徐云濱，李宏飛

(榆林學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 榆林 719000)

一類二階帶參數(shù)邊值問(wèn)題非負(fù)解的存在性

徐云濱，李宏飛

(榆林學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 榆林 719000)

對(duì)一類二階帶參數(shù)非線性邊值問(wèn)題進(jìn)行了研究，利用非線性二擇一不動(dòng)點(diǎn)定理給出了該問(wèn)題非負(fù)解存在的兩個(gè)存在性定理.

邊值問(wèn)題；非負(fù)解；存在性

0 引言

二階微分方程邊值問(wèn)題因其在天文學(xué)、流體力學(xué)、工程數(shù)學(xué)等研究中有著廣泛的應(yīng)用背景而引起諸多學(xué)者的關(guān)注.文獻(xiàn)[1-2]利用上下解方法分別討論了一類二階三點(diǎn)和二點(diǎn)非線性奇異邊值問(wèn)題正解和兩個(gè)正解的存在性.文獻(xiàn)[3-4]利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理討論了一類二階奇異邊值問(wèn)題正解的存在性.文獻(xiàn)[5]利用Adomian拆分解法討論了一類二階奇異邊值問(wèn)題的解析性.文獻(xiàn)[6]利用打靶法討論了二階奇異邊值問(wèn)題多個(gè)正解的存在性，文獻(xiàn)[7]利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理對(duì)源于膨脹波邊界層理論中的一類二階奇異邊值問(wèn)題正解的存在性和唯一性進(jìn)行了研究，并利用打靶法求出了該問(wèn)題的數(shù)值解.文獻(xiàn)[8]利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理討論了斯圖漠-劉維爾方程奇異邊值問(wèn)題正解的存在性.文獻(xiàn)[9]利用Krasnosel’skii不動(dòng)點(diǎn)定理討論了一類奇異邊值問(wèn)題多個(gè)正解的存在性.相關(guān)的文獻(xiàn)還可參見(jiàn)文獻(xiàn)[10-13].本文利用不同于以上文獻(xiàn)的方法，通過(guò)分析并利用非線性二擇一不動(dòng)點(diǎn)定理對(duì)更一般的一類二階帶參數(shù)非線性邊值問(wèn)題

(1)

非負(fù)解的存在性進(jìn)行討論.其中：μ是一個(gè)非負(fù)常數(shù)，φp(y)=|y|p-2y，p≥2.

根據(jù)w(t)在[0，1]上有界和具有單調(diào)性的不同情況，分別給出了該問(wèn)題非負(fù)解存在的兩個(gè)存在性定理.

1 主要結(jié)果

除非特別聲明，本文始終遵循如下約定：

(h1)f：[0,1]×[a,∞)→[0,∞)連續(xù)；

(h2) 存在連續(xù)非減函數(shù)h：[a,∞)→[0,∞)，使得當(dāng)u>a時(shí)，h(u)>0，在(0,1)×(a,∞)上滿足f(t,u)≤h(u)；

(h3)φ(t)為定義在區(qū)間[0,1]上的可微嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，φ′(t)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，且滿足φ′(t)≤w(t)f(t,y).

定理1 如果w(t)∈C(0,1)是區(qū)間[0,1]上的非負(fù)有界函數(shù)，在條件(h1)—(h3)下有下面關(guān)于邊值問(wèn)題(1)的一個(gè)非負(fù)解存在性原則：

令

(2)

其中

(3)

記

(ⅰ) 當(dāng)w(t)在(0,1)上單調(diào)非增時(shí)

令

(4)

函數(shù)H的定義同(3)式.記

(ⅱ) 當(dāng)w(t)在(0,1)上單調(diào)非減時(shí)

令

(5)

函數(shù)H的定義同(3)式.記

注 (2)，(4)，(5)式中的上確界可以為∞.

2 結(jié)果證明

(b) 存在一點(diǎn)u∈?U和λ∈(0,1)，使得u=Nλu.

考慮關(guān)于λ(0<λ<1)的一族問(wèn)題

(6)

這里f*：[0,1]×R→[0,∞)定義為

可證(6)式的任何解y(t)滿足

y(t)≥a，t∈[0,1].

(7)

如果(7)式不成立，假設(shè)y(t)-a在t0∈(0,1)有一個(gè)負(fù)的最小值，那么y′(t0)=0且y″(t0)≥0.

一方面，

(φp(y′(t0)))′=-[λμw(t0)f*(t0,y(t0))+φ′(t0)]=
-{λμw(t0)[f(t0,a)+a-y(t0)]+φ′(t0)}<0.

由于φp(y′)∈C1[0，1]，我們知道存在t0的某鄰域N(t0,δ1)，使得在此鄰域內(nèi)(φp(y′))′<0，對(duì)任意的t∈N(t0,δ1) .

另一方面，又存在t0的某鄰域(不妨設(shè)此鄰域就為N(t0,δ1))，使得當(dāng)tt0，t∈N(t0,δ1)時(shí)，有y′(t)≥0，當(dāng)然存在t1t0，t1，t2∈N(t0,δ1).有y′(t1)≤0，y′(t2)≥0，就有0≤φp(y′(t2))-φp(y′(t1))=(φp(y′(ξ)))′(t2-t1)，ξ∈(t1,t2)?N(t0,δ1).

從而有(φp(y′(ξ)))′≥0，這就出現(xiàn)了矛盾，所以(7)式成立.

2.1 定理1的證明

(8)

設(shè)y(t)在t0∈[0,1]有最大值，若t0=0或t0=1，可得y0≤b.下面考慮當(dāng)t0∈(0,1)且y0>b的情況，此時(shí)y′(t0)=0，并且在(0,t0)內(nèi)y′(t)≥0，在(t0,1)內(nèi)y′(t)≤0.

(ⅰ)當(dāng)t∈(0,t0)時(shí)，

-y′(φp(y′))′=[λμw(t)f(t,y)+φ′(t)]y′.

先從t(t

(9)

令φp(y′(s))=r，可得

結(jié)合(9)式可得

對(duì)上式再?gòu)?到t0積分，并令y(t)=u，有

(10)

(ⅱ)當(dāng)t∈(t0,1)時(shí)，

y′(φp(y′))′=[λμw(t)f(t,y)+φ′(t)](-y′)，

從t0到t積分

(11)

而

結(jié)合(11)式可得

即

再?gòu)膖0到1積分，并令y(t)=u，有

(12)

由(10)式和(12)式得

(13)

現(xiàn)把(6)式轉(zhuǎn)化為等價(jià)的積分方程

其中A滿足

(14)

解(6)式.當(dāng)λ=1時(shí)，等價(jià)于找映射N1：C[0,1]→C[0，1]的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

令

U={u∈C[0，1]：‖u‖

其中

定義算子Nλ：C[0，1]→C[0，1]如下：

其中A滿足(14)式.

根據(jù)假設(shè)條件(h1)—(h3)，易證Nλ：C[0，1]→C[0，1]是一族緊映射.

(15)

(16)

聯(lián)合(15)和(16)式得

故v∈U.

我們假設(shè)預(yù)備定理的結(jié)論(b)成立，即存在λ∈(0,1)和y∈?U滿足Nλy=y，所以y是(6)式的解，且滿足‖y(t)‖=M1，即y0=M1.由M1>b及(13)式推出

但這與(8)式的μ<η1相矛盾.

2.2 定理2的證明

(ⅰ) 因?yàn)閣(t)在(0,1)上單調(diào)非增，對(duì)固定的μ<μ2，存在M2>b滿足

(17)

設(shè)y(t)在t0∈(0,1)上取最大值，且y0>b，那么在這種情況下y′(t0)=0，而且當(dāng)t∈(0,t0)時(shí)，y′(t)≥0，當(dāng)t∈(t,1)時(shí)，y′(t)≤0.

當(dāng)t∈(0,t0)時(shí)，

-y′(φp(y′))′=[λμw(t)f(t,y)+φ′(t)]y′，

先從t(t

可得

即

再?gòu)?到t0積分，并令y(t)=u有

(18)

令

U={u∈C[0,1]：‖u‖

然后與證明定理1類似，同理可得存在邊值問(wèn)題(1)的一個(gè)解y(t)滿足a≤y(t)≤M2，t∈[0,1].

(ⅱ) 因?yàn)閣(t)在(0,1)上單調(diào)非減，對(duì)固定的μ<μ3，存在M3>b滿足

(19)

設(shè)y(t)當(dāng)t0∈(0,1)時(shí)有最大值，并且y0>b，對(duì)(6)式中的微分方程乘以y′后兩次積分，即先從t0到t(t>t0)，再?gòu)膖0到1積分可得

然后與證明情況(ⅰ)類似，可推出存在邊值問(wèn)題(1)的一個(gè)解y(t)滿足a≤y(t)≤M3，t∈[0,1].

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Abstract:A class of second order nonlinear boundary value problem with parameter is studied. Two theorems for the existence of nonnegative solutions are established by using the nonlinear alternative fixed-point theorem.

Keywords:boundary value problem；nonnegative solution；existence

(責(zé)任編輯：陶 理)

On existence of nonnegative solutions of a class of second order boundary value problems with parameter

XU Yun-bin， LI Hong-fei

(School of Mathematics and Statistics，Yulin University，Yulin 719000，China)

1000-1832(2014)03-0047-06

10.11672/dbsdzk2014-03-010

2013-11-11

陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2011JM1009);陜西省教育廳中青年科技人才基金資助項(xiàng)目(09JK842).

徐云濱(1979—)，男，碩士研究生，講師，主要從事微分方程邊值問(wèn)題及其應(yīng)用研究;李宏飛(1967—)，男，博士研究生，教授，主要從事非線性泛函分析及應(yīng)用研究.

O 175 [學(xué)科代碼] 110·44

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