張 誠(chéng) 佃松宜

(1.四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 德陽(yáng) 618000；2.四川大學(xué)，成都 610065)

20世紀(jì)70年代中期，動(dòng)態(tài)矩陣控制(Dynamic Matrix Control，DMC)就應(yīng)用在美國(guó)殼牌石油公司的生產(chǎn)裝置上[1,2]。1979年，Cutler C R和Ramaker B L在美國(guó)化工年會(huì)上首次介紹了這一算法[3]。幾十年來(lái)，動(dòng)態(tài)矩陣控制在參數(shù)優(yōu)化、多變量系統(tǒng)和與智能控制相結(jié)合方面有很大的發(fā)展[4,5]。目前，動(dòng)態(tài)矩陣控制在工業(yè)控制領(lǐng)域中獲得了大量成功的應(yīng)用[6,7]。由于動(dòng)態(tài)矩陣控制算法是基于線性對(duì)象的有限階躍響應(yīng)的非參數(shù)模型，所以它只適用于漸近穩(wěn)定的線性對(duì)象，不能直接用于不穩(wěn)定的被控對(duì)象。對(duì)于不穩(wěn)定對(duì)象的動(dòng)態(tài)矩陣控制研究，席裕庚提出將傳統(tǒng)PID控制與動(dòng)態(tài)矩陣控制相結(jié)合的控制策略[1]；孫欣等提出將動(dòng)態(tài)矩陣控制與狀態(tài)反饋結(jié)合起來(lái)的控制策略[8]。針對(duì)這一問(wèn)題，筆者基于傳遞函數(shù)互質(zhì)分解的現(xiàn)代頻域法，提出一種新的改進(jìn)動(dòng)態(tài)矩陣控制策略。

1 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)①

筆者提出的改進(jìn)動(dòng)態(tài)矩陣控制的結(jié)構(gòu)如圖1所示。采用現(xiàn)代頻域法中的互質(zhì)分解法設(shè)計(jì)內(nèi)環(huán)控制器D[9]，得到穩(wěn)定的廣義對(duì)象，然后再針對(duì)廣義對(duì)象進(jìn)行動(dòng)態(tài)矩陣控制設(shè)計(jì)。這樣做的好處是不僅可以得到保證內(nèi)環(huán)穩(wěn)定的所有控制器D，而且還可以利用頻域優(yōu)化理論來(lái)優(yōu)化內(nèi)環(huán)控制器，使內(nèi)環(huán)的抗擾性和魯棒性達(dá)到最優(yōu)。也就是說(shuō)，如果能夠最大限度地改善內(nèi)環(huán)的抗擾性，并將內(nèi)環(huán)對(duì)受控對(duì)象模型失配的敏感度降到最低，就間接地改善了整個(gè)DMC系統(tǒng)的抗擾性和魯棒性。利用內(nèi)環(huán)控制器可調(diào)節(jié)系統(tǒng)的抗擾性和魯棒性，并通過(guò)H2理論優(yōu)化系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能[10]。

圖1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

1.1 內(nèi)環(huán)控制器D的設(shè)計(jì)

采用現(xiàn)代頻域法的互質(zhì)分解法來(lái)對(duì)控制器D進(jìn)行設(shè)計(jì)[11]。將對(duì)象P分解為：

(1)

輸入r分解為：

(2)

擾動(dòng)d分解為：

(3)

其中nP、dP、d1、dd1、dr1、αr、αd∈H∞，dr1、dd1為單模函數(shù)，αr、αd的零點(diǎn)全在不穩(wěn)定域，設(shè)αc為αr和αd的最小公倍式，則可以得到所有保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定和穩(wěn)態(tài)無(wú)差的控制器D：

(4)

其中q為自由參數(shù)；xP、yP滿足Bezout等式nPxP+αcdPyP=1。

當(dāng)系統(tǒng)沒(méi)有模型失配時(shí)，將干擾d到輸出y的傳遞函數(shù)定義為敏感性函數(shù)，代表干擾對(duì)輸出的影響。當(dāng)系統(tǒng)存在模型失配時(shí)，敏感性函數(shù)同時(shí)也是閉環(huán)傳遞函數(shù)的相對(duì)誤差與對(duì)象模型的相對(duì)誤差之比，反映模型失配對(duì)系統(tǒng)的影響。因此控制系統(tǒng)的敏感性函數(shù)為：

(5)

采用H2優(yōu)化方法來(lái)優(yōu)化敏感性函數(shù)，使擾動(dòng)和模型給系統(tǒng)帶來(lái)的影響最小。

當(dāng)擾動(dòng)未知時(shí)，取性能指標(biāo)為J=‖W1S‖2，其中W1為加權(quán)函數(shù)，W1∈H2，反映擾動(dòng)d或?qū)ο竽Ｐ褪涞念l譜。當(dāng)擾動(dòng)已知時(shí)，可取性能指標(biāo)為J=‖Sd‖2。因?yàn)镈是基于互質(zhì)分解方法設(shè)計(jì)的，將式(4)代入式(5)得：

S=αc(yp-qnp)dp

(6)

求出使J最小的q就可以得到抗擾性能和魯棒性能最優(yōu)的控制器D。

1.2 動(dòng)態(tài)矩陣控制算法

動(dòng)態(tài)矩陣控制是一種基于模型預(yù)測(cè)、滾動(dòng)優(yōu)化和反饋校正的控制算法[1]，通過(guò)以下3個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)：

a. 得到穩(wěn)定的廣義對(duì)象后，對(duì)該對(duì)象進(jìn)行單位階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)，適當(dāng)截?cái)嚯A躍響應(yīng)曲線得到階躍響應(yīng)采樣序列a=[a1,a2,…,aN]T，得到未來(lái)P個(gè)時(shí)刻的輸出預(yù)測(cè)值yM(k)=y0(k)+A×ΔuM(k)，其中A是系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)系數(shù)陣；

b. 利用實(shí)際輸出和預(yù)測(cè)輸出的誤差e(k+1)來(lái)修正預(yù)測(cè)值；

2 設(shè)計(jì)舉例與仿真結(jié)果

其中ε越小越接近最優(yōu)解。

對(duì)廣義對(duì)象做階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)，在t=9s時(shí)截?cái)嗲€，響應(yīng)值誤差范圍為±0.005，取N(N=30)個(gè)采樣值。預(yù)測(cè)時(shí)域p=10，控制時(shí)域M=2，誤差加權(quán)系數(shù)q=1，控制增量加權(quán)系數(shù)r=2，反饋校正系數(shù)h=0.01，根據(jù)DMC算法，得到最優(yōu)控制。

在t=10s時(shí)加入幅值為0.2的階躍擾動(dòng)，圖2是本文方法在參數(shù)ε取不同值時(shí)的仿真結(jié)果。

圖2 ε取不同值的仿真結(jié)果

由圖2可以看出，ε越小，響應(yīng)越平滑，響應(yīng)速度越快，超調(diào)越小，抑制干擾，能力越強(qiáng)。

圖3 有模型失配時(shí)ε取不同值的仿真結(jié)果

由圖3可以看出，ε越小，系統(tǒng)的魯棒性越好。

文獻(xiàn)[8]通過(guò)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋增益陣使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，根據(jù)LQR設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋陣，再根據(jù)此穩(wěn)定對(duì)象進(jìn)行DMC設(shè)計(jì)。為比較本文方法與該方法，在t=15s加入幅值為0.2的階躍擾動(dòng)且系統(tǒng)存在相同的模型失配，設(shè)置相同的DMC參數(shù)，仿真結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯?，本文方法有更好的抗擾性和魯棒性。

圖4 本文方法與文獻(xiàn)[8]方法的比較

3 結(jié)束語(yǔ)

筆者采用基于傳遞函數(shù)互質(zhì)分解的現(xiàn)代頻域法，提出了先利用內(nèi)環(huán)控制器D穩(wěn)定對(duì)象，再對(duì)穩(wěn)定后的廣義對(duì)象進(jìn)行動(dòng)態(tài)矩陣控制設(shè)計(jì)的方法，不僅能消除不穩(wěn)定因素對(duì)系統(tǒng)的影響，而且能有效地改善系統(tǒng)的抗擾性和魯棒性。對(duì)工業(yè)上常見(jiàn)的含有不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，本文方法可以有很好的控制效果。