李 靜，祝力偉，朱知壽，王新南

(北京航空材料研究院，北京 100095)

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TC4-DT鈦合金疲勞長裂紋擴(kuò)展速率的數(shù)學(xué)描述方程

李 靜，祝力偉，朱知壽，王新南

(北京航空材料研究院，北京 100095)

針對經(jīng)準(zhǔn)β熱處理獲得的片層組織TC4-DT鈦合金的疲勞長裂紋擴(kuò)展速率實(shí)驗(yàn)結(jié)果，通過數(shù)值分析和線性回歸擬合，推導(dǎo)了Paris方程、Forman方程和Elber方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并對擬合結(jié)果的相關(guān)系數(shù)和誤差進(jìn)行了分析，對比了3種數(shù)學(xué)方程對片層組織TC4-DT鈦合金疲勞長裂紋擴(kuò)展速率的擬合精度。在此基礎(chǔ)上，對已有模型進(jìn)行優(yōu)化和修正，提出了F-E分段方程。該方程以片層組織TC4-DT鈦合金裂紋擴(kuò)展速率曲線上轉(zhuǎn)折點(diǎn)對應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子幅ΔKt為分界點(diǎn)，分別對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值分析和線性回歸擬合，具有較高的擬合精度。

TC4-DT鈦合金；片層組織；疲勞裂紋擴(kuò)展速率；數(shù)學(xué)方程

0 引 言

疲勞裂紋擴(kuò)展速率是損傷容限性能的重要指標(biāo)之一，裂紋擴(kuò)展特征和規(guī)律直接反應(yīng)了材料或構(gòu)件的抗疲勞性能，是研究損傷累積和斷裂失效機(jī)理的最直觀手段。研究疲勞裂紋擴(kuò)展規(guī)律具有重要的工程實(shí)用意義：①解決材料的定壽問題；②解決材料的延壽問題；③利用簡單有效的力學(xué)性能參數(shù)估算材料的疲勞性能，達(dá)到簡化或取代疲勞試驗(yàn)的目的。

對于材料疲勞裂紋的研究，早期的設(shè)計(jì)思想在預(yù)測含缺陷構(gòu)件疲勞壽命時(shí)，一般只考慮和計(jì)算疲勞裂紋擴(kuò)展的第二階段已能夠滿足要求[1]，在研究方法上，人們通常使用線彈性斷裂力學(xué)方法來研究裂紋的擴(kuò)展問題。實(shí)踐證明，使用這種方法來處理疲勞裂紋擴(kuò)展速率的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，較好地適應(yīng)了早期工程中對含缺陷構(gòu)件裂紋擴(kuò)展壽命的預(yù)測[2-3]。

然而，一個(gè)成熟的裂紋擴(kuò)展理論需要滿足兩個(gè)重要條件，即能夠確切描述裂紋擴(kuò)展真實(shí)過程的物理模型和精確表達(dá)該物理模型的定量數(shù)學(xué)方程[4]?，F(xiàn)有的裂紋擴(kuò)展速率的數(shù)學(xué)表達(dá)式都是在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，在彈塑性范圍內(nèi)，利用應(yīng)力強(qiáng)度因子來描述應(yīng)力應(yīng)變場的全部過程，已經(jīng)形成了許多成熟的理論和模型[5-9]，其中，Paris模型、Walker模型適用于描述疲勞裂紋的穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展區(qū)，而Elber模型則拓展到了門檻值ΔKth附近，F(xiàn)orman模型拓展到了高應(yīng)力強(qiáng)度因子幅區(qū)，除此之外，Nicholson[10]、Irving[11]等研究了能夠描述疲勞裂紋擴(kuò)展全過程的數(shù)學(xué)模型并提出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，但作為半經(jīng)驗(yàn)方程仍然很難準(zhǔn)確描述裂紋擴(kuò)展規(guī)律。由此可見，要真正解決工程中疲勞裂紋擴(kuò)展速率的分析問題，需要進(jìn)一步發(fā)展能夠全面表征疲勞裂紋擴(kuò)展全過程的數(shù)學(xué)模型及其表達(dá)式。

本研究針對片層組織TC4-DT鈦合金的疲勞長裂紋擴(kuò)展速率，通過對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值分析，推導(dǎo)了Paris模型、Elber模型和Forman模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并對三種模型的擬合精度進(jìn)行了對比分析。在此基礎(chǔ)上，提出了一個(gè)可描述疲勞長裂紋擴(kuò)展的新模型，該模型綜合考慮了門檻值ΔKth、斷裂韌度KIC和應(yīng)力比R，可有效描述門檻值附近和高應(yīng)力強(qiáng)度因子幅范圍內(nèi)的裂紋擴(kuò)展行為，并結(jié)合片層組織TC4-DT鈦合金疲勞長裂紋擴(kuò)展速率曲線特征，建立了該模型的分段數(shù)學(xué)表達(dá)式，為探索可描述疲勞長裂紋擴(kuò)展全過程的數(shù)學(xué)模型提供理論參考。

1 實(shí) 驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)用原材料為經(jīng)三次真空自耗熔煉和開坯鍛造后制得的φ210 mm TC4-DT鈦合金棒材(經(jīng)α+β兩相區(qū)熱加工后空冷至室溫得到鍛件)。然后采用準(zhǔn)β熱處理工藝對鍛件進(jìn)行熱處理，具體工藝為950 ℃×1 h后隨爐升溫，再經(jīng)998 ℃×30 min/AC + 730 ℃×2 h/AC處理。熱處理后TC4-DT鈦合金的顯微組織為典型的片層組織，如圖1所示。合金的斷裂韌度KIC= 103 MPa ·m1/2，外延法測得的門檻值ΔKth= 7.83 MPa ·m1/2。

疲勞裂紋擴(kuò)展速率實(shí)驗(yàn)采用標(biāo)準(zhǔn)緊湊拉伸(CT)試樣，取樣方向?yàn)門-L方向。測試按照GB/T 6398—2000標(biāo)準(zhǔn)要求，實(shí)驗(yàn)條件為室溫(23 ℃)、大氣環(huán)境、恒幅(應(yīng)力比R=0.1，加載頻率f=15 Hz)，裂紋測量采用分辨率為0.01的讀數(shù)顯微鏡，每隔一定的加載循環(huán)(循環(huán)次數(shù)為N)后測量裂紋擴(kuò)展量(a)，繪出a-N曲線，計(jì)算機(jī)根據(jù)自編程序可以得到每循環(huán)一次的裂紋擴(kuò)展量，即疲勞裂紋擴(kuò)展速率da/dNi(單位：mm/cycle)，同時(shí)還可以得到應(yīng)力強(qiáng)度因子幅ΔK，然后利用數(shù)值分析軟件繪制出da/dNi-ΔK的關(guān)系曲線，即為疲勞裂紋擴(kuò)展速率曲線。

圖1 TC4-DT鈦合金經(jīng)準(zhǔn)β熱處理后的顯微組織Fig.1 Microstructure obtained by quasi-β heat-treatment of TC4-DT titanium alloy

2 結(jié)果與分析

2.1 典型數(shù)學(xué)模型擬合精度分析

Paris模型、Forman模型和Elber模型關(guān)于片層組織TC4-DT鈦合金疲勞長裂紋擴(kuò)展速率的數(shù)學(xué)表達(dá)式以及擬合精度如表1所示，對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合效果如圖2所示。

圖2 Paris、Forman、Elber模型對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果Fig.2 The fitting results of Paris, Forman and Elber mathematical equations

由圖2a可知，Paris方程為一條直線，適合描述裂紋擴(kuò)展的中速擴(kuò)展區(qū)，擬合精度為0.617 3。近門檻區(qū)的預(yù)測值比實(shí)驗(yàn)值高，壽命估算結(jié)果偏安全，且裂紋擴(kuò)展速率越小，偏差越大；在高應(yīng)力強(qiáng)度因子幅的快速擴(kuò)展區(qū)預(yù)測值比實(shí)驗(yàn)值低，壽命估算結(jié)果偏危險(xiǎn)。由圖2b可知，F(xiàn)orman方程能夠較好地描述裂紋擴(kuò)展的中速擴(kuò)展區(qū)和快速擴(kuò)展區(qū)，擬合精度為0.675 5。在近門檻區(qū)的預(yù)測值高于實(shí)驗(yàn)值，預(yù)測結(jié)果偏安全，且越靠近低應(yīng)力區(qū)，擬合結(jié)果偏差越大。由圖2c可知，Elber方程能夠較準(zhǔn)確地描述近門檻區(qū)和中速擴(kuò)展區(qū)的裂紋擴(kuò)展行為，擬合精度為0.951 3。在高應(yīng)力強(qiáng)度因子幅的快速擴(kuò)展區(qū)，隨著應(yīng)力比的增加擬合結(jié)果偏差越嚴(yán)重，預(yù)測結(jié)果越偏危險(xiǎn)。

根據(jù)表1和圖2可以得到以下結(jié)果：

(1)在雙對數(shù)da/dN-ΔK坐標(biāo)中，Paris方程為一條直線，適合于描述中速擴(kuò)展區(qū)的裂紋擴(kuò)展行為，但在低應(yīng)力的近門檻區(qū)預(yù)測結(jié)果過安全，在高應(yīng)力區(qū)的預(yù)測結(jié)果偏危險(xiǎn)，擬合精度δ值最??；

(2)Forman方程較好地描述了中速擴(kuò)展區(qū)和快速擴(kuò)展區(qū)的裂紋擴(kuò)展行為，但Forman方程對低應(yīng)力區(qū)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合的效果與Paris方程近似，即越靠低應(yīng)力區(qū)附近，擬合偏差越嚴(yán)重，擬合精度δ值略高于Paris方程；

(3)Elber方程可以較好地描述低應(yīng)力近門檻區(qū)和中速擴(kuò)展區(qū)的裂紋擴(kuò)展行為，擬合精度δ值也最大，但不能描述高應(yīng)力區(qū)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合偏差越嚴(yán)重。

2.2 新模型

上述三種方程均不能完整描述疲勞長裂紋擴(kuò)展的全過程，為了更好地解決疲勞長裂紋擴(kuò)展規(guī)律和疲勞壽命預(yù)測等工程問題，本研究綜合考慮影響裂紋擴(kuò)展的各種因素，提出了一個(gè)可描述疲勞長裂紋擴(kuò)展的新模型，該模型綜合考慮了門檻值ΔKth、斷裂韌度KIC和應(yīng)力比R，見方程(1)。

(1)

由于該方程繼承了Forman方程、Elber方程分別在高速區(qū)、近門檻區(qū)的表征特性，本研究暫稱之為F-E方程。當(dāng) ΔK→Kth時(shí)，da/dN→0，當(dāng)ΔK→(1-R)ΔKIC時(shí)，da/dN→∞，顯然，F(xiàn)-E方程在理論上已經(jīng)成功滿足對雙對數(shù)坐標(biāo)da/dN-ΔK曲線兩端極限條件下的描述。

研究表明[12-14]，片層組織TC4-DT鈦合金的裂紋擴(kuò)展速率曲線均存在轉(zhuǎn)折點(diǎn)現(xiàn)象。由于轉(zhuǎn)折點(diǎn)的存在，使得F-E方程在中速區(qū)的壽命預(yù)測結(jié)果偏危險(xiǎn)。為了能夠更準(zhǔn)確的預(yù)測壽命，采用分段擬合的方法，即利用F-E方程對轉(zhuǎn)折點(diǎn)前后的曲線分別進(jìn)行擬合，得到的擬合曲線如圖3所示，可見具有較好的擬合效果。其數(shù)學(xué)表達(dá)式見方程(2)，擬合精度δ= 0.993 7。因此，F(xiàn)-E分段方程是具有較高擬合精度的疲勞長裂紋擴(kuò)展速率描述模型，比Paris方程、Forman方程和Elber方程具有更好的擬合精度。

圖3 F-E分段方程對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果Fig.3 The fitting results of F-E mathematical equation

式中，ΔKt為裂紋擴(kuò)展速率曲線上轉(zhuǎn)折點(diǎn)對應(yīng)的ΔK值。

3 結(jié) 論

(1)通過插值計(jì)算和線性回歸方法，分別推導(dǎo)出了Paris方程、Forman方程和Elber方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式，其中，Pairs方程適合描述裂紋擴(kuò)展的中速擴(kuò)展區(qū)的擴(kuò)展行為，F(xiàn)orman方程適合描述裂紋擴(kuò)展的中速擴(kuò)展區(qū)和快速擴(kuò)展區(qū)的擴(kuò)展行為，Elber方程對于描述低應(yīng)力近門檻區(qū)和中速區(qū)的裂紋擴(kuò)展行為的擬合精度(δ=0.951 3)最高。但三個(gè)方程均不能描述裂紋擴(kuò)展的全部物理過程。

(2)F-E分段方程以轉(zhuǎn)折點(diǎn)對應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子幅ΔKt為分界點(diǎn)，分別對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值分析和線性回歸擬合，得到了具有較為理想擬合精度(δ=0.993 7)的F-E分段方程，此方程克服了已有數(shù)學(xué)模型存在的缺陷，能夠較為準(zhǔn)確的擬合裂紋擴(kuò)展的整個(gè)過程。

[1]吳歡, 趙永慶, 曾衛(wèi)東. 疲勞裂紋擴(kuò)展行為的研究現(xiàn)狀及鈦合金的疲勞裂紋擴(kuò)展特征[J]. 稀有金屬快報(bào),2007, 26(7): 1-6.

[2]顏鳴皋. 結(jié)構(gòu)材料疲勞裂紋擴(kuò)展機(jī)制及其工程應(yīng)用[J]. 航空學(xué)報(bào), 1985, 6 (3): 208-222.

[3]Miller M S, Gallagher G P. An analysis of several fatigue crack growth rate descriptions[J]. Measurement and Data Analysis, 1981, 738: 205-251.

[4]鄭修麟. 金屬疲勞的定量理論[M]. 西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，1994.

[5]Paris P C, Gomez M P, Anderson W P. A rational analytic theory of fatigue[J]. The Trend in Engineering, 1961,13: 15-19.

[6]Elber W. The significance of fatiue crack closure[M]//Rosenfeld.STP486 Damage tolerance in aircraft structures. Philadelphia: American Society for Testing and Materials, 1971:230-242.

[7]Carpinteri A. Handbook of fatigue crack propagation in metallic structure[M]. Amsterdam: Elsevier Science Publisher, 1994:363-395.

[8]Pearson S.The effect of mean stress on fatigue crack propagation in half-inch(12.7 mm) thick specimens of aluminium alloys of high and low fracture toughness[J]. Engineering Fracture Mechanics,1972, 4(1): 9-24.

[9]趙永翔, 楊冰, 張衛(wèi)華. 一種疲勞長裂紋擴(kuò)展率新模型[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2006, 42(11): 120-123.

[10]Nicholson D W, Ni P,Ahn Y. Probabilistic theory for mixed mode fatigue crack growth in brittle plates with random cracks[J]. Engineering Fracture Mechanics, 2000, 66 (3): 305-320.

[11]Irving P E, Beevers C J. Microstructural influences on fatigue crack growth in Ti-6Al-4V[J]. Materials Science and Engineering, 1974, 14 (3): 229-238.

[12]陶春虎. 航空用鈦合金的失效及其預(yù)防[M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 2003: 205.

[13]Yoder G R, Cooley L A, Crooker T W. Observation on microstructally sensitive fatigue crack growth in a widmanstatten Ti-6Al-4V alloy[J]. Metallurgical Transaction A, 1977,8(11): 1737-1743.

[14]祝力偉, 王新南, 朱知壽, 等. TC4-DT鈦合金疲勞裂紋擴(kuò)展行為及Paris區(qū)轉(zhuǎn)折點(diǎn)研究[J]. 中國有色金屬學(xué)報(bào), 2013, 23 (專輯1): 1-5.

Mathematical Equations on Fatigue Crack Growth Rate of TC4-DT Titanium Alloy

Li Jing，Zhu Liwei，Zhu Zhishou，Wang Xinnan

(Beijing Institute of Aeronautical Materials，Beijing 100095，China)

Fatigue crack growth rate of TC4-DT titanium alloy with the lamellar microstructure obtained by quasi-βheat-treatment was tested. Paris, Forman and Elber mathematical equations were obtained by data analysis and linear regression fitting on the experiment results. The fitting precisions of three models were made a comparative study of mathematical result by correlation of fitting results and error analysis. A F-E equation with higher fitting precision for two-line segment to describe fatigue crack growth rate was proposed on the optimization and correction of the above models. It was obtained by data analysis and linear regression fitting on the results with ΔKtvalue as a division point.

TC4-DT titanium alloy；lamellar structure；fatigue crack growth rate；mathematical equation

2014-09-26

總裝預(yù)先研究資助項(xiàng)目(51312010307)

祝力偉(1982—), 男，工程師。