be got. The method is simple and can correctly calculate modal system, access to complete data. The example is provided in the paper and further could prove the correctness and validity of the proposed method.

bond graphs; modal; vibration mode

2014-04-13

廣東省自然科學基金項目(編號: S2012010010742)和深圳市科技計劃項目(編號: JCYJ20130401095559824)

趙振宇(1974-)，男，江西高安人，博士，副教授，主要從事復雜機電系統(tǒng)的動力學建模與仿真、CAD/CAM/CAE研究方面的工作。

TH113.1

A

1007-4414(2014)03-0007-04