劉繼承 董青松 張 琳

(東北石油大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，黑龍江 大慶 163318)

近年來(lái)隨著電力系統(tǒng)飛速發(fā)展，系統(tǒng)中的諧波對(duì)電力系統(tǒng)環(huán)境造成的破壞也越來(lái)越嚴(yán)重，不但影響了整個(gè)電力系統(tǒng)的電氣環(huán)境，而且對(duì)系統(tǒng)本身和廣大用戶也造成了不小影響，所以對(duì)諧波的治理具有明顯的社會(huì)和經(jīng)濟(jì)效益[1～3]。傳統(tǒng)的諧波檢測(cè)方法有快速傅里葉變換(FFT)和短時(shí)傅里葉變換(STFT)，F(xiàn)FT算法能精確地檢測(cè)整數(shù)次諧波，但不能檢測(cè)非整數(shù)次諧波，而且伴有頻譜泄漏和柵欄現(xiàn)象；STFT算法通過(guò)窗函數(shù)有效降低了頻譜泄漏次數(shù)，但是由于窗函數(shù)的不變性，無(wú)法自適應(yīng)調(diào)整，分辨率很低。

為了克服FFT和STFT的局限性，引入了小波變換。Mallat S將塔式算法思想應(yīng)用到小波分析中，使小波變換有了突破性的發(fā)展。在正交小波基構(gòu)造的基礎(chǔ)上，將信號(hào)分解為不同頻道，再將分解后的信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，由此提出了快速算法——Mallat算法[4，5]。但是在Mallat算法中產(chǎn)生的頻率混疊現(xiàn)象對(duì)諧波檢測(cè)的精度有很大的影響，筆者采用一種改進(jìn)的單子帶重構(gòu)快速算法，降低了小波分解與重構(gòu)過(guò)程中產(chǎn)生的頻率混疊。

1 多分辨分析與小波Mallat 算法①

多分辨分析理論的提出為小波正交基構(gòu)造提供了一種簡(jiǎn)便的方法，也為正交基小波快速算法奠定了理論基礎(chǔ)。多分辨分析是指空間L2(R)內(nèi)一系列子空間序列{Vj}j∈Z稱為L(zhǎng)2(R)的一個(gè)多分辨分析，并滿足如下條件[6]:

a. 單調(diào)性，…?Vj-1?Vj?Vj+1?…，?j∈Z；

c. 平移不變性，f(x)∈V0?f(x-k)∈V0,?k∈Z；

d. 伸縮性，f(x)∈Vj?f(2x)∈Vj+1,?j∈Z；

e. Riesz基存在性，存在g∈V0，使得{g(x-k)|k∈Z}構(gòu)成V0的Riesz基。

設(shè)Wj是Vj和Vj+1內(nèi)的正交補(bǔ)空間，則滿足關(guān)系式：Vj+1=Vj⊕Wj，(j∈Z)，其中⊕表示子空間之和。由此多分辨分析的子空間Vj可以用有限個(gè)子空間來(lái)逼近，即有：

Vj=Wj-1⊕Vj-1=Wj-1⊕Vj-1⊕Vj-2=…

=Wj-1⊕Wj-2⊕…W0⊕V0

(1)

若令fi∈Vj表示分辨率為2j的函數(shù)逼近，dj∈Wj表示逼近的誤差，則式(1)等價(jià)為：

fj=fj-1+dj-1=fj-2+dj-2+dj-1=…=f0+d0+d1+

…+dj-2+dj-1

(2)

設(shè)f=fj，則式(2)可表示為：

(3)

由式(3)可知，在空間L2(R)中函數(shù)f可以根據(jù)分辨率20時(shí)f的低頻部分和分辨率2i(i∈[0，j-1])時(shí)的f高頻部分完全重構(gòu)，這就是著名的Mallat塔式重構(gòu)算法的思想。設(shè)Ajf為f∈L2(R)在分辨率2j下的近似，則Ajf可以進(jìn)一步分解為f在分辨率2j-1下的近似Aj-1f(由低通濾波器H得到)，與位于分辨率2j-1與2j之間的細(xì)節(jié)Dj-1f(通過(guò)高通濾波器G得到)之和，Mallat塔式重構(gòu)算法分解過(guò)程如圖1所示。

圖1 Mallat塔式重構(gòu)算法分解過(guò)程示意圖

重構(gòu)過(guò)程是分解過(guò)程的逆過(guò)程，重構(gòu)過(guò)程如圖2所示。

圖2 Mallat塔式重構(gòu)算法重構(gòu)示意圖

Mallat算法是由分解濾波器H、G和重構(gòu)濾波器h、g構(gòu)成。H、h為低通濾波器，與尺度函數(shù)相對(duì)應(yīng)；G、g是帶通濾波器，與小波函數(shù)相對(duì)應(yīng)。Mallat算法即是將信號(hào)的頻帶二進(jìn)劃分成一系列子帶的過(guò)程，各子帶的頻帶范圍與信號(hào)的采樣頻率有關(guān)。Mallat分解算法所得到的只是小波系數(shù)，將所得到的小波系數(shù)再重構(gòu)出原始信號(hào)。由于濾波器的非理想截止特性，而且在各尺度的高頻子帶隔點(diǎn)采樣時(shí)不滿足采樣定理，在小波系數(shù)作傅里葉變換后的頻譜中，會(huì)有一些多余的頻率分量。在實(shí)際操作中，理想的濾波器是不存在的，在運(yùn)用Mallat算法時(shí)，在分解過(guò)程中會(huì)用到隔點(diǎn)采樣，在重構(gòu)過(guò)程中，會(huì)用到隔點(diǎn)插零，如果是理想濾波器的情況下，兩次的頻率折疊恰巧能夠相互抵消，但在處理一些龐大的復(fù)雜信號(hào)時(shí)，這種缺陷就不可忽視，將會(huì)嚴(yán)重影響重構(gòu)后信號(hào)的效果，這樣對(duì)諧波檢測(cè)分析有很大的影響。

2 單子帶重構(gòu)算法

單子帶重構(gòu)算法可以改善Mallat算法中的頻率混疊問(wèn)題。單子帶重構(gòu)算法的分解過(guò)程和Mallat算法中的分解部分是一樣的，即得到各尺度上的小波系數(shù)；在重構(gòu)過(guò)程中單子帶重構(gòu)算法將得到的小波系數(shù)分別重構(gòu)至與原信號(hào)相同尺度。

運(yùn)用單子帶重構(gòu)算法分析一個(gè)實(shí)例，并對(duì)實(shí)例進(jìn)行仿真測(cè)試。設(shè)實(shí)例信號(hào)s為：

s(t)=sin(40πt)+sin(80πt)+sin(120πt)+

sin(160πt)+sin(200πt)+e-6tsin(240πt)

(4)

如圖3所示為實(shí)例信號(hào)波形，圖4所示為其頻譜。以400Hz作為采樣頻率取實(shí)例信號(hào)2 048個(gè)點(diǎn)，選用sym5小波，對(duì)實(shí)例信號(hào)進(jìn)行三層尺度分解并重構(gòu)，結(jié)果如圖5所示(a表示低頻，d表示高頻)。

圖4 實(shí)例信號(hào)的頻譜

圖5 單子帶重構(gòu)算法對(duì)實(shí)例信號(hào)s的小波分析

從圖4中可以看出，實(shí)例信號(hào)由20、40、60、80、100Hz和瞬時(shí)頻率120Hz組成。理論上對(duì)實(shí)例信號(hào)進(jìn)行小波變換的結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 實(shí)例信號(hào)s小波變換理論結(jié)果 Hz

從圖5中可以看出，在對(duì)實(shí)例信號(hào)第一層分解中低頻部分a1含有20、40、60、80、100Hz頻率成分，分解效果較好，但在高頻部分d1中含有80、120Hz頻率成分，多出了80Hz的頻率成分；在第二層低頻部分a2中含有20、40、60Hz的頻率成分，在高頻部分d2中含有40、60、80、100、120Hz的頻率成分，多出了40Hz、60Hz的頻率成分；在第三層低頻部分a3中含有20Hz頻率成分，高頻部分d3中也含有20Hz頻率成分。從以上的分析可以看出單子帶重構(gòu)算法在處理信號(hào)分頻時(shí)產(chǎn)生了嚴(yán)重的頻率混疊現(xiàn)象。

單子帶重構(gòu)算法總體上看相當(dāng)于濾波，它是將信號(hào)分解到一系列二進(jìn)制劃分的頻帶上的過(guò)程[7]。在分解與重構(gòu)中，隔點(diǎn)采樣中的頻率混疊在隔點(diǎn)插零中得到糾正。得到的子信號(hào)與原信號(hào)有相同的采樣頻率。單子帶重構(gòu)算法相對(duì)于Mallat算法在對(duì)諧波信號(hào)處理中對(duì)信號(hào)的重構(gòu)效果有很大的提高，由于小波濾波器的非理想截止性使得頻率混疊現(xiàn)象不能避免。因此，單子帶重構(gòu)算法還需要進(jìn)一步的改進(jìn)。

3 改進(jìn)的單子帶重構(gòu)快速算法

在單子帶重構(gòu)算法中產(chǎn)生頻率混疊的原因是小波濾波器的非理想截止性和在各尺度高頻子帶隔點(diǎn)采樣不滿足抽樣定理。設(shè)想如果去掉多余的頻率成分，在重構(gòu)算法中就可以避免頻率混疊。由此引入一種方法，利用快速傅里葉變換和快速傅里葉逆變換去掉各子帶上多余的頻率部分，稱這個(gè)方法為改進(jìn)的單子帶重構(gòu)快速算法。算法如圖6所示。

圖6 改進(jìn)的單子帶重構(gòu)快速算法

(5)

(6)

(7)

4 改進(jìn)的單子帶重構(gòu)快速算法的實(shí)例驗(yàn)證

仍然采用式(4)所示的實(shí)例，并對(duì)其運(yùn)用單子帶重構(gòu)快速算法處理，并進(jìn)行仿真測(cè)試，進(jìn)而驗(yàn)證改進(jìn)的單子帶重構(gòu)快速算法在消除頻率混疊時(shí)的效果。以400Hz作為采樣頻率取實(shí)例信號(hào)2 048個(gè)點(diǎn)，選取N為4時(shí)的Daubechies小波，對(duì)實(shí)例信號(hào)運(yùn)用改進(jìn)的單子帶重構(gòu)快速算法處理后的頻譜如圖7所示。

在圖7中，對(duì)實(shí)例信號(hào)的第一階尺度重構(gòu)信號(hào)中，低頻部分a1中含有20、40、60、80、100Hz的頻率成分，在高頻部分d1中含有100Hz和120Hz的頻率成分；在第二階尺度重構(gòu)信號(hào)中，低頻部分a2中含有20、40Hz的頻率成分，在高頻部分d2中含有60Hz和80Hz的頻率成分；在第三階尺度重構(gòu)信號(hào)中，低頻部分a3中幾乎就是20Hz的正弦信號(hào)，高頻部分也只是40Hz的正弦信號(hào)。對(duì)實(shí)例信號(hào)的三階重構(gòu)頻譜圖的分析結(jié)果與表1的理論值幾乎相吻合，由此可以證明改進(jìn)的單子帶重構(gòu)快速算法去除了單子帶重構(gòu)算法中的頻率混疊現(xiàn)象。

圖7 改進(jìn)的單子帶重構(gòu)快速算法的小波分析

5 運(yùn)用單子帶重構(gòu)快速算法對(duì)諧波信號(hào)的處理

筆者取一段具有一定周期性的諧波信號(hào)，取采樣頻率為2 000Hz。圖8所示為諧波信號(hào)的時(shí)間波形及其頻譜圖。

圖8 諧波信號(hào)的時(shí)間波形及其頻譜

選取具有緊支集的正交小波Daubechies5對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行三層小波分解[8]。首先用單子帶重構(gòu)算法對(duì)諧波信號(hào)進(jìn)行處理(圖9)，然后用改進(jìn)的單子帶重構(gòu)快速算法對(duì)其進(jìn)行處理(圖10)。

圖9 單子帶重構(gòu)算法處理的諧波信號(hào)

圖10 改進(jìn)的單子帶重構(gòu)算法處理的諧波信號(hào)

圖9、10是對(duì)諧波信號(hào)三階分解后的高頻部分，其中圖9是用單子帶重構(gòu)算法處理的，從圖9中可以看出周期性的諧波信號(hào)仍存在頻率混疊現(xiàn)象，在d1、d2中可以明顯地看出有沖擊頻率成分。圖10為運(yùn)用了改進(jìn)的單子帶重構(gòu)算法的高頻部分，圖中d1、d2已經(jīng)基本上可以看出周期性的諧波信號(hào)，沖擊頻率成分也有很大的改善。由此可以看出改進(jìn)的單子帶重構(gòu)快速算法已經(jīng)有效地消除了處理諧波信號(hào)中頻率混疊的現(xiàn)象，該算法可以高效并精準(zhǔn)地重構(gòu)出諧波信號(hào)，達(dá)到檢測(cè)諧波信號(hào)的目的，為消減電力系統(tǒng)中的諧波信號(hào)提供了有利條件。

6 結(jié)束語(yǔ)

筆者通過(guò)改進(jìn)的單子帶重構(gòu)快速算法，有效地消除了信號(hào)分解與重構(gòu)過(guò)程中的頻率混疊現(xiàn)象。將改進(jìn)的單子帶重構(gòu)快速算法應(yīng)用于對(duì)電力系統(tǒng)的諧波檢測(cè)中，不但有效地抑制了分解和重構(gòu)過(guò)程中頻率混疊的問(wèn)題，而且減小了在重構(gòu)過(guò)程中產(chǎn)生的誤差，處理后的結(jié)果可以分辨出諧波信號(hào)。該方法在對(duì)電力系統(tǒng)中的諧波檢測(cè)上將會(huì)有很廣闊的應(yīng)用。