文/寧玉川

摘 要：計(jì)算機(jī)圖形軟件的算法也是基于數(shù)學(xué)理論建立起來(lái)的，由于程序員編寫(xiě)的程序所運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是看不到的，因此一不小心，就會(huì)犯下循環(huán)論證的錯(cuò)誤。

關(guān)鍵詞：計(jì)算機(jī)證明；循環(huán)論證；過(guò)程目標(biāo)

在初中數(shù)學(xué)教材（人教版）上，設(shè)置了幾個(gè)可用計(jì)算機(jī)軟件去驗(yàn)證的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如，探索旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、探索二次函數(shù)性質(zhì)、探索位似性質(zhì)等。這些內(nèi)容的設(shè)置，豐富了教材的內(nèi)容，增強(qiáng)了教材的趣味性，具有一定的時(shí)代特色。

但是，用計(jì)算機(jī)驗(yàn)證或證明數(shù)學(xué)問(wèn)題真的具有合理性嗎？

比如，在初中數(shù)學(xué)教材（人教版）九年級(jí)下冊(cè)，第27章中的“平行線等分線段對(duì)應(yīng)成比例”一節(jié)，課本上是通過(guò)讓學(xué)生畫(huà)圖并測(cè)量得出結(jié)論的。然而，學(xué)生畫(huà)圖和測(cè)量不可能十分精確，都會(huì)出現(xiàn)誤差，有的只能得出近似成比例的結(jié)果，這時(shí)，我們應(yīng)該用歸納法得出猜想，再通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證其合理性、真實(shí)性、可靠性。

如果某人試圖用相似三角形的性質(zhì)去證明上述定理，顯然是十分荒謬的，顯然這是犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤。

也有的教師為了能完美地得出精確的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，提出了用計(jì)算機(jī)軟件測(cè)量驗(yàn)證的方法，甚至在一些公開(kāi)課活動(dòng)中，也動(dòng)用了此方法。評(píng)課時(shí)，很多教師對(duì)此大加贊賞，說(shuō)什么既減少了實(shí)驗(yàn)誤差，又使用了現(xiàn)代教學(xué)手段。豈不知，不知不覺(jué)中，我們就有可能犯了一個(gè)嚴(yán)重的邏輯錯(cuò)誤——循環(huán)論證。

為什么這樣說(shuō)呢？

因?yàn)橛?jì)算機(jī)圖形軟件的算法也是基于數(shù)學(xué)理論建立起來(lái)的，各種應(yīng)用軟件都是用一些計(jì)算機(jī)高級(jí)語(yǔ)言程序開(kāi)發(fā)的，這些高級(jí)語(yǔ)言為開(kāi)發(fā)者提供了大量的函數(shù)（又稱為類）模型，用于軟件開(kāi)發(fā)者綜合使用這些函數(shù)處理各種信息，包括圖形。而應(yīng)用程序的使用者之所以移動(dòng)鼠標(biāo)就可以畫(huà)出各種圖形，是因?yàn)橛?jì)算機(jī)通過(guò)應(yīng)用軟件把鼠標(biāo)的坐標(biāo)信息傳遞給了這些函數(shù)模型，從而畫(huà)出（顯示）了相應(yīng)的圖象。在高級(jí)語(yǔ)言提供的類函數(shù)中，包含了類似于平線線分線段成比例的類函數(shù)，這個(gè)類函數(shù)就是基于平行線分線段成比例建立起來(lái)的。我們應(yīng)用計(jì)算機(jī)軟件畫(huà)出的三條平行線分兩條直線一定是符合函數(shù)模型的，也就是說(shuō)計(jì)算機(jī)是運(yùn)用平行線分線段成比例計(jì)算出顯示坐標(biāo)，從而了畫(huà)出的平行直線。如果我們又反過(guò)來(lái)用計(jì)算機(jī)建立的平行直線去驗(yàn)證所截線段是否成比

例，那恰好等同于用平行線分線段成比例本身去驗(yàn)證自己。所以說(shuō)，用計(jì)算機(jī)軟件證明上述定理是荒謬的，犯了循環(huán)論證的嚴(yán)重錯(cuò)誤。

也許某些圖形軟件在處理有關(guān)平行線的繪圖時(shí)沒(méi)有使用類似于平線線分線段成比例的類函數(shù)，而使用的是與之不相關(guān)聯(lián)的算法編寫(xiě)的應(yīng)用程序。如果是這樣的話，我們使用它去證明上述的平行線分線段成比例是沒(méi)有問(wèn)題的。可是我們不是應(yīng)用程序的編寫(xiě)者，當(dāng)然并不知道某個(gè)軟件運(yùn)行時(shí)，使用的是何種算法，因此盲目用計(jì)算機(jī)軟件證明一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題是不可靠的。

我們不要誤認(rèn)為計(jì)算是萬(wàn)能的，計(jì)算機(jī)是人類用已有的智慧建造出來(lái)的，在計(jì)算速度和記憶檢索能力方面超過(guò)了自然人，但是這些能力畢竟是程序編制者賦予的，在計(jì)算方法方面永遠(yuǎn)按照編程者給出的指令去運(yùn)行。編程者所提供給計(jì)算機(jī)的計(jì)算方法，無(wú)不來(lái)自已有的數(shù)學(xué)定理定律。到目前為止，還沒(méi)聽(tīng)說(shuō)過(guò)哪臺(tái)計(jì)算機(jī)能自己編寫(xiě)真正意義的新的計(jì)算方法。一些原初的基本的定理，是不可能用計(jì)算機(jī)證明的。所謂計(jì)算機(jī)證明、驗(yàn)證，充其量只是一種旁證而已。也就是說(shuō)，計(jì)算機(jī)只可以證明一些推論，驗(yàn)證一些推廣，驗(yàn)證解答的正確性。所以說(shuō)計(jì)算機(jī)證明只是一種輔助的驗(yàn)證，具有很大的局限性。

所謂的計(jì)算機(jī)計(jì)算證明，至少到現(xiàn)在為止，還處于初級(jí)的研究階段。就拿最為著名的“用計(jì)算機(jī)證明四色定理”為例：20世紀(jì)初，肯普提出了一個(gè)證明的思路，不過(guò)過(guò)程十分繁雜。富蘭克林于1939年證明了22國(guó)以下的地圖都可以用四色著色。1950年以后，人們把定理的證明推廣到35國(guó)地圖。1960年又證明了39國(guó)以下的地圖也可以，隨后又推進(jìn)到了50國(guó)。但是由于運(yùn)算十分復(fù)雜，推進(jìn)十分緩慢。直到1976年，美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯把證明方法過(guò)程編寫(xiě)成程序輸入了計(jì)算機(jī)，讓這些復(fù)雜演算用計(jì)算機(jī)去完成，結(jié)果計(jì)算機(jī)用了1千多小時(shí)，做了100億多個(gè)判斷，終于完成了四色定理的證明，轟動(dòng)了全世界。兩位數(shù)學(xué)家謙虛地說(shuō)是計(jì)算機(jī)完成了四色定理的證明。不過(guò)多數(shù)科學(xué)家并不贊同這是計(jì)算機(jī)取得的成就，因?yàn)檫@個(gè)證明的辦法是數(shù)學(xué)家找到的，只是因計(jì)算量特別大，短時(shí)間內(nèi)用紙筆很難完成，所以編寫(xiě)成程序輸入計(jì)算機(jī)，計(jì)算機(jī)發(fā)揮了其計(jì)算速度快的特點(diǎn)，在一個(gè)相對(duì)較短的時(shí)間內(nèi)，按照人所設(shè)定的流程，完成了繁雜的演算過(guò)程而已。至今人們還在尋找四色定理簡(jiǎn)潔明快的書(shū)面證明方法。

綜上所述，計(jì)算機(jī)證明數(shù)學(xué)問(wèn)題，至今仍處于探索研究階段。我們?cè)诮虒W(xué)中不要輕言所謂用計(jì)算機(jī)去證明數(shù)學(xué)定理，不要誤導(dǎo)學(xué)生，不要讓他們誤認(rèn)為可以不用學(xué)習(xí)，什么事情都可以交給計(jì)算機(jī)，要讓學(xué)生知道計(jì)算機(jī)也是聽(tīng)人的指揮的。

雖然用計(jì)算機(jī)去證明數(shù)學(xué)定理是不一定都是可行的，但是我們用它驗(yàn)證和解題倒是可以的，讓它協(xié)助我們做一些復(fù)雜的演算也是可以的。初中教材中所提供的都是用計(jì)算機(jī)驗(yàn)證的方法，這種驗(yàn)證只是在一些局部的范圍內(nèi)具有合理性，所以不能亂用。由于程序員編寫(xiě)的程序所運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理你是看不到的，因此一不小心，我們?cè)诓恢赖那闆r下就會(huì)犯下循環(huán)論證的錯(cuò)誤。

參考文獻(xiàn)：

孫熙椿.幾何定理計(jì)算機(jī)證明［M］.科學(xué)出版社，2007-06-01.

編輯 韓 曉

endprint