龔柏春 ，羅建軍 ，馬 悅

（1.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072；2.航天飛行動力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072；3.96271部隊(duì)，洛陽 471600）

單測角相對導(dǎo)航的相對距離重構(gòu)新算法

龔柏春1，2，羅建軍1，2，馬 悅3

（1.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072；2.航天飛行動力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072；3.96271部隊(duì)，洛陽 471600）

針對空間非合作目標(biāo)中遠(yuǎn)程交會的單測角相對導(dǎo)航技術(shù)中核心的相對距離重構(gòu)問題，首次提出了一種基于初值輔助的CCD相對測角/GPS絕對定位的相對距離重構(gòu)新算法。首先在分析傳統(tǒng)重構(gòu)方法數(shù)學(xué)本質(zhì)和優(yōu)缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上，以余弦定理為基礎(chǔ)，結(jié)合GPS歷元差分建立了相對距離重構(gòu)算法模型，然后對該算法的重構(gòu)誤差進(jìn)行了理論推導(dǎo)和仿真分析。最后對兩種工況下相對距離的重構(gòu)進(jìn)行了數(shù)值仿真。仿真結(jié)果表明該算法能夠較為精確的重構(gòu)出相對距離，重構(gòu)精度取決于輔助初值的精度。因此，該算法具有重要的研究意義和應(yīng)用價(jià)值。

空間非合作目標(biāo)；相對導(dǎo)航；單測角；相對距離

近年來，針對地球軌道資源日趨緊張、故障衛(wèi)星在軌修復(fù)以及軌道碎片清理等問題，各國積極展開了利用空間機(jī)器人（服務(wù)星）對故障衛(wèi)星、軌道碎片等空間非合作目標(biāo)進(jìn)行監(jiān)視、接近以及捕獲等在軌服務(wù)技術(shù)研究[1-2]。相對導(dǎo)航則是實(shí)現(xiàn)在軌自主服務(wù)的關(guān)鍵使能技術(shù)之一。通常服務(wù)星需要諸如微波雷達(dá)、激光雷達(dá)等星載傳感器系統(tǒng)來自主測量非合作目標(biāo)的相對運(yùn)動信息，但是由于體積、質(zhì)量和燃耗等因素，這類主動式有源傳感器是不能適應(yīng)未來服務(wù)星微小型化發(fā)展趨勢的。相反的，CCD相機(jī)這類被動式無源傳感器在這些方面卻體現(xiàn)出了相當(dāng)?shù)臐撛趦?yōu)勢。但是，在中遠(yuǎn)程交會階段，CCD相機(jī)僅能測量出服務(wù)星相對于非合作目標(biāo)的相對視線信息，而沒有直接的距離信息[3]。正是由于缺乏距離信息，會導(dǎo)致相對導(dǎo)航濾波系統(tǒng)不完全可觀測。因此，研究僅有視線角信息的相對導(dǎo)航技術(shù)具有重要的理論研究意義和工程應(yīng)用價(jià)值，而相對距離重構(gòu)算法更是單測角相對導(dǎo)航的算法的核心。

國內(nèi)外眾多學(xué)者對相對距離重構(gòu)算法進(jìn)行了研究，基本上都是基于“角-邊-角”的三角形確定算法完成相對距離重構(gòu)的。Geller、Woffinden[3-5]等首先提出了如圖1所示的利用服務(wù)星軌道機(jī)動操作進(jìn)行相對距離重構(gòu)的思想，該算法通過非視線方向軌道機(jī)動獲取“邊長”δr，從而由δr、角α和角β確定三角形的外形，即確定相對距離ρ。Li[6]在 Geller等人研究的基礎(chǔ)上深入研究了軌道機(jī)動策略的優(yōu)化問題。

圖1 軌道機(jī)動法和雙星編隊(duì)法Fig.1 Methods of orbit maneuvering and satellites formation

劉光明[7]、蘇建敏[8]等研究了基于雙星編隊(duì)聯(lián)合測量的相對距離重構(gòu)算法，此類算法是通過雙星編隊(duì)獲取的測量基線和雙星對目標(biāo)器的視線角確定三角形的外形，從而重構(gòu)出相對距離ρ，其示意圖同圖1。同樣，Chen、Wang等[9-10]也研究了利用主星和輔助衛(wèi)星進(jìn)行聯(lián)合測量的重構(gòu)技術(shù)。

Woffinden[11]提出了利用服務(wù)星進(jìn)行姿態(tài)機(jī)動變換光學(xué)相機(jī)的位置獲取測量基線，同時(shí)以兩組視線角重構(gòu)相對距離的算法。Crassidis、Kim等[12-13]分別研究了基于標(biāo)志點(diǎn)檢測、多敏感器的相對距離重構(gòu)算法，此類算法原理類似于姿態(tài)機(jī)動法，但是省略的姿態(tài)機(jī)動過程。

盡管上述算法可以實(shí)現(xiàn)單測角相對導(dǎo)航中的相對距離重構(gòu)，但是它們都有各自的局限性和使用范圍。軌道機(jī)動法因?yàn)樾枰?wù)星進(jìn)行特殊的機(jī)動而會對衛(wèi)星的安全性和燃料消耗產(chǎn)生重要影響[5-6]，并且需要服務(wù)星經(jīng)常性地進(jìn)行機(jī)動產(chǎn)生δr，否則不能完成相對距離重構(gòu)。同時(shí)，沿視線接近時(shí)算法失效，因此不能適合中遠(yuǎn)程接近等耗時(shí)較長的情況；雙星編隊(duì)方法則需要動用兩顆衛(wèi)星或者需要主星釋放伴飛小衛(wèi)星，這在實(shí)際中不易實(shí)現(xiàn)且代價(jià)較大，且雙星觀測矢量夾角越小估計(jì)精度越低，兩觀測矢量平行時(shí)距離估計(jì)失效[7]；姿態(tài)機(jī)動法或多敏感器法只適用于距離較近的情況，當(dāng)處于中遠(yuǎn)距離時(shí)“基線”太短，獲得的多視線幾乎平行或者只有單視線，算法失效。

因此，本文針對單服務(wù)星對空間非合作目標(biāo)中遠(yuǎn)程交會的單測角相對導(dǎo)航問題，從“邊-角-邊”三角形確定原理的角度出發(fā)，提出一種基于初值輔助的CCD相對測角/GPS絕對定位的相對距離重構(gòu)新算法。下文中首先詳細(xì)闡述相對距離重構(gòu)算法的幾何模型構(gòu)建，然后對該重構(gòu)算法的誤差進(jìn)行理論推導(dǎo)與仿真分析，最后對該算法進(jìn)行兩種工況的數(shù)值仿真與分析。

1 相對距離重構(gòu)模型

當(dāng)非合作目標(biāo)器飛臨地基/天基測量弧段內(nèi)時(shí)，由地基/天基測量出非合作目標(biāo)器某一時(shí)刻的慣性位置，而服務(wù)星則由星載的 GPS給出其同一時(shí)刻的慣性位置，這樣就可以確定出兩飛行器之間的相對距離初值。確定初值后不再需要地面測量的輔助，之后的相對距離由GPS導(dǎo)航歷元差分的幾何遞推來估計(jì)，如圖2所示。這里將服務(wù)星對目標(biāo)器的接近運(yùn)動分為兩類：一類是沿視線方向接近，如圖2中的方向；一類是非視線方向接近，方向。

對于沿視線方向運(yùn)動，相對距離的遞推公式為

對于非視線方向接近，可由三角形確定規(guī)則來估計(jì)相對距離。如圖2中的三角形，已知三角形的邊長和其夾角α就可以根據(jù)“邊-角-邊”規(guī)則確定三角形的形狀，即可由余弦定理確定的邊長，其計(jì)算公式為：

式中，α是tk-1時(shí)刻的單位視線矢量i與服務(wù)星自身單位位移矢量δr的夾角，可以如下計(jì)算：

式中，ε、θ分別是視線仰角和視線偏角，是GPS在WGS-84地固聯(lián)系e到服務(wù)星CCD光學(xué)測量坐標(biāo)系M的變換矩陣。可以分解為：

圖2 相對距離估計(jì)幾何示意圖Fig.2 Geometrical diagram of estimated relative distance

由式(2)可知，當(dāng)α等于0時(shí)，式(2)等價(jià)于式(1)，這樣就把視線方向和非視線方向接近這兩種情況下的相對距離遞推統(tǒng)一起來了，不論由哪種方向接近都可以由式(2)進(jìn)行相對距離的實(shí)時(shí)遞推重構(gòu)了。

將式(3)(4)和(5)帶入式(2)并化簡可得：

因此，無論服務(wù)星進(jìn)行何種機(jī)動，相對距離都可由式(6)進(jìn)行遞推重構(gòu)了。

2 重構(gòu)誤差分析

由式(2)可知，與重構(gòu)有關(guān)的序列變量是r和ρ，而這兩者分別與GPS和遞推幾何關(guān)系有關(guān)，因此下面重點(diǎn)分析與這兩類因素有關(guān)的誤差。

2.1 GPS歷元差分誤差分析

GPS導(dǎo)航的主要誤差源有衛(wèi)星星歷誤差、衛(wèi)星鐘差、信號傳播誤差以及接收機(jī)測量誤差等，其位置誤差δrG的相關(guān)性可用一階馬爾科夫過程表示[14]：

式中，α為反相關(guān)時(shí)間常數(shù)，ω為零均值的高斯白噪聲。利用解析法對式(7)進(jìn)行離散化可得：

式中，Vti為零均值高斯白噪聲序列，T為離散化步長。因此：

所以，相鄰時(shí)刻誤差源對定位的影響變化緩慢，因此，通過歷元差分可以消除大部分的誤差。

2.2 遞推幾何誤差分析

根據(jù)角α的定義可知，，從而，代入式(2)可得：

式中，當(dāng)α=0時(shí)，即沿視線接近時(shí)，左等號成立；當(dāng)α=π時(shí)，即沿視線撤離時(shí)右等號成立。因此，通過不等式關(guān)系傳遞可得：

令帶上標(biāo)“～”的參量表示測計(jì)值，不帶上標(biāo)的為真實(shí)值，則：

而測算值可表示為真實(shí)值加誤差的情況，即：

將式(13)代入式(12)可得：

根據(jù)向量范數(shù)三公理中的三角不等式公理可知：

將式(11) (15)代入式(14)可得：

由式(17)可知，第k次重構(gòu)誤差的上下限只與初值輔助誤差和GPS絕對定位歷元差分誤差有關(guān)，并且該上下限是隨時(shí)間變大的，變化速度僅與絕對定位誤差有關(guān)。同時(shí)，由前述分析可知，當(dāng)服務(wù)器沿視線方向機(jī)動時(shí)相對距離重構(gòu)誤差最大。

3 仿真分析

為了充分考究所提算法的有效性、誤差特性以及魯棒性等相關(guān)性能，這里進(jìn)行兩組仿真，第一組對重構(gòu)誤差本身進(jìn)行仿真分析，并與傳統(tǒng)重構(gòu)方法進(jìn)行對比，第二組對不同輔助初值下的重構(gòu)進(jìn)行仿真。

3.1 重構(gòu)誤差仿真分析

為了對誤差的上下限發(fā)散速度進(jìn)行評估，進(jìn)行了數(shù)值仿真。假設(shè)GPS初始位置圓誤差為20 m，則可令。同時(shí)，根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)可假設(shè)誤差的相關(guān)時(shí)間為 10 s，即反相關(guān)時(shí)間常數(shù)α=0.1，并且假設(shè)離散化步長T=1，高斯白噪聲Vti的均方差為1 m。根據(jù)設(shè)定的參數(shù)，在Matlab環(huán)境下對式(8)和(17)進(jìn)行仿真，仿真100個采樣周期。

GPS絕對定位的誤差曲線如圖3所示，誤差歷元差分曲線如圖4所示。對圖4中的數(shù)據(jù)特性進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)分析如表1所示，可知X軸方向均值為-0.0987，方差為0.8535，Y軸方向均值為-0.1191，方差為1.0169，Z軸方向均值為-0.1445，方差為0.8152。因此，綜合圖4和表1可知，GPS絕對定位誤差歷元的差分結(jié)果近似于零均值的高斯白噪聲。

表1 GPS定位誤差歷元差分特性統(tǒng)計(jì)Tab.1 Statistics of differential value of GPS epochs

圖3 GPS定位誤差曲線Fig.3 GPS positioning errors

圖4 GPS定位誤差歷元差分曲線Fig.4 Differential errors of GPS positioning errors sequences

如圖5所示是基于 GPS的位移量測算。均值為1.5914 m，方差為 0.4342，同時(shí)可根據(jù)式(17)計(jì)算得100個采樣周期內(nèi)由輔助初值和GPS確定的相對距離估計(jì)誤差的左右邊界：

綜上可知，重構(gòu)誤差可能是如式(17)所示的區(qū)間內(nèi)的任意值。而其左右邊界的外推速度一方面依賴于GPS絕對定位的誤差特性，另一方面依賴于服務(wù)星的相對運(yùn)動方向，式(17)等號成立的條件是服務(wù)星沿視線方向接近或撤離。

圖5 基于GPS的位移測算誤差Fig.5 Error of displacement based on GPS

同時(shí)，為了對本文的“邊-角-邊”遞推方法與文獻(xiàn)[11]中“角-邊-角”遞推方法進(jìn)行誤差特性的橫向比較，并分析其使用性，這里以前述仿真中式(17)右等號成立時(shí)的遞推誤差變化情況（即遞推誤差最大的情況）與文獻(xiàn)[11]的進(jìn)行垂直于視線方向機(jī)動時(shí)的誤差變化情況（即誤差最小的情況）進(jìn)行比較，其相對距離遞推誤差計(jì)算式為：

式(19)中各個參量具體定義見文獻(xiàn)[11]。

根據(jù)目前元器件可得情況，取測角誤差為10-3rad，令初始相對距離為30 km，單次機(jī)動距離為100 m，機(jī)動方向垂直于視線方向，GPS定位誤差特性同上，對式(19)進(jìn)行仿真，仿真時(shí)長同樣為100 s?？梢缘玫饺鐖D6所示的對比結(jié)果。

圖6 極端誤差與最優(yōu)誤差的對比Fig.6 Estimation errors comparing

圖6中，“角-邊-角”方法相對距離計(jì)算的誤差均值約為76.11 m，均方差約為56.83 m；本文的“邊-角-邊”方法相對距離計(jì)算的誤差均值約為75.21 m，均方差約為42.63 m。從統(tǒng)計(jì)的數(shù)值上看，在前述仿真條件下，100 s的仿真時(shí)間內(nèi)“邊-角-邊”算法的極端誤差略優(yōu)于“角-邊-角”算法的最優(yōu)誤差。但是，“邊-角-邊”算法的極端誤差呈線性增長狀態(tài)，隨著時(shí)間的推移該極端誤差必然會大于“角-邊-角”的最優(yōu)誤差。然而，值得強(qiáng)調(diào)的是，當(dāng)服務(wù)星沿視線方向運(yùn)動時(shí)，盡管“邊-角-邊”算法的誤差累積增長，而“角-邊-角”算法則是完全失效的。因此，通過上述比較和分析，本文提出的相對距離遞推算法具有其特定的優(yōu)勢。

3.2 重構(gòu)仿真

首先，令服務(wù)星和目標(biāo)器自由飛行，初始時(shí)刻兩星的軌道根數(shù)如表2所示，此時(shí)服務(wù)星位于目標(biāo)器下方約13 km，后方約35 km的位置，相對距離約為37 km。同時(shí)，設(shè)置CCD輸出頻率為1 Hz，安裝誤差和測量噪聲均方差為10-3rad；GPS輸出頻率為1 Hz，定位誤差為1 m，測量噪聲均方差為0.2 m，其他參數(shù)同3.1節(jié)。

表2 初始軌道根數(shù)Tab.2 Initial orbital elements

然后，為了測試算法的性能和對輔助初值的敏感性，分別兩種工況的仿真。

工況一：輔助的相對距離初值誤差為10 m。相對距離遞推誤差結(jié)果如圖7所示，遞推誤差總體上呈現(xiàn)波動的緩慢增長趨勢，經(jīng)統(tǒng)計(jì)誤差均值約為9.21 m，均方差約為3.73 m。

工況二：輔助的相對距離初值誤差為100 m。相對距離遞推誤差結(jié)果如圖8所示，遞推誤差的變換趨勢同圖7，均值約為101.05 m，均方差約為4.05 m。

綜合圖7和圖8可知，遞推誤差的增長速度與遞推初值誤差的大小基本沒有關(guān)系，但是初值誤差大小卻在整個遞推過程中得到傳遞和保持，這個現(xiàn)象與2.2節(jié)中對遞推誤差的理論分析結(jié)果一致，從而也驗(yàn)證了理論分析結(jié)果的正確性。

圖7 Case 1相對距離遞推誤差Fig.7 Estimation errors of relative distance in Case 1

圖8 Case 2相對距離遞推誤差Fig.8 Estimation errors of relative distance in Case 2

4 結(jié) 論

本文針對單測角相對導(dǎo)航技術(shù)的核心問題——相對距離重構(gòu)算法展開研究，首次提出了基于初值輔助的 CCD/GPS相對距離重構(gòu)算法。文章首先分析了傳統(tǒng)重構(gòu)方法的幾何原理，指出了其“角-邊-角”確定三角形的數(shù)學(xué)本質(zhì)，同時(shí)分析了傳統(tǒng)方法的優(yōu)缺點(diǎn)，并且在此基礎(chǔ)上從“邊-角-邊”規(guī)則的視角提出本文的新算法；然后詳細(xì)給出了本文重構(gòu)算法模型的推導(dǎo)過程，并進(jìn)行了該算法重構(gòu)誤差的理論分析，給出了誤差邊界模型；最后對重構(gòu)誤差和兩種工況的相對距離重構(gòu)進(jìn)行了仿真驗(yàn)證和分析。仿真結(jié)果表明該重構(gòu)算法能夠較為精確的重構(gòu)出相對距離，重構(gòu)精度主要取決于輔助的初值精度。

為了實(shí)現(xiàn)相對距離重構(gòu)算法與單測角導(dǎo)航濾波算法的有機(jī)結(jié)合，下一步將進(jìn)一步深入研究所提重構(gòu)算法的誤差特性并建立誤差模型。

（References）：

[1]梁斌，杜曉東，李成，等.空間機(jī)器人非合作航天器在軌服務(wù)進(jìn)展研究[J].機(jī)器人，2012，34(2)：242-256.Liang B.，Du X.D.，Li C.，et al.Advances in space robot on-orbit servicing for non-cooperative spacecraft[J].Robot，2012，34(2):242-256.

[2]王常虹，曲耀斌，任家棟，等.非合作編隊(duì)衛(wèi)星姿軌一體化濾波新方法[J].中國慣性技術(shù)學(xué)報(bào)，2012，20(6)：663-669.WANG Chang-hong，QU Yqo-bin，REN Jia-dong，et al.New integrated attitude and orbit filter for non-cooperated satellite formation[J].Journal of Chinese Inertial Technology，2012，20(6):663-669.

[3]Chari R J.Autonomous orbital rendezvous using anglesonly navigation[D].Massachusetts Institute of Technology，June 2001.

[4]Woffinden D C，Geller D K.Relative angles-only navigation and pose estimation for autonomous orbital rendezvous[J].Journal of Guidance control and Dynamics，2007，30(5):1455-1469.

[5]Woffinden D C，Geller D K.Optimal orbital rendezvous maneuvering for angles-only navigation[J].Journal of Guidance control and Dynamics，2009，32(4):1382-1387.

[6]Li J R，Li H Y，Tang G J.Research on the strategy of angles-only relative navigation for autonomous rendezvous[J].Science China Technological Sciences，2011，54(7):1865-1872.

[7]劉光明，廖瑛，文援蘭，等.基于雙星編隊(duì)的空間非合作目標(biāo)聯(lián)合定軌方法[J].宇航學(xué)報(bào)，2010，31(9)： 2095-2100.LIU Guang-ming，LIAO Ying，WEN Yuan-lan，et al.Twosatellite formation-based non-cooperative space target integrated orbit determination[J].Journal of Astronautics，2010，31(9):2095-2100.

[8]蘇建敏，董云峰.非合作機(jī)動目標(biāo)天基測角定軌研究[J].航天控制，2011，29(3)：36-42.SU Jian-min，DONG Yun-feng.The orbit determination of non-cooperative maneuvering target by applying spacebased bearing-only measurement[J].Aerospace Control，2011，29(3):36-42.

[9]Chen T，Xu S.Double line-of-sight measuring relative navigation for spacecraft autonomous rendezvous[J].Acta Astronautica，2010，67:122-134.

[10]Wang K，Chen T，Xu S.A method of double line-of-sight measurement relative navigation[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2011，32(6):1084-1091.

[11]Woffinden D C.Angles-only navigation for autonomous orbital rendezvous[D].Utah State University，May 2008.

[12]Crassidis J L，Alonso R，Junkins J L.Optimal attitude and position determination from line-of-sight measurements[J].Journal of the Astronautical Sciences，2000，48(2-3):391-408.

[13]Kim S，Crassidis J L，Cheng Y，F(xiàn)osbury A M.Kalman filtering for relative spacecraft attitude and position estimation[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2007，30(1):133-143.

[14]范利濤，鄭偉，湯國建，等.基于平方根UKF濾波的軌道機(jī)動飛行器自主導(dǎo)航方法[J].中國慣性技術(shù)學(xué)報(bào)，2008，16(6)：687-693.FAN Li-tao，ZHENG Wei，TANG Guo-jian J，et al.Autonomous navigation method for orbital maneuver vehicle based on square-root unscented Kalman filter[J].Journal of Chinese Inertial Technology，2008，16(6):687-693.

Novel reconstructing algorithm of relative distances for angle-only relative navigation

GONG Bai-chun1，2，LUO Jian-jun1，2，MA Yue3
(1.College of Astronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China;2.Science and Technology on Aerospace Flight Dynamics Laboratory，Xi’an 710072，China;3.96271 unit of PLA，Luoyang 471600，China)

Aiming at the key issue of the relative distance re-constructing in the angle-only relative navigation for mid and far-range rendezvous with space non-cooperative target，a novel algorithm is presented based on GPS absolute positioning，CCD relative angles of LOS measuring and an aided initial value of the relative distance.The mathematical substance and the characteristic of the traditional method are analyzed.And a re-constructing model is established based on the triangle principle integrated with the differential value between the sequences of GPS positioning at two different epochs.After that，the error of the reconstructing is analyzed by means of mathematical derivation and simulation.At last，two cases simulation of relative distance re-constructing is conducted，and the results show that the proposed algorithm can estimate the relative distance，and the estimation precision depends on the performance of the initial relative distance aided exterior.Thus，the proposed algorithm has important research and application value.

space non-cooperative target;relative navigation;angles-only;relative distance;

V448.22+4

A

1005-6734(2014)03-0340-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2014.03.012

2014-01-08；

2014-04-21

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61004124）；西北工業(yè)大學(xué)博士論文創(chuàng)新基金項(xiàng)目（CX201404）

龔柏春（1987—），男，博士研究生，從事飛行動力學(xué)與控制、組合導(dǎo)航研究。E-mail：gbc1987@163.com

聯(lián) 系 人：羅建軍（1965—），男，教授，博士導(dǎo)師。E-mail：jjluo@nwpu.edu.cn